Газовая и волновая динамика - часть 84

Рис. 3: Постановка задачи о бесконечно длинном вязком пальце в ячейке.

однородности давления в сечении y = const. Приравнивая давления в вытесняющей
и вытесняемой жидкости, получаем:

µ

1

U

0

= µ

2

U

1

(9)

Из уравнений (8), (9) получаем:

U

0



λ + (h

− λ)

µ

1

µ

2



= U h.

(10)

Уравнение (10), полученное из общих интегральных соотношений, дает связь

между неизвестными параметрами задачи U

0

и λ. Оказалось, что решение задачи

о вязком пальце в классической постановке [5], которое строится без учета сил
инерции, не дает второй связи между этими параметрами. В соответствии с этим
решением она может быть любой [6]. Путем подбора источников и стоков, располо-
женных на оси симметрии течения (рис. 3) было получено приближенное решение
задачи о вязком пальце с учетом сил инерции. Малые силы инерции доминируют в
особой точке потока x = y = 0 (рис. 3). Из условия существования решения в этой
точке следует соотношение между интенсивностью лобового источника и скоростью
потока. Это соотношение, в неявной форме (в которую входят интенсивности многих
источников и их координаты) дает недостающую связь между параметрами U

0

и λ.

Таким образом, из решения задач об эволюции малых возмущений плоской по-

верхности и о вязком пальце следует, что на межфазной поверхности вначале вы-
растают узкие пальцы, шириной

∼ δ. По мере роста ширина их возрастает. Это

340

объясняет необычную «грушевидную» форму вязких пальцев наблюдаемых в экспе-
рименте, представленном на рис. 1.

5. Результаты численного моделирования

Чтобы проследить за эволюцией вязких пальцев и рассчитать интегральную харак-
теристику процесса вытеснения — эффективный коэффициент диффузии, задача о
вытеснении вязкой жидкости была решена численно. В основу алгоритма было по-
ложено предположение о существовании непрерывного поля скоростей и давлений
около межфазной поверхности. Тогда, используя тот факт, что параметры, опреде-
ляемые физическими свойствами жидкостей ρ

i

и µ

i

, входят в систему уравнений

(1) – (3) лишь в виде коэффициентов, возможно рассчитать поле скоростей и давле-
ний для каждого последующего момента времени во всей области течения. Затем, по
известному полю скоростей, определялось новое положение межфазной поверхности.

Поскольку уравнения (2), (3) являются уравнениями типа Эйлера (они не со-

держат второй производной от скорости), на межфазной поверхности может быть
выполнено лишь условие равенства нормальных к поверхности составляющих скоро-
сти. Касательные же составляющие могут терпеть разрыв. Поэтому предположение о
непрерывности параметров у межфазной поверхности не следует из математической
постановки задачи. Однако, известно [7], что численный аналог уравнений отличает-
ся от математического. Численная схема «добавляет» к математическим уравнениям
старшие производные. Поэтому в численных расчетах по сути решаеся полная систе-
ма уравнений типа Навье-Стокса, в которой схемная вязкость подобрана так, чтобы
размазать скачок скорости на 1 – 2 ячейки (в зависимости от типа схемы).

Из-за трудности моделирования течения вокруг десятков вязких пальцев одно-

временно, в численном эксперименте было рассмотрено течение только в 1/10 части
экспериментальной ячейки Хеле-Шоу. На рис. 4,а показана форма фронта вытесне-
ния в несколько моментов времени, рассчитанная для «неинерциальной» жидкости
(Re = 0). За единицу измерения времени принято время прохождения жидкой части-
цы, движущейся со среднемассовой скоростью U , расстояния равного ширине ячейки
Хеле-Шоу используемой в численном эксперименте T

∗

= U t/h (h = 0.1 H). Видно,

что в безинерционной жидкости ширина вязких пальцев не изменяется в процессе
их эволюции. Она остается минимально возможной и равной нескольким ячейкам
численной сетки.

В инерционной жидкости (рис. 4, б) вязкие пальцы постепенно утолщаются, а

жидкий «мост» отделяющий их головную часть от основной массы вытесняющей
жидкости, наоборот, утончается. Аналогичные конфигурации наблюдаются и в экс-
перименте (рис. 1). В целом, численный эксперимент подтвердил существенную роль
инерции жидкости в процессе формирования структуры фронта вытеснения при вы-
бранных параметрах течения.

341

Рис. 4: Структура фронта вытеснения в численном эксперименте: а — в неинер-
ционной жидкости; б — с учетом инерц ии.

342

6. Заключение

Анализ устойчивости на малые возмущения первоначально плоского фронта вытес-
нения вязкой жидкости другой, менее вязкой показал, что с наибольшей скоростью
растут наиболее короткие возмущения, длиной порядка ширины ячейки Хеле-Шоу.
Таким образом, возникающие пальцы имеют ширину

∼ δ.

Решение задачи о вязком пальце в ячейке Хеле-Шоу с учетом инерции жидкости

позволяет рассчитать ширину вязкого пальца. Из решения двух аналитических задач
следует, что ширина вязкого пальца по мере его роста увеличивается, стремясь к
стационарному значению.

Численные расчеты процесса неустойчивого вытеснения подтвердили вывод ли-

нейного анализа о доминирующем росте коротких возмущений. Все образующие
пальцы имеют минимально возможную ширину. В расчетах без учета инерции жид-
кости ширина вязкого пальца не меняется со временем. При учете инерции шири-
на вязких пальцев увеличивается по мере их роста. Это находится в соответствии
с данными эксперимента и подтверждает роль инерции в процессе формирования
структуры фронта неустойчивого вытеснения.

Литература

[1]

Park C.W., Homsy G.M. The instability of long fingers in Hele-Show flows. —
Phys. Fluids 1985, V.28, N. 6.

[2]

Homsy G.M. Viscous fingering in porous media. — Ann. Rev. Fluid Mech., 1987,
V.19.

[3]

Smirnov N.N., Nikitin V.F., Ivashnyov O.E., Legros J.C., Vedernikov A., Scheid
B., Istasse E. Instability in viscous fluids displacement from cracks and porous
samples. — Proc. 53-d Internat. Astronautical Congress, Houston 2002, IAC-02-
J.2.02.

[4]

Smirnov N.N., Nikitin V.F., Ivashnyov O.E., Maximenko A., Thiercelin M.,
Vedernikov A., Scheid B., Istasse E, Legros J.C. Theoretical and experimental
study of instability and the mixing flux in frontal displacement of fluids. — Proc.
54-d Internat. Astronautical Congress, Bremen 2003, IAC-03-J.2.03.

[5]

Saffman P.G., Taylor G.J. The penetration of a fluid into a porous medium of
Hele-Show cell containing a more viscous fluid. — Proc. R. Foc. Zond., A 245,
312, 1958.

[6]

Tanveer S. Surprises in viscous fingering. — J. Fluid Mech., 2000, V. 409.

[7]

Роуч П. Вычислительная гидродинамика. — М.: Мир, 1980.

343