Газовая и волновая динамика - часть 71

∂U

∂x

+

∂V

∂y

= 0,

(16)

∂U

∂y

−

∂V

∂x

= 0.

(17)

Уравнения (16), (17) эквивалентны уравнению Лапласа:

∆ϕ = 0,

(18)

где ϕ - потенциал вектора ¯

W :

¯

W = grad (δ) .

(19)

Из (15) и (19) следует связь между функциями P и ϕ:

P =

−

12µ

δ

ϕ + const.

(20)

Окончательно систему уравнений представим в следующей форме:

∆P = 0,

(21)

¯

W =

−

δ

2

12µ

∇P.

(22)

Таким образом, следствием принятия допущения о параболическом законе рас-

пределения скорости между пластинами (6)-(8) является отсутствие касательных
напряжений в плоскости xOy: τ

xy

= 0. Средние параметры течения описываются

уравнениями для идеальной жидкости (21), (22).

Первым граничным условием на межфазной поверхности является условие ее

непротекания - проекция скорости межфазной поверхности и проекция скорости
вытесняемой жидкости на нормаль к поверхности равны:

¯

n

d ¯

R

dt

= ¯

n ¯

W

2

,

(23)

где ¯

n = ¯in

x

+ ¯

jn

y

- вектор нормали к межфазной поверхности, его координаты:

n

x

= 1

+

1 +



dX

dy

2

,

n

y

=

−

dX

dy

+

1 +



dX

dy

2

.

Для решения задачи необходимо еще одно граничное условие, связывающее дав-

ления по обе стороны межфазной поверхности P

1

и P

2

. Считаем давления по разные

стороны межфазной поверхности однородными по высоте и равными среднему. В
этом случае справедлива формула Лапласа:

P

1

− P

2

=

2σcosθ

δ

+

σ

R

.

(24)

288

Рис. 5: Схема автомодельного решения

Косинус краевого угла (угла смачивания) вычисляется по формуле cosθ = (σ

1m

−

σ

2m

)/σ, где σ = σ

12

- коэффициент поверхностного натяжения на границе раздела

жидкостей; σ

1m

, σ

2m

- коэффициенты поверхностного натяжения на границе раз-

дела между 1-й и 2-й жидкостями и материалом пластин (рис. 1, b); R - радиус
искривления межфазной поверхности в плоскости xOy (большой радиус кривизны —
рис. 1, а).

Поскольку h << R, то второй член в правой части формулы Лапласа (24) значи-

тельно меньше первого. Если им пренебречь и считать, что

P

1

− P

2

= P

c

,

(25)

где

P

c

=

2σcosθ

δ

= const,

(26)

то мы приходим к классической постановке задачи о вытеснении вязкой жидкости
из ячейки Хеле-Шоу. Аналитическое решение задачи впервые было дано в [2], а
несколько позднее в [3]. Решение показывает, что вытесняющая жидкость пробивает
в вязкой жидкости палецтолщиной λ (рис. 5), и дает форму для кончика пальца:

X = 2

h

− λ

π

ln

&

cos



πy
2λ

'

,

(27)

где h - ширина ячейки.

Однако, параметр λ (ширина канала) является произвольным — он не может быть

вычислен по классической теории . Поэтому, опираясь на проведенные ими экспе-
рименты, Саффман и Тейлор [3] предложили брать его равным половине ширины
ячейки λ = h/2. Но многочисленные эксперименты, проведенные позднее, опроверг-
ли эту гипотезу. Если для режима вытеснения, представленного на рис. 2, она еще
может быть приемлемой, то другие режимы показывают, что в ячейке может обра-
зоваться несколько подобных каналов (рис. 3, рис. 4)

Рассчитать толщину канала численно удалось авторам [4] после того, как были

учтены малые поправки за счет искривления межфазной поверхности в плоскости

289

xOy. В работе [5] аномально большое значение малого параметра σ/R в уравнении
(24) объяснено его влиянием на устойчивость течения. Попытаемся дать свое, более
простое, объяснение этого эффекта.

Большой радиус кривизны R может быть рассчитан по уравнению межфазной

поверхности x = X (y) по формуле:

R =

−



1 +



dX

dy

2



3/2

d

2

X

dy

2

.

Подставив выражение для радиуса кривизны в (24), получим связь между разницей
давлений на межфазной поверхности и ее кривизной:

d

2

X

dy

2

+



1 +



dX

dy



2



3/2

P

1

− P

2

− P

c

σ

= 0,

(28)

где P

c

= const дается формулой (26).

Из уравнения (28) видно, что пренебрежение большим радиусом кривизны эк-

вивалентно отбрасыванию первого члена уравнения, содержащего старшую произ-
водную. Это и приводит к потере собственного размера — эквивалента толщины
пограничного слоя системы.

Классическое решение (27) не отвергает возможность существования «языков»,

тонких по сравнению с размерами ячейки λ << l. Такие «языки» обнаружены также
и в экспериментах (рис. 4). Определим размеры «языка» в частном случае, когда
влиянием границячейки можно пренебречь. Предполагаем, что язык растет вдоль
оси Ox со скоростью U

0

(t).

Чтобы исключить из уравнений постоянные параметры, введем функцию перепада

давлений:

Π (x, y, t) = P

1

(t)

− P

c

− P

2

(x, y, t) .

(29)

Тогда общий вид системы уравнений, описывающей движение «языка» в беско-

нечно широкой ячейке, будет следующим:

∆Π = 0,

(30)

¯

W =

δ

2

12µ

∇Π,

(31)

x = X (y) :

d

2

X

dy

2

+



1 +



dX

dy



2



3/2

Π

σ

= 0,

(32)

n

x

U

0

= ¯

n ¯

W

2

.

(33)

290

3. Автомодельное решение для ячейки бесконечной ширины

Обезразмерим уравнения. Введем естественные для данного течения (характерные)
единицы измерения величин. Скорость будем измерять в долях от скорости роста

«языка» U

0

; длину - в долях от характерной длины Λ = δ

√

12Ca, где Ca = µU

0

/σ -

капиллярное число; перепад давлений будем измерять в долях от Π

∗

= 12µU

0

Λ/δ

2

.

Безразмерная форма уравнений (30)-(33) будет иметь вид:

∆Π

= 0,

(34)

¯

W

=

∇Π

,

(35)

x

= X



y

:

d

2

X

d(y

)

2

+



1 +



dX

dy



2



3/2

Π

= 0,

(36)

n

x

· 1 = W

2n

,

(37)

где X

= X/Λ, y

= y/Λ, ¯

W

= ¯

W /U

0

, Π

= Π/Π

∗

— безразмерные параметры.

Видно, что уравнения (34)-(37) не содержат ни одного физического параметра.

Следовательно, фронты вытеснения в бесконечных ячейках подобны.

В случае роста «языка» в бесконечной ячейке скорость жидкости на удалении от

«языка» в положительном направлении оси Ox стремится к нулю:

x

→ ∞ : W

2

→ 0.

(38)

Потенциал ищем в виде суммы частных решений уравнения Лапласа: потенци-

ала источника, расположенного в точке x

= y

= 0 (рис. 5) и членов степенного

ряда Лорана, содержащих комплексную переменную z

= x

+ iy

в отрицательной

степени. Все эти частные решения удовлетворяют условию на удалении (38). На
прямолинейных стенках должно выполняться:

x

≤ 0, y

=

±λ

/2 :

Π

= U

= V

= 0.

(39)

Условие равенства нулю потенциала Π

следует из уравнения равновесия межфаз-

ной поверхности (36) при условии dX

/dy

→ ∞. Составляющая скорости U

равна

нулю потому, что вдоль всей прямолинейной стенки величина Π

постоянна и, сле-

довательно, U

= ∂Π

/∂x

= 0. Условие равенства нулю составляющей скорости V

следует из предположения о существовании автомодельного решения (37).

При построении решения в первом приближении потребуем соблюдения кинема-

тического условия (37) лишь в двух характерных точках — на кончике пальца:

x

= X

0

,

y

= 0 :

U

= 1

(40)

и в месте сопряжения передней обтекаемой части с плоскими стенками:

x

= 0,

y

=

±λ

/2 :

U

= V

= 0.

(41)

291