Газовая и волновая динамика - часть 72

Этим условиям можно удовлетворить, добавив к потенциалу источника минимум

два члена ряда:

Φ

= C

0



ln



2z

λ



−

1
2

−



λ



2

8 (z

)

2



,

(42)

где Φ

= Π

+ iΨ

- комплексный потенциал; Ψ

- функция тока. Комплексному по-

тенциалу (42) соответствуют: следующий действительный потенциал, функция тока
и составляющие вектора скорости:

Π

= C

0

⎧

⎪

⎨
⎪

⎩

ln



2

λ



(x

)

2

+ (y

)

2



−

1
2

+



λ



2

&

y



2

−



x



2

'

8

&

(x

)

2

+ (y

)

2

'

2

⎫

⎪

⎬
⎪

⎭

,

(43)

Ψ

= C

0

⎧

⎪

⎨
⎪

⎩

arctg



y

x



+



λ



2

x

y

4

&

(x

)

2

+ (y

)

2

'

2

⎫

⎪

⎬
⎪

⎭

,

(44)

U

= C

0

⎧

⎪

⎨
⎪

⎩

x

(x

)

2

+ (y

)

2

+



λ



2

x

&

x



2

− 3



y



2

'

4

&

(x

)

2

+ (y

)

2

'

3

⎫

⎪

⎬
⎪

⎭

,

(45)

V

= C

0

⎧

⎪

⎨
⎪

⎩

y

(x

)

2

+ (y

)

2

−



λ



2

y

&

y



2

− 3



x



2

'

4

&

(x

)

2

+ (y

)

2

'

3

⎫

⎪

⎬
⎪

⎭

.

(46)

Постоянную C

0

определяем из условия (40):

C

0

=

4



X

0



3

4



X

0



2

+ (λ

)

2

.

Подставив выражение (43) для действительного потенциала Π

(функции перепада

давления) в уравнение равновесия межфазной поверхности (36), получим обыкновен-
ное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее форму межфазной
поверхности:

d

2

X

d

(

y

)

2

+ C

0



1 +



dX

dy

2



3/2

×

×



ln



2

λ



(X

)

2

+ (y

)

2



−

1

2

+



λ

2



y

2

−



X

2



8

&

(

X

)

2

+

(

y

)

2

'

2



= 0.

(47)

Уравнение второго порядка (47) содержит два свободных параметра λ

и X

0

(по-

следний входит в выражение для C

0

). Для определения этих параметров имеем два

дополнительных граничных условия:

y

= 0 :

X

= X

0

;

dX

/dy

= 0

(48)

292

Рис. 6: Результаты расчетов формы газового языка в вязкой жидкости: 1 –
«язык» в бесконечной ячейке Хеле-Шоу, 2 – «язык», прижатый к стенкам ячей-
ки

y

= λ

/2 :

X

= 0;

dX

/dy

→ −∞

(49)

Решая краевую задачу (47)-(49), находим форму «языка» (рис. 6, кривая 1) и

определяем безразмерное значение его ширины: λ

≈ 3, 58 и высоту головной части

X

0

≈ 2, 68.
На следующем этапе первое приближение может быть уточнено. К ряду (42)

могут быть добавлены еще два члена, не нарушающие условия в двух выбранных
для первого приближения точках (40), (41):

Φ

(2)

= C

0



ln



2z

λ



−

1
2

−



λ



2

8 (z

)

2



+ C

1



1

z

−



λ



2

12 (z

)

3



.

(50)

Свободная постоянная C

1

может быть определена из кинематического условия

(37) еще в одной характерной точке.

Таким образом, автомодельное решение задачи о «росте газового языка» в беско-

нечной ячейке Хеле-Шоу, заполненной вязкой жидкостью показывает, что он имеет
свой собственный размер. В размерных переменных его ширина:

λ = 3, 58δ



σ

12µU

0

.

(51)

Зная аналитическое выражение для ширины «языка» (51), можно трактовать вве-

денную Хомси универсальную характеристику процесса вытеснения вязкой жидко-
сти газом — модифицированное капиллярное число:

Ca

=

12µU

0

σ

h

2

δ

2

,

(52)

293

как отношение квадрата ширины ячейки h

2

к квадрату ширины «языка» λ

2

. Дей-

ствительно, из (51) получаем:

h

2

λ

2

≈

12µU

0

σ

h

2

δ

2

.

(53)

Таким образом, понятно, почему с ростом модифицированного капиллярного чис-

ла количество «языков» в ячейке возрастает (рис. 2, рис. 3, рис. 4). Дело в том, что
с ростом Ca

их собственный размер уменьшается и большее число тонких «языков»

может поместиться в яейке.

4. Автомодельное решение для «языка», прилегающего к грани-

цам ячейки конечной ширины

Предельная ширина ячейки h

∗

, при которой процесс вытеснения вязкой жидкости

остается устойчивым, также может быть оценена теоретически. Рассчитаем течение,
когда зазор между боковыми стенками «языка» и границами ячейки мал.

Определим форму «языка», зазор между параллельными стенками которого и

соседними пальцами стремится к нулю. В этом случае вся вытесняемая жидкость
будет двигаться с одинаковой скоростью равной скорости роста «языка»: U

2

= 1.

Кинематическое условие (37) выполняется автоматически. Потенциал такого течения
будет следующим:

Π

= x

+ const.

(54)

Функция перепада давления на плоских боковых стенках x

≤ 0, y

=

±h

/2 равна

нулю. Поэтому константу в уравнении (54) следует взять равной нулю:

Π

= x

.

(55)

Подставив это выражение для Π

в уравнение равновесия межфазной поверхности

(36), получим:

d

2

X

d(y

)

2

+



1 +



dX

dy



2



3/2

X

= 0.

(56)

Первый интеграл этого уравнения:

1



1 + (dX

/dy

)

2

−



X



2

2

= const.

(57)

Постоянную интегрирования определяем из условия, что в месте сопряжения

искривленной передней части с плоскими стенками:

y

=

±h

/2 :

X

= 0,

dX

/dy

→ ∓∞.

(58)

Получаем:

dX

dy

=

±

4

(X

)

4

− 1.

(59)

294

Знак «+» относится к нижней части «языка», а «-» - к верхней (рис. 5). Вершина
«языка», как это следует из (59), находится в точке X

=

√

2, y

= 0. Интегрируя

(59) от контакта с границей ячейки (y

=

−h

/2, X

= 0) до вершины, найдем

безразмерное значение ширины «языка», прилегающего к стенкам ячейки:

h

= 2

√

2



0



X



2

dX



4

− (X

)

4

= 1, 6946.

(60)

Форма «языка» показана на рис. 6 (кривая 2).
В размерных переменных ширина вязкого пальца, прижатого к стенкам, равна:

h

∗

≈ 1, 7δ



σ

12µU

0

.

(61)

Критическое значение модифицированного капиллярного числа, соответственно,

будет:

(Ca

)

∗

=

12µU

0

σ

h

2

δ

2

= 3

В данном случае скорость роста «языка» может быть вычислена через объемный

расход Q = U

0

h

∗

, а безразмерная предельная ширина ячейки устойчивого вытеснения

может быть рассчитана по формуле:

h

∗

δ

≈

σδ

4µQ

.

5. Заключение

Таким образом, незначительные силы поверхностного натяжения, действующие в
плоскости течения, определяют структуру фронта вытеснения вязкой жидкости из
ячейки Хеле-Шоу.

Получено новое автомодельное решение, описывающее рост «языка» в бесконеч-

ной ячейке Хеле-Шоу при вытеснении вязкой жидкости невязким газом. В отличии
от полученных ранее решений данное решение позволяет найти толщину «языка».

Аналитически определен критерий неустойчивого вытеснения и объяснен физи-

ческий смысл модифицированного капиллярного числа.

Полученные решения позволяют сделать следующие практические рекомендации

по процедуре вытеснения жидкости из щели. При заданных размерах (толщине и
ширине щели) и параметрах вытесняемой жидкости существует максимальное зна-
чение скорости вытеснения, начиная с которого процесс теряет устойчивость. Наи-
лучшее качество вытеснения достигается, когда скорость не превышает предельной
величины.

Работа выполнена при финансовой поддержке Schlumberger Oilfield Services —

транс-национальной корпорации в сфере нефтяной и газовой промышленности.

295