Газовая и волновая динамика - часть 70

Структура фронта неустойчивого вытеснения вязкой

жидкости из ячейки Хеле-Шоу

Ивашнев О. Е., Смирнов Н. Н.

1. Введение

Процессы фронтального вытеснения более вязкой жидкости менее вязкой или газом
широко распространены в системе мероприятий по повышению нефтеотдачи неф-
тяных пластов. Возникающая при этом неустойчивость фронта вытеснения Рэлея-
Тейлора, или Сафмана-Тейлора, может привести к прорыву отдельных «языков» вы-
тесняющей жидкости или газа, их дальнейшему слиянию, и захвату островов вязкой
жидкости при обтекании ее менее вязким газом, что существенно снижает качество
вытеснения и, как следствие, уменьшает нефтеотдачу пласта.

Ячейка Хеле-Шоу служит физической моделью для изучения процессов вытесне-

ния вязкой жидкости из пористой среды или из трещины гидроразрыва. Она пред-
ставляет собой канал, образованный двумя близко расположенными параллельными
пластинами (рис. 1).

По-видимому, впервые, форму «языка» в вязкой жидкости удалось рассчитать

аналитически Журавлеву [1], а знаменитая работа Саффмана-Тейлора [2] появилась
лишь два года спустя. В теории Журавлева-Саффмана-Тейлора (Ж-С-Т) не учиты-
ваются силы поверхностного натяжения, действующие в плоскости течения, т.е. си-
стема лишена фактора, стабилизирующего неустойчивость. Поэтому, в соответствии
с теорией Ж-С-Т, ширина вязкого языка может быть сколь угодно малой, что проти-
воречит эксперименту. Идея использовать малые составляющие сил поверхностного
натяжения, действующие в плоскости течения, очевидно, принадлежит Хомси [3].
Им были проведены многочисленные расчеты «языков» в вязкой жидкости в ячейках
Хеле-Шоу и в пористых средах, хорошо коррелирующие с экспериментом [3, 4, 6, 7].

В данной работе построено автомодельное решение о вытеснении вязкой жид-

кости газом с учетом влияния полной кривизны поверхности раздела фаз. Рассчи-
тана ширина образующегося газового «языка». Получен критерий возникновения
неустойчивости и теоретически определено критическое значение модифицированно-
го капиллярного числа.

2. Постановка задачи

В экспериментах [1] вязкая глицериново-водяная смесь вытеснялась воздухом. Тол-
щина щели была δ = 0.08 см, ширина h = 20 см. Эксперименты показали, что вытес-
няющая жидкость (воздух) пробивает в вязкой жидкости канал, по которому затем
она движется через ячейку. При малых скоростях в ячейке образуется один канал
(рис. 2). При больших скоростях вытеснения в щели может образоваться несколько
(рис. 3) или даже десятки каналов (рис. 4).

284

Рис. 1: (a) – схема течения в ячейке Хеле-Шоу, (b) – вид межфазной поверх-
ности в разрезе ячейки плоскостью, нормальной к основаниям

Рис. 2: Устойчивый газовый канал в ячейке Хеле-Шоу, заполненной вязкой
жидкостью при Ca



= 94.3

Для теоретического описания процесса вытеснения вязкой жидкости из ячейки

Хеле-Шоу примем следующие предположения:

1.Зазор между пластинами δ считается малым по сравнению с шириной ячейки

δ/h << 1.

2. Вязкостью вытесняющего газа пренебрегаем в сравнении с вязкостью вытес-

няющей жидкости.

Ось Ozдекартовой системы координат направим перпендикулярно основаниям ще-

ли (рис. 1, а). Точку O (начало системы координат) возьмем между основаниями.
Течение каждой из жидкостей описывается уравнениями Стокса:

∂P

∂x

= µ



∂

2

u

∂x

2

+

∂

2

u

∂y

2

+

∂

2

u

∂z

2



,

(1)

∂P

∂y

= µ



∂

2

v

∂x

2

+

∂

2

v

∂y

2

+

∂

2

v

∂z

2



,

(2)

∂P

∂z

= µ



∂

2

w

∂x

2

+

∂

2

w

∂y

2

+

∂

2

w

∂z

2



,

(3)

∂u
∂x

+

∂v
∂y

+

∂w

∂z

= 0,

(4)

где µ - коэффициент динамической вязкости, P - давление, u, v, w

− компоненты

вектора скорости.

Условия на границе с пластинками записываются следующим образом:

z =

±δ/2 : u = v = w = 0.

(5)

285

Рис. 3: Процесс вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу при Ca



=

143 (U

0

∼ 3мм/с): (a) 90с, (b) 94с, (c) 110с, (d) 130с, (e) 140с, (f) 157с, (g) 162с,

(h) 171с, (i) 181с, (k) 210с

Рис. 4: Процесс вытеснения при Ca



= 287. Время: (a) 73с, (b) 82с

286

Предполагаем, что профиль скоростей между пластинами параболический:

u =

3
2

U (x, y)



1

−

4z

2

δ

2



,

(6)

v =

3
2

V (x, y)



1

−

4z

2

δ

2



,

(7)

w = 0,

(8)

где U (x, y), V (x, y) - средние по высоте сечения компоненты вектора скорости

U =

1
δ

δ/

2



−δ/2

u (x, y, z) dz.

Такой вид решения автоматически удовлетворяет условию на верхней и нижней

границах потока (5). Подставив решение в виде (6)-(8) в систему уравнений (1)-(4),
получим:

∂P

∂x

+

12µ

δ

2

U =

3
2



1

−

4z

2

δ

2

 

µ



∂

2

U

∂x

2

+

∂

2

U

∂y

2



,

(9)

∂P

∂y

+

12µ

δ

2

V =

3
2



1

−

4z

2

δ

2

 

µ



∂

2

V

∂x

2

+

∂

2

V

∂y

2



,

(10)

P = P (x, y) ,

(11)

∂U

∂x

+

∂V

∂y

= 0.

(12)

В левой части уравнений (9), (10) все параметры - функции только x и y, в

квадратные скобки в правой части заключены тоже функции x и y, коэффициент
же перед квадратными скобками зависит от z. Следовательно, уравнения (9), (10)
выполняются только в том случае, когда их левые части и выражения, заключенные в
квадратные скобки, равны нулю. Приравняв левые части к нулю, получим уравнение
Дарси для плоской щели:

¯

W =

−

δ

2

12µ

∇P,

(13)

где ¯

W = ¯iU + ¯

jV - вектор средней скорости (¯i, ¯

j - единичные орты осей Ox и Oy).

Для равенства нулю выражений в квадратных скобках уравнений (9), (10) доста-

точно чтобы наряду с уравнением неразрывности (12) выполнялось условие равенства
нулю вектора вихря rot ¯

W = 0, скалярная форма которого имеет вид:

∂U

∂y

−

∂V

∂x

= 0.

(14)

Таким образом, получены осредненные по высоте щели уравнения для описания

течения вязкой жидкости:

¯

W =

−

δ

2

12µ

∇P,

(15)

287