Газовая и волновая динамика - часть 86

извольном узле (m, n), (n > m):

˜

ω

m,n

=

1
2

(˜

ω

m,n

−1

+ ˜

ω

m

+1,n

+ ψ

m,n

−1

− ψ

m

+1,n

) ,

ψ

m,n

=

1
2

(ψ

m,n

−1

+ ψ

m

+1,n

+ ˜

ω

m,n

−1

− ˜ω

m

+1,n

) .

Данные соотношения позволяют вычислить параметры ˜

ω и ψ в ∆OBC . При

заданных граничных условиях имеем:

˜

ω

0,1

= 0, ψ

0,1

= ψ

0

; ˜

ω

1,2

= 0, ψ

1,2

= ψ

0

; . . . ;

˜

ω

m,

1

= 0, ψ

m,

1

= ψ

0

; . . . ; ˜

ω

m,n

= 0, ψ

m,n

= ψ

0

; . . .

Значение переменной ˜

ω всюду в области OBC равно нулю, а переменная ψ = ψ

0

во

всех точках этой области. Таким образом, в пластической зоне под штампом, имеет
место равномерное прямолинейное поле деформаций [6]. Реальными линиями сколь-
жения будут два ортогональных семейства параллельных прямых направленных под
углом θ =

π

4

к границе (рис. 2). В данном поле линий скольжения характеристики ω

и ψ постоянны. Таким образом, все элементы поворачиваются одинаково на угол ω,
а также ψ — угол между главным направлением тензора деформаций и осью Ox —
сохраняет свое постоянное значение.

Проанализируем поведение перемещений в рассматриваемой области. Соотноше-

ния для деформаций имеют вид [6]:

ε

x

=

−

1
2

Γ

e

cos 2ψ,

ε

y

=

1
2

Γ

e

cos 2ψ,

ε

xy

= Γ

e

sin 2ψ.

Подставим их в известные [5] формулы для приращений перемещений:

du =

∂u
∂x

dx +

∂u
∂y

dy = ε

x

dx +



1
2

ε

xy

− ω

z



dy,

dv =

∂v

∂x

dx +

∂v
∂y

dy =



1
2

ε

xy

+ ω

z



dx + ε

y

dy.

С учетом малости параметра ψ, получим:

du =

−

Γ

e

2

dx + Γ

e

ψ

0

dy,

dv = Γ

e

ψ

0

dx +

Γ

e

2

dy.

(6)

Уравнения (6) совместно с условиями (4) позволяют находить смещения u и v

вдоль характеристик в области OBC.

348

Выше было показано, что на характеристике BC

ω равно нулю. Однако, в точке

B

ω

= 0, что физически объясняется процессом вдавливания штампа. Как видим, в

точке B не только происходит смена краевых условий, но и меняется значение пере-
менной ω. Значит, для единственности решения необходимо ввести дополнительные
краевые условия: либо задать ω — повороты волокна (элемента), либо указать изме-
нение величины ψ.

В зоне BED сетка по напряжениям известна. Работая с уравнениями для дефор-

маций (2) и краевыми условиями для напряжений (5), из физических соображений
можно предположить искажение границы y = 0 — BE. Возмущения ω и ψ могут быть
вычислены в области BED, если проведен полный анализ решения в веере BCD.
Разрыв величины ω, введенный в точке B, распределяется на характеристических
линиях веера. Тогда [ω] компенсируется внутри области.

Таким образом, в точках A и B следует дозадать разрыв перемещений или момент

сил (поворот), что обеспечит единственность решения как упругой, так и упругопла-
стической задач.

Литература

[1]

Шемякин Е. И. Диссипативная функция в моделях идеальных упругопласти-
ческих тел. — Докл. РАН, Механика, 2001, Т. 376, № 4.

[2]

Христианович С. А., Шемякин Е. И. О плоской деформации пластического
материала при сложном нагружении. — Изв. АН СССР, МТТ, 1969, №5.

[3]

Шемякин Е. И. Об инвариантах напряженного и деформированного состояния
в математических моделях механики сплошной среды. — Докл. РАН, Меха-
ника, 2000, Т. 373, №5.

[4]

Шемякин Е. И. Синтетическая теория прочности. Часть I. — Физическая ме-
зомеханика, 1999, №2.

[5]

Шемякин Е. И. О хрупком разрушении твердых тел (плоская деформация). —
Изв. РАН, Механ. тверд. тела, 1997, №2.

[6]

Кончакова Н. А. О построении моделей сплошных сред с несимметричными
тензорами. — Вестн. Моск. ун-та, Сер.1, Математика, Механика, 2002, № 4.

[7]

Ревуженко А. Ф. Механика упругопластических сред и нестандартный ана-
лиз. — Новосибирск, 2000.

[8]

Качанов Л. М. Основы теории пластичности. — М., 1969.

[9]

Шемякин Е. И. О краевых задачах теории упругости для областей с угловыми
точками (плоская деформация). — Докл. РАН, Механика, 1996, Т. 347, №3.

349

Модель движения разгонныхвихрей в следе за

цилиндром

Козлов В. П.

1. Введение

При решении задач аэродинамики широко используются приближенные математи-
ческие модели. Эти модели, в частности, служат для решения задач обтекания с
образованием отрывных зон течение в которых, как правило, является нестационар-
ным. Большое распространение получил метод дискретных вихрей [1], разработан-
ный в начале XIX века Розенхидом [2] и основанный на моделировании отрывных
зон «облаком» свободных дискретных вихрей. Достаточно полный анализ подходов
при решении подобных задачах в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости
приводится в книге [3].

В данной статье предлагается один из возможных вариантов модели течения в

зоне отрыва в двухмерном случае. В качестве примера будет рассмотрена задача по-
перечного обтекания кругового цилиндра радиуса r дозвуковым потоком, мгновенно
преобретающим постоянную скоростью

V

∞

. Из эксперимента [4, 5] известно, что в

этом случае в ближнем следе за цилиндром образуется область возвратного течения,
представляющая из себя пару разгонных вихрей. В течении некоторого времени эта
область увеличивается, а разгонные вихри остаются симметрично расположенными
относительно оси, проходящей через центр цилиндра в направлении скорости потока.
На расстоянии около полутора диаметров от цилиндра вихри теряют устойчивость
и поочередно сходят в поток. Задача состоит в том, что бы в рамках идеальной
несжимаеммой жидкости описать движение разгонных вихрей до момента потери их
устойчивого симметричного положения.

В основу данного подхода легли идеи Брайсона, предложенные им в работе [6]. В

этой работе в рамках потенциальной модели течения разгонные вихри моделируют-
ся парой вихрей, имеющие не нулевую составляющую скорости относительно частиц
жидкости dξ

в

/dt, где ξ

в

(t) - комплексная координата положения вихря и переменную

по времени циркуляцию

Γ

в

=

Γ

в

(t). В [6] вводятся две вихревые пелены, соединяю-

щие вихри с поверхностью цилиндра в точке отрыва ξ = ξ

0

и выводится уравнение

движения каждого вихря из соотношений баланса сил, действующих на вихревую
пелену и вихрь. При этом предполагается, что вихревая пелена испытывает давле-
ние со стороны жидкости и, следовательно является некотой материальной твердой
линией. Понятия вихревой пелены и дискретных вихрей, введенные в работе [6] не
согласуются с классическим определением дискретного вихря и вихревого слоя [2].
В [2] каждый вихрь пелены или слоя «вморожен» в среду и свободно сносится по-
током, имея при этом постоянную циркуляцию и скорость, равную скорости частиц
жидкости потенциального течения. Таким образом, принятые в [6] предположения

350

делают некорректным описание течения в следе за телом в рамках используемой
модели.

В данной работе предлагается квазистационарная схема течения в следе за ци-

линдром. Уравнения движения вихрей выводятся строго при помощи закона об из-
менении колличества движения некоторого объема содержащего вихри. Основанием
для рассмотрения квазистационарной модели послужили, например, работы [4, 5, 7],
в которых приводятся результаты экспериментов по визуализация течения в следе за
цилиндром, помещенного в поток с постоянной скоростью

V

∞

. В этих работах было

установлено, что скорость центров разгонных вихрей достаточно мала по сравнению
со скоростью свободного потока вблизи отрывной зоны. Таким образом в каждый
момент времени течение можно считать потенциальным, а вихри в следе стационар-
ными, положение и циркуляция, которых изменяется и зависит от времени как от
параметра. Похожая картина течения и формирования разгонных вихрей набдюдает-
ся, также при обтекании плоской пластины, расположенной в поперечном потоке [5]
и крылового профиля [7].

В действительности процесс формирования ближнего следа намного сложнее опи-

санного выше и о справедливости предлагаемого подхода можно судить лишь после
сравнения расчетных результатов с экспериментальными данными. Ниже приводится
вывод уравнений движения вихрей.

2. Вывод уравнения

Рассматривается двумерное потенциальное течение идеальной несжимаемой жидко-
сти в которую помещено тело. Введем комплексную координату ξ = x + iy и

W -

комплексный потенциал скорости потока. Предположим, что

W = ϕ + iψ, где ϕ -

действительный потенциал, ψ - функция тока, есть суммарный потенциал от свобод-
ного течения жидкости, от тела в потоке и от вихря (или вихрей) в следе за телом,
рис. 1. Характер течения жидкости таков, что выполняется уравнение Лапласса:

∆ϕ = 0

(1)

Комплексный потенциал

W в общем виде можно представить как:

W = W(ξ, Γ

в

(t), ξ

в

(t))

(2)

Здесь ξ

в

= ξ

в

(t) - комплексная координата положения вихря,

Γ

в

=

Γ

в

(t) - циркуляция

вихря. Пусть l некоторый замкнутый контур, внутри которого содержится вихрь
и Σ - объем жидкости, содержащейся внутри контура, Риг.1. По предположению
голоморфности функции

W внутри контура l, W можно представить в виде:

W = Γ

в

ln(ξ

− ξ

в

) +

C

0

+

C

1

(ξ

− ξ

в

) +

C

2

(ξ

− ξ

в

)

2

+ . . .

(3)

Здесь

C

0

,

C

1

,

C

2

,

· · · = const. Вектор сопряженной комплексной скорости ¯

V опреде-

ляется как:

¯

V =

d

W

dξ

,

где ¯

V = u − iv

(4)

351