Газовая и волновая динамика - часть 80

результат требует пояснений, тем более, что исходные положения теорий совершен-
но разные. Напомним, что модель МЧЖ исходит из приближений: а) ударная волна
вместе с зоной реакции является скачком уплотнения и б) реакция в волне завер-
шается. Следствия этих приближений: скорость детонации не зависит от структуры

волны; связь между энтальпией и

p
ρ

, задаваемая уравнением состояния (19) имеет

вид

h =

γ

γ

− 1

p
ρ

− Q



здесь

γ

γ

− 1

=

c

pm

R



.

В рамках излагаемой теории система уравнений (35) не содержит явно информа-

ции о структуре волны, благодаря которой стало возможным ее выписать. Поэтому,
еслиотбросить содержательную часть и учесть вид зависимости (36) в экстремальном
состоянии среды, тонетрудно видеть, что следствия излагаемой теории формально те
же, что и следствия приближений теории МЧЖ.

6. Исследуем теперь устойчивость решения системы (30), определяющей движе-

ние в зоне горения. Но прежде отметим, что зона горения с одной реакцией, реа-
лизующаяся в рамках данной модели, в обобщенном смысле та же, что и в модели
Зельдовича-Неймана-Деринга. Вместе с тем, в рамках газодинамики воспламенения
раскрывается природа трансформации процесса, определяемого изначально несколь-
кими реакциями в процессе горения с одной реакцией. Эта трансформация связана
с развитием связанных реакций в зоне индукции, с последующим кризисом данного
механизма превращений на поверхности воспламенения. Такая трактовка рассматри-
вается как кинетическое обоснование основного положения модели ЗНД.

Перейдем теперь к определению условий устойчивости методом функций Ляпу-

нова [11]. Пусть в области допустимых значений p, h, c

1

существует непрерывная

вместе с частными производными первого порядка положительно определеная функ-
ция U (h, p, c

1

) такая, что функция W (h, p, c

1

) = ( grad u, f (h, p, c

1

)) удовлетворяет

неравенству W (h, p, c

1

)

≤ 0 при x > ζ. Тогда решение системы уравнений с правой

частью в форме вектор столбца f устойчиво и притом асимптотически. Следует на-
помнить, что недостаток метода функций Ляпунова заключается в том, что не суще-
ствует достаточно общего конструктивного метода построения функции U (h, p, c

1

) .

Тем не менее в нашем случае такое построение возможно. Рассмотрим энтропию в
зоне горения S = S (h, p, c

1

) и вычислим ее производную. Затем, привлекая (30) и

тождества

∂S

∂h

=

1

T

,

∂S

∂p

=

−

1

ρT

(38)

преобразуем производную к виду

dS

dx

=

∂S

∂c

1

ε

1

 0.

(39)

Знак в (39) установлен из требования, что производство энтропии



K

dS

dx



в необ-

ратимых процессах является положительно определенной функцией.

324

Введем функцию Ляпунова U следующим образом

U (h, p, c

1

) =

1
2



∂S

∂c

1



2

 0,

(40)

а функцию W (h, p, c

1

) определим так

W =

dU

dx

=

∂S

∂h



∂

2

S

∂c

1

h

dh
dx

+

∂

2

S

∂c

1

∂p

dp

dx

+

∂

2

S

∂c

2

1

dc

1

dx



.

Привлекая (30) и учитывая преобразования, выполненные с помощью (38),

1
ρ

∂

2

S

∂c

1

∂h

+

∂

2

S

∂c

1

∂p

=

1
ρ

∂

∂c

1



1

T



−

∂

∂c

1



1

ρT



=

1

ρ

2

T



∂ρ

∂c

1



,

приведем W к виду

W =

∂S

∂c

1

ε

1



K

2

ρ

4

T



1

− M

2

f





∂ρ

∂c

1



2

+

∂

2

S

∂c

2

1

=

∂S

∂c

1

ε

1

∂

2

S

∂c

2

1

1

− M

2

e

1

− M

2

f

.

Так как для газовой смеси

∂

2

S

∂c

2

1

< 0 [6], а

∂S

∂c

1

ε

 0, то условие устойчивости

решения системы уравнений (30) (W

 0) эквивалентно выполнению неравенства

1

− M

2

e

1

− M

f

 0.

(41)

Здесь M

e

=

U

a

e

, a

e

— псевдоравновесная скорость звука, определяемая по формуле

1

a

2

e

=

1

a

2

f

−



ρ

2

T

∂

2

S

∂c

2

1



−1



∂ρ

∂c

1



2

.

(42)

Замечание 3. Скорость звука a

e

названа псевдоравновесной, поскольку она тожде-

ственна по форме классической равновесной скорости звука, вводимой при условии
химического равновесия [12], но вычисляется при текущих значениях неравновес-
ных параметров в зоне горения. Из (42) видно, что a

e

 a

f

. Причем a

e

= a

f

, если

состояние неравновесной среды экстремальное. Условие (41) обобщает полученные
ранее условия стабильности равновесного потока в детонационной волне [12, 13] и
позволяет заключить, что поток в зоне горения является а) дозвуковым по отноше-
нию к скорости звука между поверхностью воспламенения и КП, б) звуковым по
отношению к ним на КП и в) сверхзвуковым за критической поверхностью.

Заключение. Модель детонации, построенная в рамках газодинамики воспламе-

нения, в своей основе отличается, естественно, от всех предшествующих, созданных
в рамках традиционной газодинамики горения. В ее рамках воссоздана структура

325

реальной детонационной волны [14], особенности которой проявляются благодаря
механизму связанных реакций. Структура включает: лидирующий ударный фронт;
зону индукции — область развития связанных реакций; поверхность воспламене-
ния — поверхность кризиса механизма связанных реакций; зону горения с одной
независимой реакцией, в которой на КП осуществляется переход от дозвукового к
сверхзвуковому течению по отношению к замороженной и псевдоравновесной скоро-
сти звука.

Литература

[1]

Гендугов В. М. Газодинамика воспламенения. — Вестн. Моск. ун-та, Сер. 1,
Математика, механика, 2001, № 4.

[2]

Гендугов В. М. О механизме и критических условиях образования природных
алмазов. — Вестн.Моск. ун-та, Сер. 1, Математика, механика, 2001, № 1.

[3]

Семенов Н. Н. Цепные реакции. — 2-е изд., испр. и доп., М.: Наука, 1986.

[4]

Кондратьев В. Н., Никитин Е. Е. Кинетика и механизм газофазных реакций.
— М: Наука, 1975.

[5]

Зельдович Я. Б. Доказательство единственности решения уравнений закона
действующих масс. — Физ. химия, 1938, 11, вып. 5.

[6]

Миркес Е. М., Быков В. И., Горбань А. Н. Выпуклость и запас выпукло-
сти термодинамических функций для идеальных систем. — Математические
методы в химической кинетике, Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1990.

[7]

Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1965.

[8]

Зельдович Я. Б. К теории распространения детонации в газообразных систе-
мах. — Ж. экспер. и теор. физики, 1940, т. 10, вып. 5.

[9]

Гриб А. А. Влияние места инициирования на параметры воздушной волны при
детонации взрывчатых газовых смесей. — Приклад. математика и механика,
1944, т.8.

[10]

Kirkwood J. G., Wood W. W. — J. Chem. Phys., 1954, v 22.

[11]

Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные урав-
нения. — М.: Наука, 1980.

[12]

Гендугов В. М. Теория детонации. Термодинамическое обоснование гипотезы
Чепмена-Жуге. — Вестн. Моск. ун-та, Сер. 1. Математика, Механика, 2000,
№ 2.

[13]

Гендугов В. М. О детонации Зельдовича-Неймана-Деринга. — Вестн. Моск.
ун-та, Сер. 1, Математика, Механика, 1999, № 3.

[14]

Войцеховский Б. В., Митрофанов В. В., Топчиян М. Е. Структура фронта
детонации в газах. — Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1963.

326

Сингулярный метод в ЭГД теченияхСтокса

для сферическихкапель с поверхностным зарядом

Натяганов В. Л., Чайка А. А.

В основе современного использования сингулярного метода в математической фи-

зике лежит аппарат обобщенных функций [1]. Сингулярный метод в задачах обтека-
ния тел вязкой жидкостью обычно применяется для нахождения фундаментального
решения различных приближений уравнения Навье-Стокса, которое соответствует
действию сосредоточенной силы [2]. Некоторое обобщение этого метода для маг-
нитной гидродинамики, предложенное в [3, 4], позволило решить ряд задач МГД-
обтекания тел.

При малых числах Рейнольдса система уравнений для несжимаемой жидкости в

приближении Стокса становится линейной и в безразмерных переменных имеет вид:

v − ∇p = − F ,

div v = 0,

(1)

Фундаментальное решение системы (1), соответствующее силовой функции

стокслета 

F = 

F

S

δ(r) = 8π 

f δ(r), где δ(r) - трехмерная дельта-функция Дирака,

можно найти методом точечных сил Озеена [2 – 4], если искать решение в виде

v = 

F

S

φ − ∇( F

S

· ∇)φ + v

∞

,

p =

−( F

S

· ∇)φ + p

∞

.

(2)

Здесь обобщенный потенциал φ =

−r/8π является фундаментальным решением би-

гармонического уравнения.

Распределение скоростей и давлений, генерируемое стокслетом, хорошо известно

и имеет вид [5]:

v

S

(r; 

f ) =



f

r

+

( 

f

· r)r

r

3

,

p

S

(r; 

f ) =

−2∇





f

r

,

(3)

где вектор 

f характеризует величину и направление стокслета.

В силу линейности системы (1) производные любого (но одинакового) порядка

от (3) также будут решением системы (1) для силовой функции 

F , являющейся

производной такого же порядка от силовой функции стокслета 

F

S

δ(r). Эти решения

можно представить как формальное разложение в ряд Тейлора от стокслета, тогда
отдельные члены этих разложений будут соответствовать течениям от силового или
стоксовского диполя, квадруполя и т.д. [5].

v

SD

(r; 

f ;l) =

−(l· ∇)v

S

,

p

SD

(r; 

f ;l) =

−(l· ∇)p

S

;

v

S

4

(r; 

f ;l; k) = (k

· ∇)(l· ∇)v

S

,

p

S

4

(r; 

f ;l; k) = (k

· ∇)(l· ∇)p

S

,

(4)

где постоянные вектора 

f , l, k играют роль мультипольных моментов.

327