Дифракция и фокусировка электромагнитных волн - часть 1

 

1   Понятие о дифракции. Принцип Гюйгенса-Френеля 

 

Дифракция – это явление, возникающее при прохождении света в среде с резкими неоднородностя-

ми (щели, отверстия и т.д.) и приводящее к отклонению от законов геометрической оптики. В частно-

сти,  дифракция  приводит  к  огибанию  световыми  волнами  различных  препятствий  и  проникновению 

света в область геометрической тени. Для наблюдения дифракции необходимы определенные условия. 

Это обусловлено тем, что масштабы дифракции сильно зависят от соотношения размеров препятствия и 

длины волны. Утверждение, что если объект дифракции сравним с длинной волны, то явление дифрак-

ции  наблюдается,  а  если  объект  значительно  превышает  длину  волны,  то  дифракция  наблюдаться  не 

будет, не совсем верно. Масштаб дифракции зависит не только от размеров объекта, но и от расстояния 

от объекта до экрана. Известно, что четкой тени никогда не наблюдается. Критерием наличия или от-

сутствия дифракции является волновой параметр 

D

r

P

λ

=

,                                                    (1) 

где D – размер препятствия; 

λ – длина волны; r – расстояние от препятствия до точки наблюдения ди-

фракционной  картины.  Если 

P

 < 1, то  дифракционные  эффекты  слабые  и  можно  применять  законы 

геометрической оптики; если 

1

≥

P

, то дифракция присутствует, что приводит к нарушению законов гео-

метрической оптики. 

Известно, что наличие дифракции объясняется волновыми свойствами света. Однако известный из 

курса физики принцип Гюйгенса не позволяет объяснить не только дифракционные явления (ибо в нем 

ничего не говорится об интенсивности вторичных волн), но и образование геометрической тени, то есть 

прямолинейное  распространение  света.  Для  объяснения  дифракции  Френель  дополнил  принцип  Гюй-

генса  постулатом  об  интерференции  вторичных  волн.  Усовершенствованный  таким  образом  принцип 

получил название принципа Гюйгенса-Френеля. Поясним его физическую сущность. 

Пусть имеется источник света, и волновая сферическая поверхность в некоторый момент времени t. 

Выберем  произвольную  точку  М  наблюдения.  Согласно  принципу  Гюйгенса-Френеля,  все  вторичные 
когерентные  волны,  идущие  от  волновой  поверхности  в  точку  М  наблюдения,  интерферируют  в  этой 
точке  (рис. 1). Разобьем  вол-
новую  поверхность  на  эле-
ментарные  участки 

i

dS

.  Каж-

дый  элементарный  участок 

i

dS

является  источником  вто-

ричных  волн  с  амплитудой 

i

dE

  и  вносит  свой  «вклад»  в 

результирующую  амплитуду 

колебаний  в  точке  наблюдения  М. 

Однако, «вклад»  вторичных 

волн  в  результирующее  колебание 

неравнозначен. 

Амплитуда 

i

dE

 

колебаний  вторичных  волн,  приходящих  в  точку 

М, зависит, во-первых, от площади элементарных участков 

i

S

∆

, при этом амплитуда вторичной волны 

пропорциональна площадке: 

i

dE

 

∼ 

i

dS

; во-вторых, от угла 

i

α

 между нормалью 

n

 к волновой поверхно-

сти и направлением 

i

r

 в точку наблюдения (

i

dE

 уменьшается с ростом 

i

α

). Результат интерференции 

вторичных волн в точке наблюдения М зависит не только от амплитуд 

i

dE

 вторичных волн, но и от фа-

зовых соотношений между ними, т.е. от величины фазы 

i

r

k

 каждой вторичной волны, где 

λ

π

=

2

k

 – вол-

новое число. Таким образом, от каждого участка 

i

dS

 волновой поверхности в точку М приходит коле-

бание с амплитудой 

 

dS

kr

t

E

f

dE

)

sin(

)

(

0

−

ω

α

=

,                                  (2) 

 

где 

0

E

 – амплитуда колебаний в элементе 

dS

; 

t

ω

 – фаза колебаний на волновой поверхности; 

kr

 – до-

полнительное  изменение  фазы  вторичных  волн  при  прохождении  расстояния  r.  Коэффициент 

)

(

α

f

 

Френель считал убывающим при увеличении угла 

α, причем 

1

)

(

=

α

f

, если 

α = 0 и 

0

)

(

=

α

f

, если 

α = 90°. 

Результирующее колебание 

E

, даваемое всеми вторичными волнами в точке М может быть найдено на 

основе закона интерференции всех вторичных волн при учете их амплитуд и фаз 

Рис. 1 

 

 

∫

σ

−

ω

α

=

dS

kr

t

E

f

E

)

sin(

)

(

0

p

.                                 (3) 

 

Выражение (3) можно  считать  аналитическим  выражением  принципа  Гюйгенса-Френеля.  Следует 

отметить, что решение задач на расчет дифракции на основе интегрального выражения (3) часто бывает 
затруднительно.  Если  дифракционная  картина  обладает  той  или  иной  симметрией,  то  интегрирование 
может быть заменено геометрическим или алгебраическим суммированием амплитуд вторичных волн. 
Впервые метод алгебраического сложения амплитуд вторичных волн предложил О. Френель. Этим ме-
тодом мы и воспользуемся при расчете дифракционных картин. 

 
2   Метод зон Френеля и доказательство прямолинейного 
распространения света с точки зрения волновой теории 
 
Принцип  Гюйгенса  не  позволяет  объяснить  прямолинейность  распространения  света.  Согласно 

этому принципу каждую точку волнового фронта можно рассматривать как источники вторичных волн, 
распространяющихся по всем направлениям, в том числе и в область геометрической тени. Иначе гово-
ря,  волны  должны  огибать  любое  препятствие  всегда  и  неясно  как  вообще  может  возникнуть  сколь-
нибудь четкая тень, если свет имеет волновую природу. Однако закон прямолинейного распростране-
ния света можно получить на основе принципа Гюйгенса-Френеля. 

Пусть  имеется  то-

чечный  источник  света 
S  (рис. 2). Определим 
амплитуду 

результи-

рующей  волны,  прихо-
дящей  в  произвольную 
точку  М.  Допустим, 
что  в  некоторый  мо-

мент  времени  t  волновая  поверхность 

имеет  форму  сферы 

радиуса R = ct, где c – скорость света. 

Результирующая амплитуда E волн, приходящих в точку M, будет зависеть от результата интерферен-
ции всех вторичных волн, излучаемых всеми элементарными участками волновой поверхности. Непо-
средственное вычисление амплитуды колебаний на основе интеграла (3) весьма затруднительно. Фре-
нель предложил оригинальный метод разбиения волновой поверхности не на элементарные участки, а 
на достаточно большие кольцевые зоны, которые получили название зон Френеля. При этом интегриро-
вание  может  быть  заменено  алгебраическим  или  геометрическим  сложением.  Границей  первой  зоны 
Френеля  являются  точки  на  волновой  поверхности,  которые  отстоят  от  точки  М  на  расстоянии 

2

λ

+

L

.  Границей  второй  зоны  являются  точки  на  волновой  поверхности,  которые  находятся  на  рас-

стоянии 

2

2

λ

+

L

 от точки М и т.д. Допустим, что от первой центральной зоны в точку М приходит вто-

ричная волна с амплитудой 

1

E

, от второй 

2

E

 и т.д., тогда результирующая амплитуда колебаний опре-

деляется 

 

...

E

E

E

E

3

2

1

p

+

+

+

=

                                        (4) 

 
Разность  хода  волн,  приходящих  в  точку  М  от  любых  соседних  зон  равна 

2

λ

=

∆

;  а  разность  фаз 

π

=

λ

λ

π

=

∆

=

δ

2

2

k

. При сложении однонаправленных противофазных колебаний модуль результирующей 

амплитуды равен 

 

...

4

3

2

1

p

+

−

+

−

=

E

E

E

E

E

                                    (5) 

 

Рис. 2 

 

Амплитуды вторичных волн 

i

E

 зависят от площади зон 

i

S

∆

. Однако, площади всех зон, как будет 

показано далее, одинаковы 

 

λ

+

π

=

∆

L

R

RL

S

i

,                                                 (6) 

 

т.е. не зависят от номера зоны. Радиусы зон Френеля можно рассчитать по формуле 

λ

+

=

i

L

R

RL

r

i

,                                                 (7) 

 

где i = 1, 2, 3… – номер зоны Френеля. 

Несмотря  на  то,  что  площади  всех  зон  Френеля  одинаковы,  амплитуды  вторичных  волн,  излучае-

мых ими в точку М различны, так как различные углы 

α

i

. Из рис. 2 видно, что с ростом номера i зоны 

растет угол 

α

. Следовательно, чем больше номер зоны, тем меньше амплитуда вторичной волны, кото-

рую она посылает в точку М. Поэтому можно записать 

 

...

...

1

3

2

1

>

>

>

>

>

+

i

i

E

E

E

E

E

                               (8) 

 

Чтобы подсчитать результирующую амплитуду колебаний, приходящих в точку М, выражение (5) 

запишем в виде 

 

...

2

2

2

2

2

5

4

3

3

2

1

1

p

+





















+

−

+





















+

−

+

=

4

4 3

4

4 2

1

4

4 3

4

4 2

1

E

E

E

E

E

E

E

E

                   (9) 

 

Можно считать, что: 

 

2

1

1

+

−

+

=

i

i

i

E

E

E

. 

 

Тогда все скобки в выражении (9) обратятся в ноль и мы получим 

 

2

1

p

E

E

=

.                                                    (10) 

 

Амплитуда результирующей волны, приходящей от полностью открытого сферического волнового 

фронта, равна половине амплитуды волны, приходящей от первой зоны Френеля. 

Из формулы (10) следует, что амплитуда колебаний, приходящих от одной первой зоны Френеля в 

два раза больше амплитуды волны приходящей от всего сферического волнового фронта: 

p

1

2

E

E

=

. 

Интенсивность волны I

1

, приходящей от первой зоны Френеля, будет в четыре раза больше интен-

сивности I

р

 волны, приходящей от полностью открытого волнового фронта 

p

I

I

4

1

=

, 

так  как  интенсивность  волны  пропорциональна  квадрату  амплитуды.  Эти  выводы  легко  показать  на 

опыте  в  диапазоне  радиоволн.  С  этой  целью  устанавливают источник и приемник сантиметровых элек-
тромагнитных волн (

λ = 3,2 см) на расстоянии R + L = 1 м. Между источником и приемником ставят ме-

таллический экран с круглым отверстием, радиус (r

1

 = 8,9 см) которого равен первой зоне Френеля при 

R = L = 50 см и измеряют интенсивность I

1

 волны, приходящей от первой зоны. Убрав экран, отмечают 

уменьшение интенсивности I принимаемой волны (I < I

1

). Другими словами, интенсивность волны, при-

ходящей от всего волнового фронта, 

меньше  интенсивности  волны,  при-

ходящей от первой зоны Френеля. 

Таким  образом,  при  полностью 

действующем  волновом  фронте  ин-

Рис. 3 

р 

 

тенсивность  в  точке  наблюдения  обеспечивается  частью  волновой  поверхности,  площадь  которой 

меньше размеров первой зоны Френеля. Действие остальных зон компенсируется за счет интерферен-

ции  вторичных  волн.  Так  как  радиус  первой  зоны  Френеля  достаточно  мал,  а  ее  часть  дает  в  точке 

приема волну с амплитудой равной амплитуде от всего фронта, то можно считать, что свет идет от точ-

ки S к точке M по узкому «каналу», т.е. прямолинейно. 

Суммирование убывающих амплитуд вторичных волн согласно формуле (5) можно осуществить на 

основе векторной диаграммы (рис. 3). Из полученной диаграммы, видно, что амплитуда результирую-
щего колебания равна: 
 

2

1

p

E

E

=

,  

 
что полностью совпадает с формулой (10).  

 
3   Расчет радиусов зон Френеля при сферическом волновом фронте 
 
Пусть S – источник волн, а M – точка наблюдения. Отметим на волновой сферической поверхности 

точки,  соответствующие  границам  i-ой  зоны  Френеля.  Эти  точки  находятся  на  расстоянии 

2

λ

+

i

L

  от 

точки М. Радиус i-ой зоны равен r

i

 = AB, OB = h

i

 – высота сегмента (рис. 4) 

Рассмотрим 

∆ SAB и ∆ ABM. Из треугольника ASB 

 

2

2

2

2

2

)

(

i

i

i

i

h

Rh

h

R

R

r

−

=

−

−

=

.                             (11) 

 

Из треугольника AMB имеем 

i

i

i

Lh

L

i

h

L

i

L

r

2

)

(

)

2

(

2

2

2

−

λ

=

+

−

λ

+

=

.                        (12) 

 

 

 

Рис. 4 

Члены 

2

i

h

 и 

2

2

2

λ

i

 отбросим как величины, имеющие второй порядок малости. Из (12) найдем: 

i

i

Rh

r

2

=

.                                               (13)  

 

Приравняв правые части (11) и (12), получим: 

 

)

(

2

L

R

L

i

h

i

+

λ

=

.                                               (14) 

 

Подставим (14) в (13), найдем радиус i-ой зоны Френеля для сферического фронта 

λ

+

=

i

L

R

RL

r

i

.                                            (15) 

Радиус первой зоны при  i = 1 равен 

λ

+

=

L

R

RL

r

1

. Тогда радиус i-ой зоны равен 

1

r

i

r

i

=

.                                                 (16)