Газовая и волновая динамика - часть 83

Перемешивание при вытеснении вязкихжидкостей из

ячейки Хеле-Шоу

Ивашнев О. Е., Шахмардан М. М.

1. Введение

Ячейка Хеле-Шоу служит физической моделью пористой среды. Она представляет
собой канал, образованный двумя параллельными пластинами, расположенными на
расстоянии δ значительно меньшем длины L и ширины канала H. Фронт вытесне-
ния вязкой жидкости другой, менее вязкой, неустойчив. Менее вязкая, вытесняющая
жидкость прорывается через слой вытесняемой: образуя в ней каналы: называемые
вязкими пальцами. В результате образуется область (фронт вытеснения) лежащая
между основаниями и вершинами пальцев, в которой находится как вытесняемая,
так и вытесняющая жидкости. Изменение ширины этой области во времени в зави-
симости от параметров течения и требуется рассчитать.

Известно [1], [2], что форма вязких пальцев определяться силами поверхностного

натяжения и диффузией жидкостей. Но при вытеснении нефти водой из пористой
среды оба эти фактора не работают[3]. Нефть не смешивается с водой, и поэтому
диффузии нет. Силы поверхностного натяжения из-за разобщенности капилляров
грунта не зависят от формы фронта и, следовательно, не могут влиять на форму
вязких пальцев. Однако существуют эксперименты, в которых, несмотря на отсут-
ствие этих известных стабилизирующих факторов, вязкие пальцы имеют примерно
одинаковую ширину и похожую форму. На рис. 1 представлены результаты экспе-
риментов [4]. Даны фотографии фронта вытеснения в два момента времени t

1

= 2 c

и t

2

= 8 c. Вытесняется водоглицериновая смесь (справа) водой (слева) из ячейки

Хеле-Шоу с зазором между пластинами δ = 1.2 мм, длиной и шириной 200 и 100
мм. Среднеобъемная скорость вытеснения U = 1 см/с. Отношение вязкостей вы-
тесняемой и вытесняющей жидкости M = µ

2

/µ

1

= 84. Видно, что граница между

жидкостями, несмотря на ее сложную форму, не размывается со временем. Следова-
тельно, благодаря высокой скорости вытеснения эффекты диффузии не проявляются
в этом эксперименте. С другой стороны, поскольку вода и глицерин смешивающиеся
жидкости, на их межфазной поверхности не возникает сил поверхностного натяже-
ния. Таким образом, и с этой точки зрения этот эксперимент моделирует процесс
вытеснения нефти водой из пористой среды.

Мы предположили, что малые силы инерции, наряду с другими малыми пара-

метрами (силами поверхностного натяжения, действующими в плоскости течения,
диффузией) определяют размеры вязких пальцев и, следовательно, влияют на эф-
фективный коэффициент диффузии. Для проверки высказанной гипотезы была со-
ставлена математическая модель течения в ячейке Хеле-Шоу учитывающая инерцию
жидкости. Решения, полученные с ее помощью были сопоставлены с данным экспе-
римента.

336

Рис. 1: Фотографии фронта вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу
(δ = 1.2 мм, U = 1см/с, M = 84).

2. Математическая модель

Движение обеих жидкостей описывается одними и теми же уравнениями:

∂ u

∂ x

+

∂ v

∂ y

= 0

,

(1)

ρ

i

∂ u

∂ t

+ ρ

i

u

∂ u
∂ x

+ ρ

i

v

∂ u
∂ y

=

−

∂ P

∂ x

−

12 µ

i

δ

2

u,

(2)

ρ

i

∂ v

∂ t

+ ρ

i

u

∂ v

∂ x

+ ρ

i

v

∂ v
∂ y

=

−

∂ P

∂ y

−

12 µ

i

δ

2

v

(3)

где i = 1 для параметров, относящихся к вытесняющей жидкости; i = 2 — вытесня-
емой.

На межфазной поверхности ставится условие равенства давлений и нормальных

к межфазной поверхности составляющих векторов скорости жидкостей:

x = ξ (t, y) :

P

1

= P

2

= P

w

1n

= w

2n

(4)

3. Результаты анализа роста малыхвозмущений плоской меж-

фазной поверхности

Рассматривается эволюция малого синусоидального возмущения

ξ



= exp [i (ω t

− y/λ)]

(5)

337

межфазной поверхности, находящейся на линии x = 0. Первый постоянный пара-
метр решения (5) — комплексная частота, является мнимым; второй, длина волны
возмущения — действительным. Предполагаем, что амплитуда возмущений затухает
при удалении от поверхности фронта:

x

→ ±∞ : P



→ 0

(6)

Для случая, когда плотности вытесняемой и вытесняющей жидкостей равныρ

1

=

ρ

2

= ρ, связь между постоянными параметрами решения (5) имеет вид:



1,2

=

⎡
⎣3 (1 + M)

M Re

±

6 (M

− 1)

M Re

1
¯

λ

+

9 (1 + M )

2

M

2

Re

2

⎤
⎦ i,

(7)

где i

2

=

−1

 =

ω δ

U

¯

λ =

λ

δ

> 1

Re =

ρ δ U

µ

2

безразмерные комплексная частота, длина волны и число Рейнольдса. Для рассмат-
риваемого течения (рис. 1) Re = 0.14.

Из (5), (7) видно, что каждой длине волны λ соответствуют два значения .

Первое имеет положительную мнимую часть. Оно дает затухание возмущения. Вто-
рое с отрицательной мнимой частью дает его рост. На рис. 2 показана зависимость
отрицательной мнимой части 

2

(декремента затухания) от длины. Часть кривой,

лежащая левее линии ¯

λ = 1 не имеет физического смысла. На этом участке не вы-

полняется допущение модели о малости ширины ячейки в сравнении с линейными
размерами течения.

Из рисунка видно, что наибольшая интенсивность роста наблюдается у

возмущений наименьшей длины волны. Таким образом, если плоский фронт воз-
мущен случайным образом, то с наибольшей интенсивностью будут расти самые
короткие возмущения.

4. Задача об одиночном вязком пальце в ячейке Хеле-Шоу

В этой задаче рассматривается другой предельный случай, анализируется рост воз-
мущений имеющих бесконечную длину. В ячейке Хеле-Шоу шириной h со скоро-
стью U

0

распространяется вязкий палец(рис. 3). Скорость жидкости, при x

→ ∞ —

U < U

0

. Требуется рассчитать ширину вязкого пальца λ.

Из уравнения неразрывности следует связь между скоростью пальца и жидкости

на удалении от него:

U

0

λ + U

1

(h

− λ) = U h.

(8)

где U

1

— скорость жидкости при x

→ −∞, т.е. жидкости движущейся вдоль плоских

стенок пальца. Из предположения о существовании плоских стенок следует вывод об

338

Рис. 2: Зависимость декремента затухания, взятого со знаком минус, от длины
волны (Re = 0.14, M = 84).

339