Газовая и волновая динамика - часть 87

Рис. 1. Схема расположения тела в потоке и вихря в следе

Рис. 2. Траектории движения
вихрей в следе за цилиндром,
расчитанные по уравнению [7]
для трех положений углов от-
рыва

Запишем закон об изменении колличества движения объема жидкости, содержаще-
гося внутри l:

d

I

dt

=

F + P

(5)

В уравнении (5)

I =

0

Σ

(u + iv)dσ - импульс сил объема Σ,

F - массовые силы, P -

поверхностные силы давления, определяемые уравнением:

P = ip = i(p

0

−

∂ϕ

∂t

−

1
2

ρ(u

− iv)(u + iv))

(6)

Уравнение (6) есть интеграл Коши-Лагранжа. Устремляем объем к нулю и из-
за малости объема пренебрегаем массовыми силами. После подстановки условий
(3),(4),(6) в (5) и интегрирования по контуру l левой и правой части уравнения (5)
получим:

d

Γ

в

dt

(ξ

в

− ξ

0

) +

Γ

в

(

dξ

в

dt

− ¯

C

1

) = 0

(7)

В (7) ¯

C

1

=

V|

ξ

=ξ

в

- скорость жидкости в точке ξ

в

, dξ

в

/dt - скорость вихря, ξ

0

- ком-

плексная координата точки отрыва, которая задается. В окрестности точки отрыва
характер течения аналогичен тормозящему потоку в двугранном угле, образованном,
в данном случае поверхностью тела и отошедшей от тела линией тока вследствии
отрыва течения [7]. Предполагается, что ξ

0

= const и из условия того, что в точке

отрыва скорость равна нулю определяется циркуляция вихря

Γ

в

(t):

V

((

((

ξ

=ξ

0

= 0

(8)

352

Уравнение (7), аналогичное полученному в [6] служит для определения координаты
вихря ξ

в

в зависимости от времени.

В случае обтекания кругового цилиндра уравнение (7) необходимо решать для

каждого, из пары симметрично расположенных относительно оси 0Y вихрей модели-
рующие разгонные. Вихри имеют противоположные по знаку циркуляции, с положи-
тельным направлением взятом против часовой стрелки. Точки отрыва расположены
симметрично относительно оси 0Y . Комплексный потенциал, в этом случае можно
представить в виде:

W = W

d

+

W

в

+

W

r

(9)

В (9)

W

d

- потенциал от свободного потока и диполя, моделирующего цилиндр,

W

в

- потенциал от пары вирхей, расположенных в точках ξ

в

и

−¯ξ

в

,

W

r

- потенциал от

«зеркальных» отображений вихрей в следе из вне, во внутренность цилиндра, распо-
ложенных в точках r

2

/ξ

в

и

−r

2

/¯

ξ

в

. Заметим, что в приведенной схеме расположения

вихрей суммарная их циркуляция равна нулю. В явном виде

W можно записать

как [4]:

W(ξ, t) = −iV

∞

(ξ

−

r

2

ξ

)

−

i

Γ

в

2π

ln

(ξ

− ξ

в

)(ξ + r

2

/ξ

в

)

(ξ

− ¯ξ

в

)(ξ + r

2

/¯

ξ

в

)

−

i

Γ

в

2π

ln(

−

ξ

в

¯ξ

в

)

(10)

Условие (8), в случае цилиндра запишется как:

Γ = (2πV

∞

)

(ξ

в

− ξ

0

)(¯

ξ

в

− ¯ξ

0

)(ξ

в

+ ¯

ξ

0

)(¯

ξ

в

+ ξ

0

)

(ξ

в

¯ξ

в

− r

2

)(ξ

в

+ ¯

ξ

в

)

(11)

3. Результаты расчетов

Расчеты проводились для трех положений точек отрыва ξ

0

= r

0

e

iθ

0

, θ

0

= 30

◦

; 45

◦

; 56

◦

и r

0

= 0.5% от радиуса цилиндра. В расчетах было установлено, что вихри, удаляясь

от поверхности цилиндра, асимптотически приближаются к положению на линии
Феппля [4], рис. 2. При этом, расчетное время за которое вихри проходят расстоя-
ние от точки отрыва до линии Феппля соответствует экспериментально замеренному
времени в работе [5]. В [5] измерялось время прошедшее от момента начала образо-
вания разгонных вихрей у поверхности цилиндра до момента потери их устойчивого
положения и схода в поток. Согласие экспериментальных и расчетных данных под-
тверждает качественно верное описании течения в отрывной зоне за цилиндром.
Рассмотренную модель можно использовать, видимо, и для случая других плохооб-
текаемых тел на участке формирования разгонных вихрей. При стационарном от-
рывном обтекании в дальнем следе образуется вихревая дорожка Кармана. Такое
течение достаточно хорошо описывается моделью дискретных вихрей [1]. Предложе-
ную, в данной работе модель можно использовать на участке формированния вихрей
после отрыва пограничного слоя в ближнем следе до образования дорожки Кармана.

353

Литература

[1]

Белоцерковский С. М., Котовский В. Н., Ништ М. И., Федоров Р. М. Ма-
тематическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел.
Под ред. Белоцерковского С. М. — М.:Наука, 1988.

[2]

Rosenhead L. Formation of vortices from a surfase of discontinuity. — Proc. Roy.
Soc. London, A. 1932, Vol.134, № 323.

[3]

Гогиш Л. В., Степанов Г. Ю. Отрывные и кавитационные течения. — М.:
Наука, 1990.

[4]

Милн-Томсон Л. М. Теоретическая гидродинамика. — М.: Мир, 1964.

[5]

Сарпкая Т. Течение с отрывом около тел, обладающих подъемной силой и
внезапно начинающееся течение около цилиндров. — РТК, 1966, № 3.

[6]

Bryson A. E. Symmetric votex separation on circular cylinders and cones. — J.
of Applied Mechanics, 1959, December.

[7]

Бетчелор Дж. Введение в динамику жидкости. — М.: Мир, 1973.

354

Сравнительный анализ величин силы Магнуса,

вычисленныхдля вращающейся сферы в различных

приближенныхмоделях

Миронов И. В.

1. Введение

Проблема движения в воздухе осесимметричных, вращающихся вокруг своей оси тел
- одна из интересных и нерешенных полностью задач аэромеханики. Численный рас-
чет аэродинамических характеристик при помощи полных уравнений Навье-Стокса в
широком диапазоне изменяемых параметров (Re - числа Рейнольдса, M - числа Ма-
ха,  - параметра вращения) не представляется возможным даже при наличие совре-
менной вычислительной техники. Поэтому для прикладных задач разрабатываются
приближенные модели, позволяющие определять аэродинамические характеристики,
при различных режимах обтекания тел. Характерной особенностью аэродинамики
вращающихся тел является возникновение силы Магнуса из-за наличия вязкости
среды.

Данная работа посвящена моделированию обтекания вращающейся сферы и полу-

эмпирическому определению коэффициента силы Магнуса. Приводится сравнитель-
ный анализ величин силы Магнуса, полученных в нашем подходе и в различных
известных приближенных моделях приведенных ниже.

2. Приближение Озеена

В работе [1] рассматриваются решения упрощенных уравнений Навье-Стокса в при-
ближении Озеена для случая 

 1, где  - параметр вращения,  = (r ∗ ω)/V

∞

: V

∞

- величина скорости набегающего потока, r - радиус сферы, ω - величина скорости
вращения сферы. В результате аналитически решенных уравнений была получена
формула для вычисления коэффициента силы Магнуса C

z

в следующем виде :

C

z

= 2

(1)

Характерно, что в соотношении (1) C

z

линейно зависит от параметра вращения 

и не зависит от числа Рейнольдса

Re = (V

∞

∗ d)/ν (d - диаметр сферы, ν- кинема-

тическая вязкость среды).

3. Потенциальная модель обтекания

В работе [2] рассматривается обтекание вращающейся сферы в рамках модели потен-
циального течения идеальной несжимаемой жидкости. Вращение сферы моделирует-
ся наложенной циркуляцией, при этом вектор вращения −

→

ω перпендикулярен вектору

355