Газовая и волновая динамика - часть 68

∂ρ

g

∂t

+

∇ · ρ

g

v

g

=

3

i

=1

J

i

,

(13)

∂ρ

g

v

g

∂t

+

∇ · (ρ

g

v

g

⊗ v

g

+ p

g

E) = µ∇v

g

,

(14)

∂ρ

g

Y

j

∂t

+

∇ · (ρ

g

Y

j

v

g

) =

∇ · (ρ

g

K

j

∇Y

j

) + ˙

m

j

,

j = 1, . . . N,

(15)

∂ρE

∂t

+

∇ · (ρEv

g

) =

∇ · (λ∇θ

g

) +

∇ · (ρ

g

N

j

=1

h

j

K

j

∇Y

j

)

−

2

i

=1

J

i

∆e

0

i

+ ˙q

− ˙q

R

+ w

∗

, (16)

где

v

g

- вектор скорости всей смеси, ρ

g

- плотность газовой смеси, Y

j

- массовые

концентрации химических компонентов в газовой смеси, ϕ

i

- объемные доли фаз во

всей смеси, ϕ

g

- объемная доля всех газообразных компонентов во всей смеси, ρ -

плотность всей смеси, для которой имеют место соотношения:

N

j

=1

˙

m

j

= 0,

N

j

=1

Y

j

= 1,

ρ = ϕ

g

ρ

g

+

3

i

=1

ϕ

i

ρ

i

,

1 = ϕ

g

+

3

i

=1

ϕ

i

.

(17)

Здесь обозначены: ˙

m

j

- массовая скорость образования j-го компонента, K

j

- ко-

эффициент диффузии j-го компонента в смеси, p

g

- давление, h

j

- энтальпия j-го

компонента, E - полная энергия смеси, c

pj

и c

vj

- удельные теплоемкости j-го ком-

понента:

E = c

v

θ

g

+ (1/2)

v

g

· v

g

,

p

g

= (R/M )ρ

g

θ

g

,

h

j

= c

pj

θ,

(18)

где

1

M

=

N

j

=1

Y

i

M

j

,

c

v

=

1
ρ

(ρ

g

ϕ

g

N

j

=1

Y

j

c

vj

+

3

i

=1

ρ

i

ϕ

i

c

i

).

В уравнении энергии (16) также обозначены: ˙q - суммарный тепловой эффект хими-
ческих реакций, w

∗

- диссипативная функция, ˙q

R

- тепловой эффект за счет переноса

излучения от газовой смеси к поверхности топлива.

Предполагаем, что в газовой смеси параллельно протекает L химическиз реак-

ций, каждая с массовой скоростью U

k

, k = 1, . . . L, тогда скорость ˙

m

j

образова-

ния j-го компонента определяется следующим образом: ˙

m

j

= M

j

L
k

=1

ν

jk

U

k

,

j =

1, . . . N, где ν

jk

- стехиометрические коэффициенты, удовлетворяющие соотношению:

N
j

=1

ν

kj

M

j

= 0, k = 1, . . . L.

Скорости U

k

вычисляются по основным законам действующих масс:

U

k

= U

0

k

L

)

k

=1

(Y

j

)

ν

kj

exp



−

E

ak

M

j

Rθ



,

k = 1, . . . L,

где

*

L
k

=1

означает произведение концентраций, а E

ak

- энергия активации химиче-

ской реакции.

276

Условия на поверхности горения. На подвижной поверхности горения задаются
условия массообмена, прилипания и обмена импульсом:

Σ

c

(t) :

(ρ

s

− ρ)D = ρv

g

· n, v

g

· b

α

= 0, α = 1, 2;

ρ

s

Dv

g

· n + p

g

= p, Y

j

= Y

jw

.

Кроме того, предполагаем, что химических реакций на самой поверхности Σ(t) нет,
а для диффузионных потоков справедлива аналогия Рейнольдса. Здесь

D ≤ 0 -

нормальная скорость горения, определяемая по формуле (9),

n - вектор нормали

к Σ

c

(t), внешний по отношению к твердому топливу,

b

α

- векторы в касательной

плоскости к поверхности Σ

c

.

Условия теплообмена на поверхности горения в рамках рассматриваемой модели

имеют вид:

q

λ

= q

e

+ q

R

− q

RS

− q

bl

− q

sub

,

где
• q

λ

=

−λn · ∇θ – тепловой поток, идущий на нагрев твердого топлива;

• q

e

= (α

T

/c

p

)(c

p

θ

g

−c

s

θ

s

) – конвективный тепловой поток, отдаваемый газом поверх-

ности топлива, α

T

– коэффициент теплообмена;

• q

R

= ε

g

σ

SB

θ

4

g

– тепловой поток, подводимый газом к поверхности топлива за счет

излучения светящихся продуктов сгорания, ε

g

– интегральный коэффициент излу-

чения газа, зависящий от температуры θ

g

, давления в газе p

g

и химического состава

газа: ε

g

= ε

g

(θ

g

, p

g

, Y

j

);

• q

RS

= ε

s

σ

SB

θ

4

s

– тепловой поток, отдаваемый газу от нагретой поверхности твердого

топлива, σ

SB

– постоянная Стефана-Больцмана;

• q

bl

= γ

bl

ϕ

4

ρ

4

v · n(c

p

θ

g

− c

s

θ

s

) – конвективный тепловой поток, отводимый от поверх-

ности горения вследствие вдува продуктов терморазложения горючего и окислителя
через поры, γ

bl

– коэффициент вдува;

• q

sub

= ρ

s

D

s

∆Q

sub

– тепловой поток, отводимый от поверхности горения вследствие

эффектов сублимации топлив, ∆Q

sub

– удельная теплота сублимации.

Уравнение для определения функции F (x, t) формы поверхности горения Σ

c

(t)

имеет вид:

(∂f /∂t) +

D(∇f · ∇f) = 0.

4. Расчет процессов горения в модельной двигательной установ-

ке

Рассмотрим в качестве примера применения предлагаемой модели задачу о развитии
процессов горения в модельной твердотопливной установке, имеющую осесиммет-
ричную форму и состоящую из воспламенительного устройства (ВУ), камеры сго-
рания (КС) и соплового блока (СБ). Воспламенительное устройство представляет
собой «двигатель в двигателе» [8, 9, 10], располагается в задней глухой части дви-
гателя и выполнено в виде простого сопла (без сверхзвукового участка) с твердым
топливом, имеющим один продольный канал. Пуск ВУ осуществляется с помощью
пиротехнического заряда, продукты воспламенения которого затекают в канал ВУ и

277

Рис. 1: Распределение температуры θ (

◦

C) в различные моменты времени t

поджигают твердое топливо (ТТ). За момент расчета t = 0 в данной работе выбран
момент воспламенения ТТ в ВУ.

В сопле ВУ и в сопле КС размещены разрывные диафрагмы, разрушаемые про-

дуктами горения в моменты времени t

g

1

и t

g

2

соответственно. При 0

≤ t ≤ t

g

1

течение

газообразных продуктов ТТ происходит только в ВУ, при t

g

1

≤ t ≤ t

g

2

– в ВУ и КС,

а при t

≥ t

g

2

в ВУ, КС и СБ.

Для численного решения задачи (12) - (25) в рамках осесимметричной двумерной

постановки был разработан модифицированный метод типа МакКормака с перемен-
ными параметрами сглаживания, а для задачи (1) - (11) использовался пошаговый
метод расщепления по координатам.

Численные расчеты проводились со следующими значениями констант: ρ

s

= 1.1

·

10

3

кг/м

3

, λ

s

= 0.3 Вт/м

· К, c

s

= 0.8 кДж/кг

· К, ρ

0

= p

0

/Rθ

0

, p

0

= 0.1 МПа,

θ

0

= 293 К, c

p

= 1.5 кДж/кг

· К, λ = 0.04 Вт/м · К, J

0

s

= 3

· 10

6

кг/м

3

· с, E

s

/R =

8

· 10

3

К, l

0

= 10

−3

м, σ

T

= 0.5 МПа, λ = 0.04 Вт/м

· К, c

v

= 3.4

· 10

3

кДж/кг

· К,

∆Q

c

= 4 МДж/кг (для ВУ), ∆Q

c

= 9 МДж/кг (для КС).

Суммарная скорость горения D топлива, рассчитанная по (1), при температуре

θ



s

=539 К составляла D = 0.6

· 10

−3

м/с. Разрушающее давление для диафрагм 1 и

2 принималось равным p

кр 1, 2

= 0.5 и 1 МПа, соответственно.

Результаты расчетов представлены на рис. 1, рис. 2, рис. 3, рис. 4 в виде поверх-

ностей F = F (¯

r, ¯

z) в трехмерном изображении, где F =

{v

r

, v

z

, θ и p

} для четырех

характерных моментов времени t = 0.6, 5.2, 9.4 и 30 мс работы двигателя. Здесь

¯

r = r + r

0

, ¯

z = z + z

0

- смещенные к поверхности твердого топлива координаты.

278

Рис. 2: Распределение скорости v

r

(м/с) в различные моменты времени t

Рис. 3: Распределение скорости v

z

(м/с) в различные моменты времени t

279