Газовая и волновая динамика - часть 85

К вопросу о единственности построения решения

задачи Прандтля

Кончакова Н. А.

Не единственность выбора полей скольжения и распределения скоростей в клас-

сических решениях задачи о штампе по схеме жесткопластического тела указывает
на необходимость привлечения различных дополнительных соображений и исполь-
зования экспериментальных наблюдений. Показанная [1] положительность диссипа-
тивной функции, позволяет рассмотреть теоремы единственности решения краевых
задач для упругопластических тел. Представление диссипативной функции отража-
ет основные механические предположения, положенные в основу математической
модели. Гипотеза о совпадении главных направлений тензоров напряжений и дефор-
маций (скоростей деформаций) в пластическом состоянии является достаточно силь-
ным требованием при построении модели деформирования [1], поскольку в реальных
экспериментах достаточно часто имеет место отклонение от подобия тензоров [2].
Будем рассматривать соосность тензоров напряжений и скоростей деформаций, а от
их подобия следует отказаться. Тогда существенным является выбор инвариантов
напряженного и деформированного состояний, основанный на физической интер-
претации процессов диссипации энергии [3] и отражающий связь с площадками
максимальных касательных напряжений T и главными сдвигами Γ [4].

Проблема построения единственного решения распределения скоростей требует

обсуждения нескольких вопросов:

1.

Какие типы краевых условий допускает теорема единственности в уравнениях
для деформаций?

2.

Как поступить в том случае, когда используются краевые условия в напря-
жениях? Каким образом строить решения, если имеются смешанные условия
(например, под штампом)?

3.

Какие дополнительные краевые условия следует поставить в областях с угло-
выми точками?

Обратимся к записи уравнения энергии [1]:



L

¯

σ

n

· ¯uds +



V

ρ ¯

F

·¯udτ = 2



V

W dτ +



V

Ddτ,

(1)

где W — положительно определенная квадратичная форма напряжений или дефор-
маций для упругих состояний; скалярное произведение ¯

σ

n

· ¯u включает напряжения

и перемещения (от полных деформаций); диссипативная функция D, выписанная
при условиях полной пластичности, положительна при всех значениях характери-
стических параметров. Выбор нового набора инвариантов обуславливает отсутствие

344

подобия тензоров напряжений и деформаций и позволяет перейти и описанию кине-
матики деформирования с помощью перемещений (скоростей перемещений) [4]. Для
этого вводятся дополнительные, независимые кинематические параметры — углы по-
ворота элементов среды ω и углы наклона главных направлений тензора деформаций
ψ [5, 6]. Соотношения, описывающие необратимую деформацию для предлагаемой
синтетической модели, приведены в работах [5, 6] и имеют вид:

∂ ˜

ω

∂x

− cos 2ψ ·

∂ψ

∂x

+ sin 2ψ

·

∂ψ

∂y

= 0,

∂ ˜

ω

∂y

+ sin 2ψ

·

∂ψ

∂x

+ cos 2ψ

·

∂ψ

∂y

= 0,

(2)

где ω =

1

2



∂v
∂x

−

∂u
∂y

, tg2ψ ==

ε

xy

ε

y

−ε

x

, ˜

ω =

ω

Γ

e

.

Система принадлежит к гиперболическому типу и имеет два семейства веще-

ственных характеристик

dy
dx

= ctgψ,

dy
dx

=

−tgψ,

(3)

которые определяют сетку реальных линий скольжения, аналогичных линиям сколь-
жения в теории напряжений. Соотношения на характеристиках имеют вид:

˜

ω + ψ = α = const,

˜

ω

− ψ = β = const.

(4)

Указанные линии скольжения есть реально наблюдаемые во многих эксперимен-

тах линии разрушения материала [7], а также линии образования регулярных блоч-
ных структур в первоначально однородном теле [4, 5, 7].

Для иллюстрации приведенных в [6] свойств реальных линий скольжения, рас-

смотрим задачу о вдавливании штампа на податливом (с учетом необратимых дефор-
маций) основании. Штамп жесткий, трение на поверхности контакта отсутствует. В
предельном состоянии штамп движется вниз со скоростью ¯

V . Решение в напря-

жениях единственно и совпадает с решением Прандтля: в предельном состоянии
распределение давления под штампом равномерное. Задача имеет ось симметрии
x = 0, поэтому естественно рассмотреть одну часть пространства и отобразить ре-
шение относительно указанной оси. Поле скольжения (рис. 1) строится следующим
образом [8]:

В ∆BED, в силу заданных краевых условий (прямолинейная граница, свободная

от усилий), имеет место простое сжатие, параллельное границе

σ =

−k , θ =

π

4

.

Вдоль характеристик выполняются соотношения

α =

σ

2k

− θ = const,

345

Рис. 1.

β =

σ

2k

+ θ = const.

В рассматриваемом случае

α =

−

1
2

−

π

4

= const,

β =

−

1
2

+

π

4

= const.

В

ABC давление σ неизвестно, а θ =

π

4

. Вдоль характеристик

α =

σ

2k

+

π

4

= const,

β =

σ

2k

−

π

4

= const.

Треугольные области соединены центрированными полями. Вдоль α-линии параметр
α должен быть постоянен, следовательно α

ABC

= α

BED

:

σ

2k

+

π

4

=

−

1
2

−

π

4

.

Откуда получаем σ

ABC

=

−k (1 + π). Известно, что

σ

x

= σ

− k sin 2θ,

σ

y

= σ + k sin 2θ.

Поэтому в зоне под штампом

σ

x

=

−k (1 + π) − k sin 2



−

π

4

=

−kπ,

346

Рис. 2.

σ

y

=

−k (1 + π) + k sin 2



−

π

4

=

−k (2 + π) .

Предельная нагрузка P

∗

= 2

0

0

2

σ

y

dx = 2ka (2 + π)

При построении поля скоростей логично обсудить вопрос о краевых условиях.

Напряжения всюду в пластической области известны. На границе y = 0 отсутствует
трение на поверхности и напряжение σ

y

. То есть,

при

|a| < x напряжения σ

y

= τ

xy

= 0.

(5)

По условию задачи штамп движется вниз со скоростью ¯

V . Следовательно, краевые

условия при

|a| > x V = 0, τ

xy

= 0. Таким образом, в точках A и B (рис. 2) происхо-

дит смена типов краевых условий: до рассматриваемых точек задаются напряжения,
а внутри штампа граничные условия описывают поведение перемещений.

Точки A и B являются особыми. Покажем, что в них требуется задать допол-

нительные краевые условия [9]. Классические решения задачи свидетельствуют о
том, что условие непрерывности перемещений в угловых точках не обеспечивает
единственности решения [8].

Рассмотрим область деформирования под штампом. На границе AB задано V

= 0,

т.е. ω = ω

0

= 0, ψ = ψ

0

= 0. Следовательно, решается задача Коши (в силу симметрии

рассмотрим только область OBC). Разделим отрезок OB на малые части точками
(0, 0), (1, 1), (2, 2) . . . (m, m). Значения ˜

ω и ψ в узлах, ближайших к дуге, найдем из

условий постоянства параметров α и β на характеристиках (4)

˜

ω

m,m

+ ψ

m,m

= α = ˜

ω

m,m

+1

+ ψ

m,m

+1

,

˜

ω

m

+1,m+1

− ψ

m

+1,m+1

= β = ˜

ω

m,m

+1

− ψ

m,m

+1

,

где ˜

ω

m,m

, ψ

m,m

есть соответствующие значения переменных в узлах сетки. Из по-

следних уравнений получим выражения для определения неизвестных ω и ψ в про-

347