Газовая и волновая динамика - часть 82

Подчеркнем, что системой типа (16) описывается и обобщенное решение задачи

об электрокапиллярном движении капли с ДЭС во внешнем электрическом поле



E = E

0

k с заменой u

0

= k на безразмерную скорость электрокапиллярного движения

v

e

= v

e

k. Если в качестве характерной скорости в последней задаче взять U

0

=

E

0

a



σ/µ, то единственным отличием в постановке и общем виде решения этих

двух задач будет условие вдали от капли [10]:

r

→ ∞ : v → v

e

= v

e

k, ∇ϕ → −k.

и соответствующий набор коэффициентов:

α =

−1, β = qv

0

−

1
2

,

A

1

= 0,

D

1

=

−

1
2

,

v

e

=

2
3

v

0

=

q

2 + 3

µ + q

2

+ (2q

2

/

σ)

.

На основе системы (16) в [10] для ЭГД-обтекания капли с ДЭС путем осреднения

по ансамблю возможных конфигураций была решена задача о скорости осаждения
однородной суспензии, а для случая электрокапиллярного движения - найден аналог
формулы Максвелла для эффективной проводимости суспензии. Аналогичным обра-
зом можно получить и выражение для эффективной диэлектрической проницаемости
суспензии, однако полученная формула не отражает экспериментально обнаружен-
ного эффекта гигантской диэлектрической проницаемости для суспензий с тонким
ДЭС.

Для объяснения этого интересного эффекта необходим, как показано в [12, 13, 14]

учет взаимодействия приложенного электрического тока с собственным магнитным
полем как в теории электровихревых течений.

В качестве заключения этого раздела рассмотрим новую задачу об ЭГД-обтекании

сферической капли с ДЭС и q = const осесимметричным деформационно-сдвиговым
потоком с заданным полем скорости вдали:

r

→ ∞ : v

x

→ −

1
2

Gx,

v

y

→ −

1
2

Gy,

v

z

→ Gz,

что является частным случаем разложения (6).

Общее решение через функцию тока, соответствующее этим условиям, можно

искать в виде

ψ = (A

5

r

5

+ A

3

r

3

+ A

0

+

D

2

r

2

) sin

2

θ cos θ

(17)

Если для обезразмеривания в качестве характерной величины скорости выбрать

U

0

= Ga, то эта задача будет описываться системой (12) и граничными условиями:

r = 1 :

v

n

= v



n

= 0, v

θ

= v



θ

=

−v

0

sin θ cos θ,

µp



rθ

− p

rθ

=

−q∇

θ

{ϕ},

−

∂ϕ

∂r

+ 2qv

0

P

2

(cos θ) = 0,

σ

∂ϕ



∂r

+ 2qv

0

P

2

(cos θ) = 0,

r

→ ∞ : v → v

∞

= ←

→

e

· r, ∇ϕ → 0,

(18)

332

где P

2

(cos θ) =

1

2

(3 cos

2

θ

− 1) - второй полином Лежандра, а безразмерный тензор

скоростей деформаций ←

→

e является диагональным с главными значениями e

11

=

e

22

=

−1/2, e

33

= 1.

Решение поставленной задачи с точностью до констант в выражении для элек-

трического потенциала имеет вид

r > 1 :

ϕ = ϕ

0

+

β

2

r

3

P

2

(cos θ),

ψ = (A

3

r

3

+ A

0

+

D

2

r

2

) sin

2

θ cos θ

r < 1 :

ϕ



= ϕ



0

+ b

2

r

2

P

2

(cos θ),

ψ



= (A



5

r

5

+ A



3

r

3

) sin

2

θ cos θ

(19)

где A



5

=

−A



3

= (1/2)v

0

, A

3

=

−1/2, A

0

= (1/4)(2v

0

− 5), D

2

= (1/4)(3

− 2v

0

),

b

2

=

−qv

0

/

σ, β

2

= 2qv

0

/3,

v

0

=

3

2(1 +

µ + (2q

2

/5) + (3q

2

/5

σ))

.

Откуда следует, что в деформационно-сдвиговом потоке капля с ДЭС при r > 1
действует как электрический квадруполь и линейная комбинация стресслета (член с
A

0

) и гидродинамического осесиметричного квадруполя (член с D

2

).

Для электрического потенциала в обобщенных функциях легко получаем [1]

ϕ = 2πβ

2



1
3

δ(r) −

∂

2

∂z

2

δ(r)



(20)

Выражение в обобщенных функциях для div v от гидродинамического квадруполя

имеет такую же структуру

div v

S

4

=

−

4π

3

D

2



1
3

δ(r) −

∂

2

∂z

2

δ(r)



,

если увидеть полную аналогию между

ϕ и div v

S

4

, когда их расписать в сфе-

рических координатах. Относительно div v от стресслета в литературе существует
ошибочное мнение, что и в обобщенных функциях div v

ST

= 0. Однако легко можно

показать, что для поля скоростей стресслета в нашем случае

v

ST

= 2A

0

←

→

e : ←

→

rr

r

2

·

r

r

3

= 2A

0

r

r

3

· P

2

(cos θ)

имеет место следующая цепочка преобразований:

div v

ST

= 2A

0

div



r

r

3

· P

2

(cos θ)



= 2A

0

P

2

(cos θ) div

r

r

3

=

=

−2A

0

P

2

(cos θ)

(1/r) = 8πA

0

P

2

(cos θ)δ(r).

Таким образом для суммарного поля скоростей получаем, что

div v = 8πA

0

P

2

(cos θ)

· δ(r) +

8π

9

D

2

(←

→

e

· ∇)∇δ(r).

(21)

333

Уравнение Стокса с силовой функцией от стресслета и квадруполя совместно с

(20) и (21) дают аналог системы (16) для деформационно-сдвигового потока. Путем
осреднения этой системы по ансамблю возможных конфигураций [7 – 10] желатель-
но проверить полученное в [11, 12] методом самосогласованного поля или стандарт-
ной процедурой подсчета мощности диссипации энергии [2, 19] обобщение формулы
Эйнштейна-Тейлора для эффективной вязкости

µ

∗

= µ



1 +

5
2

c

˜

σ(5˜

µ + 2) + q

2

(2˜

σ + 3)

5˜

σ(˜

µ + 1) + q

2

(2˜

σ + 3)



.

(22)

с поверхностным зарядом ДЭС в деформационно-сдвиговом потоке.

Заметим, что около капли во внешнем электрическом поле, находящейся вбли-

зи точки максимума электрокапиллярной кривой [20], будет генерироваться ЭГД-
течение с электрическим потенциалом вида (14), по функцией тока вида (17), что
приводит к еще одной модификации системы типа (16). Подчеркнем, что аналогич-
ная система, но со своими коэффициентами, получается при ЭГД-обтекании капли
с ПС зарядов [18], так что и формулы для µ

∗

в этих двух случаях должны иметь

отличную от (22), но похожую структуру. Аналогичным образом выражение для µ

∗

при электрокапиллярном движении суспензии при q = const должно быть другим,
относительно чего в литературе существуют разночтения, однако получение формул
в этих случаях - тема отдельного исследования.

Работа выполнена по гранту РФФИ (№ 01-01-00010)

Литература

[1]

Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. — М.:
Наука, 1979.

[2]

Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. —
М.: Мир, 1976.

[3]

Головин А. М., Натяганов В. Л. Магнитогидродинамическое обтекание капли
при малых числах Рейнольдса и Гартмана. — МЖГ, 1978, № 6.

[4]

Натяганов В. Л. Магнитогидродинамическое обтекание вращающегося шара
при малых числах Рейнольдса и Гартмана в приближении Озеена. — Вест.
МГУ, сер. 1, 1980, № 3.

[5]

Chwang A. T., Wu T. Y. Hydromechanics of low-Reynolds-number flow. — J.
Fluid Mech., pt. 1: 1974, v. 63; pt. 2: 1975, v. 67.

[6]

Новое в зарубежной науке. — Сер. Механика, № 22, 1980, М. Мир, 1980.

[7]

Головин А. М., Чижов В. Е. К расчету скорости осаждения однородной сус-
пензии. — ПММ, 1978, т. 42, № 1.

[8]

Головин А. М., Чижов В. Е. Об эффективной теплопроводности суспензии. —
Вест. МГУ, сер. 1, 1978, № 1.

334

[9]

Натяганов В. Л. Электрические свойства однородных суспензий сферических
частиц. — Сб. Современные проблемы механики и прикладной математики, ч.
2, Воронеж, ВГУ, 2000.

[10]

Натяганов В. Л., Орешина И. В.

Электрогидродинамика монодисперсных

эмульсий, ч. 1, 2. — Колл. жур., 2000, т. 62, № 1.

[11]

Натяганов В. Л., Орешина И. В., Чайка А. А. Эффективные гидродинами-
ческие и электрические характеристики однородных суспензий сферических
частиц. — Сб. «Математика. Компьютер. Образование.», вып. 8, М: Прогресс-
Традиция, 2001.

[12]

Натяганов В. Л. Сингулярный метод в моделях электрогидродинамики сус-
пензий. — Сб. Упругость и не упругость, М.: Изд-во МГУ, 2001.

[13]

Натяганов В. Л. Электрокапиллярновихревая модель шаровой молнии. Эф-
фект гигантской диэлектрической проницаемости суспензии. — Аннотации до-
кладов VIII Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике,
Пермь, 2001.

[14]

Натяганов В. Л. Электровихревая модель электрокапиллярного движения
сферической капли и шаровой молнии. Эффект гигантской электрической про-
ницаемости однородной суспензии. — Сб. науч. трудов «Математика. Компью-
тер. Образование.», вып. 8, ч. II, М.: Прогресс-Традиция, 2001.

[15]

Натяганов В. Л. Электрокапиллярновихревая модель сферического вихря
Хилла-Тейлора. — ДАН, 2001, т. 381, № 1.

[16]

Левич В. Г. Физико-химическая гидродинамика. — М.: Физматгиз, 1959.

[17]

Мелчер Дж. Р. Электрогидродинамика. — МГ, 1974, № 2.

[18]

Мелчер Дж. Р., Тейлор Дж. Электрогидродинамика: обзор роли межфазных
касательных напряжений. — Механика, сб. переводов, 1971, № 5.

[19]

Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. — М.: Мир, 1973.

[20]

Натяганов В. Л. Некоторые особенности электрокапиллярного движения ка-
пель. — Сб. Механика деформируемых сред, М.: Изд-во МГУ, 1985.

335