Газовая и волновая динамика - часть 88

скорости набегающего потока

−→

V

∞

. Обтекание каждого сечения сферы перпендику-

лярного плоскости, содержащей вектора −

→

ω и

−→

V

∞

, рассматривается как поперечное

обтекание цилиндра с наложенной циркуляцией. Коэффициент C

z

для сферы есть

суммарная величина C

z

для каждого цилиндра. В результате такого подхода была

получена приближенная формула, имеющая вид:

C

z

=

16

3



(2)

Также как и в случае приближения Озеена (1) в (2) C

z

не зависит от числа

Рейнольдса Re. По-видимому, данная модель обтекания вращающейся сферы будет
лучше соответствовать режимам быстрого вращения, когда область ближнего следа
уменьшается в следствие затягивания отрыва потока.

4. Модель «пограничный слой + вихревая зона»

Целью данной модели является обобщение методики [3] на случай сферических тел
и турбулентного состояния пограничного слоя. Рассматривается сфера радиуса r при
дозвуковых режимах обтекания и закретичных числах Рейнольдса. Были получены
полуэмпирические формулы для вычисления C

z

в зависимости от параметра враще-

ния , числа Рейнольдса Re и числа Маха M = V

∞

/a (a - скорость звука). Ниже

кратко изложены основные положения модели.

5. Определение составляющихсилы Магнуса

Известны факторы, способствующие появлению силы Магнуса [4]: асимметрия тол-
щины пограничного слоя δ; асимметрия градиента давления среды, движущейся око-
ло поверхности тела ∂P/∂r; асимметрия течения после отрыва потока; асимметрия
распределения силы трения. Асимметрия распределения величин рассматривается
относительно плоскости, содержащей векторы −

→

ω и

−

→

V

∞

.

Определение давления, обусловленного асимметрией δ проводилось в два этапа.

Вначале приближенно определялась δ на теле при учете вращения. Затем решалась
задача потенциального обтекания «эффективного тела» (тело + пограничный слой).
В результате преобразования Хоуарта-Манглера [6] величина δ определялась на теле
при помощи известного решения задачи Блазиуса для ламинарного и турбулентно-
го пограничного слоя. Учет вращения тела производился через модифицированное
преобразование Манглера [5].

Учет вклада в силу Магнуса за счет ∂P/∂r производится при помощи разрабо-

танной выше модели пограничного слоя и двух уравнений из системы Навье-Стокса,
одно из которых содержит ∂P/∂r, а другое является уравнением неразрывности, из
которого находится радиальная составляющая скорости V

r

при известных значениях

для продольной V

x

и азимутальной V

φ

составляющих скорости. Из модели погра-

ничного слоя находилась V

x

. Профиль V

φ

строился исходя из предположения, что

356

переход от окружающей скорости на поверхности тела к окружной скорости в невяз-
ком течении происходит в соответствии с профилем Блазиуса [5]. При известных
V

r

, V

x

и V

φ

можно произвести оценку членов уравнения, содержащего радиальный

градиент давления при условии, что δ

 r и определить давление.

Выражение для коэффициента давления от двух факторов для тела сферической

формы, полученное в данном исследовании, имеет вид:

C

p

= [L

− (0.2852 · x

2

· 

2

+ 0.0197

· x

4

· 

4

)/β]

·  · V

n

(φ, α)

· δ(x)

(3)

Здесь L = (1.299

· T

∞

)/T



+ 1.24/β + 0.0377, δ(x) = δ

∗

(x)

· m

n

· T



/T

∞

, где δ

∗

(x)

- толщина пограничного слоя на пластине, m

n

- преобразование Манглера [6], T



-

температура стенки, β =

|1 − M

2

|

1

2

- поправка на сжимаемость.

Учет отрыва потока производился экспериментально при определении азимуталь-

ной составляющей скорости в невязком течении V

n

(φ, α) после изучения структуры

масло-сажевой пленки, нанесенной на поверхность тела [5]. Проведенные измере-
ния [7] позволили нам сравнить данные экспериментов и расчетов по вышеизложен-
ной методике коэффициента давления на цилиндре. Результаты сравнения показали,
что рассмотренный метод учета отрыва потока позволяет достаточно хорошо описы-
вать течение как в зоне сплошного обтекания, так и в отрывной зоне.

6. Определение силы Магнуса

Сила Магнуса определяется интегрированием проекции давления на нормальное к
плоскости, содержащей векторы −

→

ω и

−

→

V

∞

. В предположении того, что 

∼ 10

−2

для

сферических тел, в данной работе удалось получить соотношение для C

z

:

C

z

=

−4hKP

9

√

3

8

R

3

&

[

1
2

arcsin(

3
2

LR

− 1)] +

1
2

(

3
2

LR

− 1) · cos[arcsin(

3
2

LR

− 1)] −

1
3

cos[arcsin(

3
2

LR

− 1)]

3

'

· α

(4)

Здесь h = [1.3/k + 0.04 + (1

− 0.23

2

L

2

+ 0.016

4

L

4

)

· 1.24/κ] - составляющая от

асимметричности толщины пограничного слоя, κ = (

|1 − M

2

|)

1

2

- поправка на сжи-

маемость, k = 1 + 0.1224M

2

- поправка на сжимаемость ( при M

 1 : κ = k ≈ 1),

P = 2 - в случае безотрывного обтекания и P = 3(1

− 1.52 sin α) - когда отрыв при-

сутствует, L = l/d = 1, R = R/d = 0.5, K = 5.2/

√

Re

d

- когда течение ламинарное и

K = 0.37/

5

√

Re

d

- в случае турбулентности. Далее приводится сравнительный анализ

полученных нами и ранее известных результатов.

7. Сравнительный анализ результатов

На рис. 1 представлены расчеты C

z

(), полученные по формулам (1), (2), (4), а также

результаты экспериментов из работ [8], [9], [10], [11].

357

Рис. 1: Зависимость коэффициента C

z

от параметра вращения 

358

Джон Дэвис измерил коэффициент силы Магнуса с помощью вращающегося

шарика для гольфа [8]. Шарик с шероховатой поверхностью свободно падал сквозь
набегающий поток воздуха в аэродинамической трубе. Скорость потока V

∞

= 32 м/с,

диапазон скоростей вращения ω : 0..5000 r.p.m., радиус шарика r = 2.134 см, число
Рейнольдса Re

≈ 9 ∗ 10

4

.

Сикорский исследовал вращающийся бейсбольный шарик с 2-мя и 4-мя «швами».

Скорость набегающего воздушного потока V

∞

= 42 м/с, диапазон скоростей враще-

ния ω = 0..1200 r.p.m., радиус шарика r = 3.68 см, число Рейнольдса Re = 2.1

∗10

5

[9].

Берман и Харви исследовали шарик с шероховатой поверхностью при числах

Рейнольдса в дипазоне Re = 0.4

∗ 10

5

..2.4

∗ 10

5

и скоростях вращения ω = 0..6000

r.p.m [10].

Смитс и Смит измерили коэффициент силы Магнуса для шести различных вра-

щающихся в набегающем потоке шариков для гольфа при числах Рейнольдса Re =
7.0

∗ 10

4

..2.1

∗ 10

5

, диапазонах параметра вращения  = 0.08..0.20 [11]. На рис. 1

представлены результаты только одного из экспериментов.

На рис. 1 видно, что из приведенных выше приближенных формул для вычисле-

ния C

z

результатам эксперимента работы [8] для турбулентного режима обтекания

наиболее соответствуют значения, полученные по формуле (4).

8. Заключение

Сравнение наших расчетов с расчетными и экспериментальными данными других
авторов показывают хорошее соответствие результатов для выбранных режимов об-
текания. Это подтверждает разумность предложенной в данной работе модификации
теории [3] для сферических тел.

Литература

[1]

Rubinow S. I., Keller J. The transverse force on a spinning sphere moving in a
viscous fluid. — Journal of Fluid Mechanics, 1961, vol. 11.

[2]

Гольштик М. А., Сорокин В. Н. О движении частицы в вихревой камере. —
ПМТФ, 1968, № 6.

[3]

Козлов В. П. Влияние вязкости среды на движение осесимметричных враща-
ющихся тел при больших числах Маха. — Материалы международной кон-
ференции и Чебышевских чтений, посвященных 175-летию со дня рождения
Чебышева П. Л., 1996, т. 1.

[4]

Sturek W. B., Mylin D. C. Magnus effect on boattailed shell at supersonic speed.
— AIAA Pap., 1980, № 81.

[5]

Vaughn H. R., Reis G. E. A Magnus theory for bodies of revolution. — AIAA j.,
1973, vol. 11.

[6]

Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1969.

359