Газовая и волновая динамика - часть 79

свидетельствующее о том, что термодинамическая функция предельного равновесия
в пространстве параметров p, ρ, h отделяет область G, где реализуются равновесные
состояния при связанных реакций, отобласти G, где таких состояний не существует
(область воспламенения).

4. Рассмотрим покоящуюся смесь политропных газов способную детониро-

вать и находящуюся в равновесии при двух связанных реакциях при параметрах
(p = p

0

, h = h

0

, ρ = ρ

0

) из G. Тогда состав смеси (c

k

= c

k

0

) является решением урав-

нения химического равновесия (16). Пусть по этой смеси с постоянной скоростью
D распространяется ударная волна (УВ), которая разогревает смесь и возбуждает в
ней реакции. Как и в работе [8] изменением состава смеси в скачке уплотнения пре-
небрегается. Тогда параметры горючей смеси перед и за УВ удовлетворяют обычным
соотношениям

ρ

0

D = ρ

s

u

s

= K, p

s

+

K

2

ρ

= p

0

+

K

2

ρ

0

, h

s

+

K

2

ρ

2

= h

0

+

K

2

2ρ

2

0

,

ρ

s

=

p

s

c

p

0

m

0

R (h

s

+ q

0

)

, c

k

s

= c

k

0

(k = 1, . . . , N ) .

(26)

Здесь u — скорость потока относительно УВ; c

p

0

=

N

k

=1

c

k

0

c

pk

m

k

,

1

m

0

=

N

k

=1

c

k

0

m

k

,

q

0

=

N

k

=1

c

k

0

h

◦

k

m

k

; индексы 0, s относятся, соответственно к параметрам перед и за УВ.

Тогда уравнения газодинамики воспламенения (9), (10) принимают вид

ρu = K,

dp

dx

=

K

2

ρ

2

dρ

dx

,

dh
dx

=

K

2

ρ

3

dρ

dx

,

dp

dx

=

1

a

2

f

dρ

dx

(27)

N

i

=1

∂ρ

∂c

i

ε

i

= 0;

dc

1

dx

=

E

1

U

= ε

1

.

(28)

Комбинируя второе и четвертое уравнения (27), получим



1

− M

2

f

 dρ

dx

= 0



M

f

=

U

a

f



.

Из этого равенства следует, что в окрестности УВ параметры потока (p, ρ, h, u) по-
стоянные величины, равные их значениям на УВ.

Обратим внимание на то, что в зависимости от скорости УВ процесс превраще-

ний за ней развивается по одному из двух сценариев. Первый из них соответствует
ситуации, когда параметрыпотока за УВостаются в области G (вне области вос-
пламенения) и реакции, оставаясь связанными, приходят в состояние химического
равновесия. При этом параметры потока остаются постоянными, а волна распростра-
няется по горючей смеси, как по нейтральному газу. Такая ситуация имеет место до

320

тех пор, пока равновесие за УВне станет предельным. В данной работе мы ограни-
чимся этим качественным указанием о характере распространения УВ по первому
сценарию, предопределяющим исследование важной задачи о пределе инициирова-
ния детонации ударной волной.

Рассмотрим второй сценарий, когда параметры потока за УВ принадлежат области

воспламенения



G



. Тогда, в ударно сжатой горючей смеси с постояными парамет-

рами нет состояния равновесия при связанных реакциях. Так как на УВ реакции
связаны, то они остаются таковыми и вне окрестности (зоне индукции), в кото-
рой изменение состава определяется из второго уравнения (28) при фиксированных
значениях p и h (p = p

0

, h = h

s

)

x =



c

1

c

10

dc

ε

1

.

Поскольку равновесия нет, то на расстоянии

x = ζ =



c

1

c

10

dc

ε

1

,

(29)

от УВ концентрация c

1

выходит на границу ОДЗ соотношения (22). В результате на

поверхности x = ζ (поверхность воспламенения) соотношение (22) расщепляется на
(24) и (25) с кризисом механизма связанных реакций. Далее при x > ζ и в силу
неравновесности процесса c

1

принимает значение вне ОДЗ (22). Поэтому соотно-

шения (24) и (25) дополняет уравнение закона сохранения атомов (1) и движение
реагирующей смеси подчиняется традиционным уравнениям газодинамики горения
(2) – (6) с одной реакцией, но с уравнением состояния в форме (25). Имея в виду
сказанное, запишем (2) – (6) в системе координат, связанной с УВ (x > ζ)

ρu = K,

dp

dx

=

K

2

ρ

2

dρ

dx

;

dh
dx

=

K

2

ρ

3

dρ

dx

; F = 0;

dc

1

dx

= ε

1

.

(30)

Замечание 1. Так как (2) – (6) выводятся при условиях достаточной гладкости

производных, входящих в уравнения, то, естественно, при переходе к новой системе
координат условиянепрерывности градиентов параметров сохраняется.

Система уравнений (30) решается с начальными данными на поверхности вос-

пламенения

x = ζ, p = p

s

, h = h

s

, ρ = ρ

s

, u = u

s

, c

1

= c

1

1

.

(31)

Запишем уравнение состояния (25) в дифференциальной форме

∂F

∂ρ

dρ

dx

+

∂F

∂p

dp

dx

+

∂F

∂h

dh
dx

+

∂F

∂c

1

dc

1

dx

= 0.

Учитывая тождества

∂F

∂p

/

∂F

∂ρ

=

−

∂ρ
∂p

;

∂F

∂h

/

∂F

∂ρ

=

−

∂ρ

∂h

;

∂F

∂c

1

/

∂F

∂ρ

=

−

∂ρ

∂c

1

321

и, привлекая (30), получим уравнение для градиента плотности

dρ

dx

=



1

− M

2

f



−1

∂ρ

∂c

1

ε

1

.

(32)

Если подставить (32) в (30), то эту систему дифференциальных уравнений дви-

жения приведем к нормальному виду. При этом система будет автономной.

Замечание 2. Нетрудно заметить, что соотношения на УВ, параметры потока в

зоне индукции и на поверхности воспламенения, а также уравнения движения в зоне
горения содержат неизвестный параметр — скорость волны. Поэтому количествен-
ный расчет структуры детонационной волны возможен лишь после решения главной
задачи — вывода уравнений, определяющих эту скорость.

5. Вывод уравнений, определяющих скорость детонации, связан с особенностями

структуры волны. Напомним, что в результате исследования стационарной детонации
с примыкающей к нейволной разрежения установлено [9, 10], что передний фронт
волны разрежения гладко сшивается со стационарной зоной горения на критической
поверхности (КП), где местное число Маха, рассчитанное по замороженной скоро-
сти звука, равно единице. Поэтому, всоответствии с критериями Гриба-Кирквуда-
Вуда, далееисследуется модель детонации, содержащая в зоне неравновесного го-
рения (ε

1

> 0) КП. В соответствии с Замечанием 1 и из (32) следует, что на КП

выполняются условия

M

2

f

= 1,

(33)



∂ρ

∂c

1



p,h

= 0.

(34)

Условие (34) будем называть условием экстремального состояния среды. Так-

как на УВ поток дозвуковой по отношению к замороженной скорости звука, то вся
область течения между УВ и КП является дозвуковой (M

f

< 1). Заметим, что урав-

нения количества движения и энергии в (30) допускают первые интегралы, которые
с учетом (31) и (26) можно представитьв форме, справедливой всюду за УВ. Объеди-
няя эти интегральные соотношения, уравнения состояния (25) и условия (33), (34),
получим замкнутую систему уравнений для параметров потока на КП и скорости
детонации

p

− p

0

=

−K

2



1
ρ

−

1

ρ

0



; h

− h

0

=

1
2

(p

− p

0

)



1
ρ

+

1

ρ

0



;

F (h, p, ρ, c

1

) = 0;

∂ρ

∂c

1

= 0; M

2

f

= 1.

(35)

Заметим, чтоуравнения (35) не содержат информации о структуре волны и меха-

низмах реакции за УВ. Это означает, что скорость детонации является константой
исходной горючей смеси. Дадим геометрическую интерпретацию уравнениям (35),

предварительно опустив в этой системе условие (33). Тогда в плоскости



1
ρ

, p



пер-

322

вое уравнение определяет прямую Михельсона, проходящую через начальное состо-

яние



1

ρ

0

, p

0



а остальные — адиабату экстремальных состояний (а.э.с.). Запишем

второе и третье уравнения (35) в дифференциалах с учетом (34)

dh =

1
2

(p

− p

0

) d



1
ρ



+

1
2



1
ρ

−

1

ρ

0



dp;

∂ρ

∂h

dh +

∂ρ
∂p

dp =

−ρ

2

d



1
ρ



.

Исключая из этих равенств dh, а затем, используя условие касания прямой Михель-
сона к а.э.с.

dp

d



1
ρ

 =

(p

− p

0

)

1
ρ

−

1

ρ

0

,

получим соотношение (33). Иначе говоря, детонация распространяется в режиме
Чепмена-Жуге, но по отношению к этой адиабате.

Приведем теперь явный вид а.э.с. для смеси политропных газов. Из равенства

∂c

1

∂ρ

=



∂ρ

∂c

1



−1

следует, чтов экстремальном состоянии

∂c

1

∂ρ

=

∞. Решая уравнение

(25) относительно c

1

, получим (23). Из вида (23) следует, чтов экстремальном со-

стоянии дискриминант уравнения равен нулю (D

0

= 0). После преобразований его

можно записать так

Ψ =



L

1

−

Q

1

Q

2

L

2

 

L

2

−

M

2

M

1

L

2



Ψ+

+

b

M

2



L

1

−

M

2

M

1

L

2



+ Q

2

b



b

M

2

−



L

1

−

Q

1

Q

2

L

2



= 0.

Возвращаясь к истинным переменным, из этого равенства получим

h + q

0

=

γ

γ

− 1

p
ρ

−

z

2

z

1

q

2

,

(36)

где

γ

γ

− 1

=

γ

0

(γ

0

− 1) z

1

;

γ

0

− 1

γ

0

=

R

m

0

c

p

0

; z

1

=

b

M

2



L

1

−

Q

1

Q

2

L

2

; z

2

=

b (z

1

− 1)

L

1

−

M

2

M1

L

2

. Объ-

единим (36) и второе уравнение в (35). Исключая из них b, получим уравнение
а.э.с.

p

p

0

=

2α + æ

−

ρ

0

ρ

æ

ρ

0

ρ

− 1

,

(37)

где æ =

γ + 1
γ

− 1

; α =

ρ

0

ρ



z

2

z

1

q

2

+ h

0



−

γ

γ

− 1

.

Нетрудно заметить, что уравнение а.э.с. (37) с точностью до обозначений сов-

падает с уравнением детонационной адиабаты в классической теории Михельсона-
Чепмена-Жуге. Поэтому в рамках излагаемой теории скорость потока и параметры
потока на КП вычисляются по формулам классической теории. Этот удивительный

323