Дифракция и фокусировка электромагнитных волн - часть 5

 

субзоны являются точки на зеркале, которые находятся от точки М на расстоянии 













∆

+

2

i

f

. Очевидно, 

что 

∆  есть геометрическая разность хода вторичных волн, приходящих в точку М от любых двух со-

седних субзон. Если допустить, что каждая зона Френеля, на которые можно разбить поверхность плос-
кого зеркала, делится на N кольцевых субзон, то разность хода вторичных волн, приходящих в точку М 
от любых соседних субзон, равна 

 

N

2

λ

=

∆

.              (31) 

 

Из прямоугольного треугольника ОМА найдем радиусы субзон 

 

2

2

2

2

f

i

f

r

i

−













∆

+

=

;  

 

или 

4

2

2

2

∆

+

∆

=

i

if

r

i

.     (32) 

 

Если отбросить член 

4

2

2

∆

i

 второго порядка малости, то получим приближенную формулу 

∆

= if

r

i

.                                                    (33) 

 

Учитывая формулу (31), получим 

 

N

if

r

i

2

λ

=

. 

 

Например, для сантиметровых электромагнитных волн (

2

,

3

=

λ

 см) при        f = 75 см и N = 3, радиус 

первой  (i  = 1) субзоны  равен: 

2

,

63

2

=

λ

=

N

f

r

i

(мм).  Радиус  любой  субзоны  легко  найти  по  формуле: 

i

i

r

r

i

2

,

63

1

=

=

 (мм) при          i = 1; 2; 3 … 12. Можно показать, что площади кольцевых субзон одина-

ковы: 

∆

π

=

∆

f

S

. Однако, амплитуды вторичных волн, приходящих в точку наблюдения М, будут различ-

ны. Причем, чем больше номер i субзоны, тем меньше амплитуда вторичной волны, приходящей от нее, 
так как с ростом номера субзоны увеличивается угол 

i

α

 (рис. 30) между нормалью к зеркалу и направ-

лением в точку наблюдения М. Следовательно, между амплитудами волн, отраженных от субзон и при-
ходящих в точку М, имеется соотношение 

 

.....

E

E

E

3

2

1

>

>

>

 

 

Так как геометрическая разность хода вторичных волн, приходящих в точку М от любых соседних 

субзон, равна 

∆

, то между ними имеется разность фаз, равная 

∆

=

ϕ k

, 

 

где 

λ

π

=

2

k

 – волновое число. Учитывая формулу (11), получим: 

N

π

=

ϕ

.                                                 (34) 

Например, при N = 3 имеем 

3

π

=

ϕ

. Будем считать, что фаза вторичной волны, приходящей в точку 

М от первой (i = 1) субзоны, равна нулю: 

0

1

=

ϕ

. Тогда фаза вторичной волны, приходящей от второй (i 

Рис. 30 

 

= 2) субзоны, будет равна 

ϕ

=

ϕ

2

; фаза вторичной волны от третьей (i = 3) субзоны будет равна 

ϕ

=

ϕ

2

3

 и 

т.д. Следовательно, фазы вторичных волн, приходящих от субзон в точку М, образуют арифметическую 
прогрессию: 0; 

...

;

3

;

2

;

ϕ

ϕ

ϕ

Согласно  принципа  Гюйгенса-Френеля  амплитуда  результирующей  волны, 

приходящей в точку М, равна 

 

]

)

1

(

cos[

...

)

2

cos(

)

cos(

cos

3

2

1

ϕ

−

−

ω

+

ϕ

−

ω

+

ϕ

−

ω

+

ω

=

n

t

E

t

E

t

E

t

E

E

n

. (35) 

 

Для  нахождения  амплитуды  результирующей  волны,  отраженной  от  плоского  зеркала  и  приходя-

щей  в  точку  наблюдения,  воспользуемся  векторной  диаграммой  (рис. 31), построенной  на  основании 
формулы (35) при 

3

π

=

ϕ

. Векторная диаграмма представляет собой ломаную линию, вписанную в свер-

тывающуюся спираль, причем каждый последующий вектор 

1

E

+

i

 повернут против часовой стрелки на 

угол 

ϕ

 по отношению к предыдущему вектору 

i

E

. Амплитуда результирующей волны, отраженной от 

плоского  зеркала  и  приходящей  в  точку  М,  численно  равна  модулю  вектора,  соединяющего  начало  и 
конец  векторной  диаграммы.  Легко  видеть,  что  при  бесконечно  большом  числе  субзон  амплитуда  ре-
зультирующей волны равна половине амплитуды волны, приходящей от первых трех субзон, или поло-
вине амплитуды волны, приходящей от первой зоны Френеля. В частном случае двенадцати субзон или 
четырех зон Френеля, как показано на рис. 31, амплитуда результирующей волны, отраженной от плос-
кого зеркала, будет не столь большой. 

Для  того  чтобы увеличить  в  точке  наблюдения  амплитуду  результирующей  вторичной  волны,  от-

раженной от зеркала, необходимо «размотать» спираль векторной диаграммы (рис. 31) и превратить ее 
в прямую линию. Для  этой цели увеличим фазу вторичной волны, отраженной от второй субзоны, на 

3

π

=

ϕ

, т.е. повернем вектор 

2

E

 на диаграмме (рис. 31) по часовой стрелке на угол 

3

π

=

ϕ

 по отношению к 

вектору 

1

E

 волны, отраженной от первой субзоны. Другими словами, необходимо компенсировать  гео-

метрическую  разность 

 

 

Рис. 31 

 

Рис. 32 

 

 

хода 

∆

  между  вторичными  волнами 

2

E

и 

1

E

.  Технически  это  можно  реализовать  соответствующим 

смещением или сдвигом отражающего кольцевого слоя второй субзоны навстречу падающим волнам на 
отрезок: 
 

2

2

∆

=

=

d

d

 

 
по отношению к отражающей поверхности первой субзоны как схематично показано на рис. 32, а. Уве-
личим фазу волны, отраженной от третьей субзоны, на 

ϕ

2

, т.е. повернем вектор 

3

E

 на диаграмме (рис. 

31) по часовой стрелке на угол 

ϕ

2

 по отношению к вектору 

1

E

. Другими словами, компенсируем гео-

метрическую разность хода 

∆

2

 между вторичными волнами, отраженными от первой и третьей субзон. 

Это можно достичь, если отражающий кольцевой слой третьей субзоны сдвинуть навстречу падающим 
лучам на отрезок 
 

∆

=

∆

=

=

2

2

2

3

d

d

 

 
по отношению к отражающей поверхности первой субзоны (рис. 32, а). 

Аналогично, осуществляя данную операцию с остальными субзонами, получим, что для компенса-

ции геометрической разности хода между вторичными волнами необходимо отражающий слой i-ой суб-
зоны сместить на величину 

2

)

1

(

)

1

(

∆

−

=

−

=

i

d

i

d

i

.                                      (36) 

В  частном  случае,  при  N  = 3 и 

6

2

λ

=

λ

=

∆

N

,  величина  смещения  двух  соседних  субзон  равна: 

67

,

2

12

2

=

λ

=

∆

=

d

(мм) при 

32

=

λ

 мм. 

Таким образом, плоское зеркало превращается в ступенчатую фазовую субзонную пластинку (рис. 

32, а), работающую на отражение, благодаря которой ломаная спираль векторной диаграммы (рис. 31) 
превращается в кусочную прямую линию, а амплитуда отраженной результирующей волны в точке М 
становится равной: 
 

E

1

 + E

2

 + E

3

 + … + E

12

. 

 

На рис. 33 показана фотография ступенчатой фазовой субзонной пластинки для антиметровых элек-

тромагнитных волн (

2

,

3

=

λ

см), которая содержит 12 субзон или 4 зоны Френеля и имеет фокусное рас-

стояние f = 75 см при 

6

2

λ

=

λ

=

∆

N

. 

Для проведения опытов устанавливают источник 1 и приемник 2 сантиметровых электромагнитных 

волн с рупорными антеннами как показано на рис. 34. Для измерения интенсивности принимаемых волн 
приемная рупорная антенна соединяется с осциллографом или демонстрационным микроамперметром. 
Перед источником и приемником радиоволн на расстоянии f = 75 см устанавливают круглое металличе-
ское плоское зеркало 3 радиусом r

12

 = 219 мм и измеряют интенсивность I

o

 принимаемой волны. Плоское 

зеркало может быть изготовлено из любого металлического листа, содержащего 12 субзон или           4 
зоны Френеля. 

 

 

   

     

 

 

      Рис. 33                                                         Рис. 34 

Вместо плоского зеркала перед источником 1 и приемником 2 на том же расстоянии f = 75 см уста-

навливают ступенчатую фазовую субзонную пластинку (рис. 33) и отмечают резкое увеличение интен-
сивности I принимаемого сигнала, т.е. I >> I

o

. 

Очевидно, что ступенчатая фазовая субзонная пластинка не позволяет достичь предельной фокуси-

ровки волн, так как вторичные волны, приходящие в точку наблюдения от внешнего и внутреннего края 
каждой субзоны имеют разность фаз, равную

ϕ

, которая при N = 3 согласно формуле (34) равна: 

3

π

=

ϕ

. 

Следовательно, чтобы полностью «размотать» спираль векторной диаграммы и достичь максимальной 
фокусировки волн, необходимо значительно увеличить число субзон N, на которое разбивается каждая 
зона Френеля и изменить соответствующие фазы вторичных волн, то есть необходимо перейти от сту-
пенчатой  фазовой  субзонной  пластинки  к  вогнутому  зеркалу.  Чтобы  найти  форму  поверхности  соби-
рающего зеркала, необходимо из выражений (32) и (36) исключить величину 

∆ . При больших порядко-

вых числах субзон можно считать, что i 

≈ (i – 1). Тогда получим уравнение гиперболы 

 

2

2

4

2

d

fd

r

+

=

. 

 
Другими словами, собирающее зеркало, не обладающее сферической аберрацией, должно иметь по-

верхность в виде гиперболоида вращения. Если величину 

∆  исключить из уравнений (33) и (36), то по-

лучим уравнение параболы 

fd

r

2

2

=

.                                                 (37) 

 
Следовательно,  в  первом  приближении  форму  поверхности  собирающего  зеркала  можно  считать 

параболоидом вращения. 

Дадим  понятие  о  зонировании  собирающих  зеркал.  С  помощью  ступенчатой  фазовой  субзонной 

пластинки изменялись фазы вторичных волн, идущие от всех субзон, кроме первой субзоны. При N = 3 
фаза волны, идущая от седьмой субзоны изменилась на 2

π и есть вектор

7

E

на диаграмме (рис. 31) пово-

рачиваются по часовой стрелке на угол 2

π. Однако такое изменение фазы на 2π не влияет на соотноше-

ние всех фаз вторичных волн, приходящих в точку наблюдения. Следовательно, отражающую поверх-
ность седьмой субзоны           не следует сдвигать навстречу падающим волнам согласно формуле (36) 
на отрезок   

2

)

1

(

)

1

(

∆

−

=

−

=

i

d

i

d

i

.   При   

2

,

3

=

λ

 см   и   N = 3   имеем 

16

2

12

)

1

(

7

=

λ

=

λ

−

=

i

d

 мм. Поверхность 

восьмой, девятой и т.д. субзон следует  сместить  на  отрезки:  d; 2d;  3d  и  т.д.  При  этом  фазовые со-
отношения