Дифракция и фокусировка электромагнитных волн - часть 2

 

Следовательно, для радиусов зон справедливо соотношение: 

...

3

:

2

:

1

...

:

:

3

2

1

=

r

r

r

 

Найдем радиусы зон Френеля для плоского волнового фронта. Запишем выражение (15) в виде 

R

L

iL

r

i

+

λ

=

1

. 

 

Для плоского фронта R 

→ ∞. Тогда получим 

 
 

λ

= iL

r

i

.                                                    (17) 

 
 
 

4   Площади зон Френеля 
 
Боковая поверхность шарового сегмента AOC (рис. 4), которая представляет собой площадь всех i 

зон, начиная с первой, равна 
 
 

i

i

Rh

S

S

S

π

=

+

+

+

2

...

2

1

. 

 
Учитывая формулу (14), получим 

 

λ

+

π

=

+

+

+

i

L

R

RL

S

S

S

i

...

2

1

, 

Площадь шарового сегмента, которая включает в себя площадь всех (i + 1) зон, начиная с первой, рав-

на 

λ

+

+

π

=

+

+

+

+

)

1

(

...

1

2

1

i

L

R

RL

S

S

S

i

, 

 

Площадь i-ой зоны равна 

 

i

L

R

RL

i

L

R

RL

S

i

+

πλ

−

+

+

πλ

=

∆

)

1

(

. 

Следовательно, 

πλ

+

=

∆

L

R

RL

S

i

.                                                (18) 

 

Площадь i-ой зоны не зависит от ее номера, т.е. площади всех зон одинаковы. Площадь любой зоны 

Френеля при плоском волновом фронте, можно найти из формулы (18), преобразовав ее к виду 
 

λ

+

π

=

∆

R

L

L

S

i

1

. 

При 

∞

→

R

получим 

L

S

i

πλ

=

∆

. 

 

Площади всех зон при плоском волновом фронте одинаковы. 

 

5   Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске 

 

В физике различают два вида дифракции: дифракция Френеля и дифракция Фраунгофера. Если лу-

чи, падающие на объект можно считать параллельными между собой и лучи, идущие от объекта к экра-

 

ну  также  можно  считать  параллельными,  то  такая  дифракция  называется  дифракцией  Фраунгофера. 
Дифракция в сходящихся или расходящихся лучах называется дифракцией Френеля. 

Поставим  на  пути  сфериче-

ской  световой  волны  непрозрач-
ный экран с круглым отверстием 
(рис. 5), где S – точечный источ-
ник  света.  На  экране,  установ-
ленном  на  некотором  расстоя-
нии L от отверстия, наблюдается 
дифракционная картина, которая 
представляет  собой  систему 
светлых  и  темных  колец.  При-

чем,  в  зависимости  от  расстояний  R,  L 

и  радиуса  отверстия  r,  в  центре 

дифракционной 

картины 

может 

наблюдаться как светлое, так и темное пятно. 

Разобьем волновую поверхность на зоны Френеля. Так  как  отверстие  имеет 

конечный радиус, то количество зон Френеля, укладывающихся в отверстии, конечно. 

Пусть число зон Френеля равно m. Согласно формуле (5) амплитуда результирующего 

колебания в центре М дифракционной картины равна 

m

E

E

E

E

E

E

±

+

−

+

−

=

...

4

3

2

1

p

.           (19) 

Амплитуда 

m

E

берется  со  знаком «+», если  m – нечетное  число  и  со  знаком «–», 

если m четное. 

Рассмотрим два частных случая: 

а)  Допустим,  что  в  отверстии  укладывается  нечетное  число  зон  Френеля.  Тогда 

получим 

,

...

4

3

2

1

p

m

E

E

E

E

E

E

+

+

−

+

−

=

 

или 

2

...

2

2

2

3

2

1

1

p

m

E

E

E

E

E

E

+

+













+

−

+

=

. 

Учитывая, что члены в скобках равны нулю, получим 

2

2

1

p

m

E

E

E

+

≈

. 

Если  число  m  зон  невелико,  можно  считать,  что 

m

E

E

≈

1

.  Следовательно,  в  центре  дифракционной 

картины будет светлое пятно: 

1

p

E

E

≈

. 

Таким образом, если в отверстии укладывается нечетное число зон Френеля, то в центре дифракци-

онной картины наблюдается светлое пятно.  

На рис. 6 показано геометрическое сложение амплитуд вторичных волн при m = 3. 

б) Пусть в отверстии укладывается четное число зон Френеля. Выражение (19) принимает вид 

,

...

4

3

2

1

p

m

E

E

E

E

E

E

−

+

−

+

−

=

 

или 

m

m

E

E

E

E

E

E

E

−

+

+













+

−

+

=

−

2

...

2

2

2

1

3

2

1

1

p

, 

Откуда найдем: 

m

m

E

E

E

E

−

+

=

−

2

2

1

1

p

. 

 

Если число зон невелико, то все амплитуды примерно одинаковы и 

0

p

=

E

. Таким образом, если в 

отверстии  укладывается  четное  число  зон,  то  в  центре  дифракционной  картины  наблюдается  темное 

пятно. На рис. 7 показана векторная диаграмма сложения амплитуд вторичных волн при m = 4. 

Справедливость  полученных  выводов  может  быть  доказана  экспериментально  в  опытах  с  радио-

волнами. Для этого источник и приемник радиоволн располагают на расстоянии одного метра друг от 

друга. Между ними устанавливают  металлический  экран  с  ирисовой  диафрагмой,  с  помощью  кото-

рой 

Рис. 5 

Рис. 6 

р 

 

       

 

 

      Рис. 7                                        Рис. 8 

 

радиус отверстия можно изменять от 0,5 до 20 см. При увеличении радиуса отверстия от минимального 

его  значения  наблюдается увеличение  интенсивности  принимаемого  сигнала. Этот  рост  продолжается 

до тех пор, пока в отверстии не будет открыта первая зона Френеля. При дальнейшем увеличении ра-

диуса отверстия в приемник будут приходить вторичные волны также и от второй зоны. Их интерфе-

ренция  с  ранее  пришедшими  волнами  от  первой  зоны  вызовет  уменьшение  интенсивности  принимае-

мых волн. Когда отверстие откроет две первые зоны Френеля, то их действие практически полностью 

уничтожат  друг  друга  из-за  интерференции  противофазных  колебаний  и  принимаемый  сигнал  будет 

минимален по интенсивности. При дальнейшем увеличении размеров отверстия, действия двух первых 

зон  Френеля  в  точке  приема  остаются  скомпенсированными,  а  интенсивность  принимаемого  сигнала 

создается действием третьей зоны Френеля. Когда число открытых зон будет равно m = 3, интенсивность 

принимаемого сигнала будет такой же, как если была бы открыта только третья зона. Центр дифракци-

онной картины будет иметь достаточную интенсивность. Когда число открытых зон будет равно m = 4, 

интенсивность в центре дифракционной картины будет минимальная и т.д. На рис. 8 показана зависи-

мость интенсивности I принимаемого сигнала в радиодиапазоне от радиуса отверстия. По полученному 

графику  можно  опытным  путем  найти  радиусы  r

i

  зон  Френеля  и  интенсивность  волн,  приходящих  от 

каждой зоны. На рис. 9 показаны дифракционные картины, наблюдаемые в световом диапазоне, когда в 

отверстии укладывается m = 1, m = 2, и m = 3 зон Френеля. Рядом с дифракционными картинами приво-

дится различное распределение интенсивности в них. 

Рассмотрим явление дифракции на круглом диске. Пусть диск закрывает m зон Френеля. Открыты-

ми остаются зоны с номерами m + 1, m + 2… Найдем амплитуду результирующего колебания в центре 

дифракционной картины 

...

4

3

2

1

p

+

−

+

−

=

+

+

+

+

m

m

m

m

E

E

E

E

E

, 

или                            

...

2

2

2

3

2

1

1

p

+













+

−

+

=

+

+

+

+

m

m

m

m

E

E

E

E

E

 

Откуда получаем 

0

2

1

p

≠

=

+

m

E

E

.                                               (20) 

 

 

Рис. 9 

 

Следовательно, в центре дифракционной картины даваемой диском всегда будет наблюдаться свет-

лое пятно (пятно Пуассона). Если диск закрывает достаточно большое число зон Френеля, то чередова-

ние светлых и темных колец наблюдается лишь в очень узкой области геометрической тени. В центре 

же дифракционной картины наблюдается светлое пятно, но очень малых размеров. Полученные выводы 

р 

 

легко получить в опытах с радиоволнами. Для этого устанавливают источник и приемник волн на рас-

стоянии одного метра друг от друга. Измеряют интенсивность принимаемого сигнала I

0

. Устанавливают 

между источником  и  приемником металлический  диск  радиусом  r

1

 = 8,9 см,  который  закрывает  первую 

зону  Френеля,  и  прямолинейное  распространение  волн  от  источника  к  приемнику  становится  невоз-

можным. Несмотря на это, приемник регистрирует сигнал с интенсивностью I, которая не равна нулю. 

 

6  Зонные пластинки, работающие на отражение и фокусировка волн 

 

Традиционно фокусирующее действие вогнутого зеркала объясняется законами геометрической оп-

тики. Однако при изучении вопросов дифракции Френеля целесообразно в качестве примера объяснить 

фокусирующее  действие  вогнутого  зеркала  с  точки  зрения  волновой  теории.  При  этом  теоретические 

выводы могут быть экспериментально подтверждены наглядными опытами в сантиметровом диапазоне 
радиоволн (

λ = 3,2 см). 

Пусть источник 1 и приемник 2 радиоволн находится, соответственно, на расстояниях R и f от плос-

кого зеркала, в качестве которого может быть использован металлический лист в форме круга диамет-

ром 44 см  (рис. 10). Разобьем  мысленно  плоскость  поверхности  зеркала  на  кольцевые  зоны  Френеля, 

радиусы которых могут быть рассчитаны по формуле (15) 

i

r

=

f

R

Rf

i

+

λ

, 

или при R = f получим 

r

=

2

i

f

λ

,                                                    (21) 

где i – номер зоны. 

 

Рис. 10 

 
При f = 50 см и 

λ = 3,2 см радиусы зон имеют значения: r

1

 = 8,9 см;             r

2

 = 12,6 см; r

3

 = 15,4 см; 

r

4

 = 17,8 см; r

5

 = 20 см; r

6

 = 21,9 см. Очевидно, что в рассматриваемом плоском зеркале укладывается 

шесть зон Френеля. Несмотря на равенство площадей зон, амплитуды вторичных волн, отраженных от 

кольцевых зон и фиксируемых приемником, различны. Так как с увеличением номера i зоны увеличива-
ется угол 

α

i

 между нормалью к зеркалу и направлением в точку приема волн, то амплитуды вторичных 

волн  монотонно  убывают: 

...

3

2

1

>

>

>

E

E

E

.  Учитывая,  что  разность  хода  волн,  отраженных  от  любых 

двух соседних зон, равна 

2

λ

=

∆

, а разность фаз между ними равна 

π

=

∆

λ

π

=

ϕ

2

, то амплитуда результи-

рующей волны, отраженной от зеркала диаметром 44 см, согласно интерференционного принципа Гюй-

генса-Френеля равна: 

.

6

5

4

3

2

1

1

p

E

E

E

E

E

E

E

−

+

−

+

−

=

                              (22) 

Как было показано в § 2, при бесконечно большом числе зон 

p1

E

 =

2

1

E

. Векторная диаграмма ампли-

туд вторичных волн, отраженных от плоского зеркала показана на рис. 11.  

Возникает проблема: как можно увеличить амплитуду волны, отраженной от зеркала? Анализи-

руя выражение (22), студенты могут 

предложить два способа решения задачи. 

Во-первых, в плоском зеркале можно ос-

тавить лишь отражающие нечетные зоны, 

удалив из него отражающие четные зоны. 

Полученная таким образом пластинка на-