Газовая и волновая динамика - часть 57

Головная волна от точечного источника в слоистой

наследственно-упругой среде

Локшин А. А., Сагомонян Е. А.

Строится прифронтовая асимптотика отраженной и головной SH волн, возбуж-

даемых точечным источником вблизи плоскости, разделяющей два жестко склеен-
ных однородных изотропных полупространства, обладающих наследственно-упруги-
ми свойствами. Ядра наследственности предполагаются регулярными. Применяется
обобщенный метод Каньяра—Хупа, представляющий собой развитие предложенной
ранее идеи [1], причем не требуется, чтобы в слоистой среде ядра наследственности
были одинаковы для всех слоев.

Результаты работы, в принципе, можно было бы вывести из результатов [2] по-

строения высокочастотной асимптотики для потенциалов отраженной и преломлен-
ной волн в случае гармонического источника. Однако подход, опирающийся на идеи
Каньяра—Хупа, намного проще. Случай линейного источника рассмотрен ранее [3].

1. Рассмотрим в пространстве xyz два однородных изотропных наследственно-

упругих полупространства, склеенных между собой вдоль границы z = 0. Ось z
направлена вертикально вниз. Будут рассматриваться только сдвиговые волны, по-
этому напомним, что в изотропной наследственно-упругой среде операторный модуль
сдвига µ

∗

определяет (в случае чистого сдвига) следующую связь между напряже-

ниями σ

ik

и деформациями ε

ik

:

σ

ik

= 2µ

∗

ε

ik

≡ 2µ

0

(1

− Q(t)

∗

)ε

ik

.

Здесь µ

0

= const > 0 — мгновенный модуль сдвига, Q(t) — сдвиговое ядро релакса-

ции, равное нулю при t < 0,

∗

обозначает свертку по t.

Будем считать, что полупространство z < 0 обладает плотностью ρ

1

, и сдвиговым

модулем µ

∗

1

= µ

0

1

(1

− Q

1

(t)

∗

), а полупространство z > 0 — плотностью ρ

2

и сдвиго-

вым модулем µ

∗

2

= µ

0

2

(1

− Q

2

(t)

∗

). Ядра релаксации Q

j

(t) считаем регулярными, т.е.

обладающими конечными пределами при t

→ +0. При этом предположении, что при

t > 0 справедливы разложения

Q

j

(t) = Q

j

(0) +

k

≥1

κ

jk

t

k

Здесь и далее для краткости пишем Q

j

(0) вместо Q

j

(+0).

Пусть r, ψ, z — цилиндрические координаты, соответствующие декартовым ко-

ординатам x, y, z (так что r = (x

2

+ y

2

)

1/2

). Пусть, далее, в момент t = 0 в верхнем

полупространстве z < 0 начинает действовать сосредоточенная объемная сила, пред-
ставимая в декартовых координатах в виде

f =

∇ × (0, 0, X)

(1)

X = AH(t)δ(x)δ(y)δ(z

− z

0

)

≡ AH(t)

δ(r)

2πr

δ(z

− z

0

),

A = const,

z

0

< 0

232

Здесь H(t) — единичная функция Хевисайда.

Тогда в декартовых координатах соответствующее поле смещений представимо в

виде

u =

∇ × (0, 0, χ),

(2)

где χ — некоторый осесимметричный потенциал, т.е. χ = χ(r, z, t) в цилиндрических
координатах. Из (2) следует, что цилиндрические компоненты смещения имеют вид

u

r

= 0,

u

ψ

=

−

∂χ

∂r

,

u

z

= 0.

(3)

Наконец, следу при t < 0 считаем неподвижной и ненапряженной, так что

u = 0

при

t < 0.

(4)

2. Подставляя соотношения (1), (2) в уравнения движения среды, приходим к

следующим волновым уравнениям для потенциала:

∂χ

∂t

− (β

0

1

)

2

(1

− Q

1

(t)

∗

)∆χ =

A

ρ

1

H(t)δ(x)δ(y)δ(z

− z

0

),

z < 0,

∂

2

χ

∂t

2

− (β

0

2

)

2

(1

− Q

2

(t)

∗

)∆χ = 0,

z > 0.

(5)

Здесь β

0

j

= (µ

0

j

/ρ

j

)

1/2

— мгновенно-упругие скорости сдвиговых волн, ∆ — оператор

Лапласа по x, y, z.

Начальным условием для χ, соответствующим (4), очевидно, будет

χ = 0

при

t < 0

(6)

Кроме того, на границе z = 0 должны выполняться два граничных условия,

вытекающих соответственно из непрерывности перемещений и напряжений

χ

((

(

z

=−0

= χ

((

(

z

=+0

,

µ

∗

1

∂χ

∂z

((

(

z

=−0

= µ

∗

2

∂χ

∂z

((

(

z

=+0

.

(7)

В дальнейшем считаем, что для мгновенно-упругих скоростей сдвиговых волн

справедливо соотношение

β

0

2

> β

0

1

.

(8)

Именно в этом случае в поставленной задаче возникают головные волны.
3. Применим к задаче (5) – (7) преобразование Фурье F по x, y и Лапласа по t:

∞



−∞

exp(

−ik

x

x)dx

∞



−∞

exp(

−ik

y

y)dy

∞



0

exp(

−st)dt.

В результате получим решение задачи (5) – (7) в виде

F χ =

A

2µ

1

(s)n

1

s

×



(exp[

−n

1

(z

− z

0

) + K

1

exp[n

1

(z + z

0

)]), z < 0,

K

2

exp[

−(n

2

z + n

1

z

0

)],

z > 0.

(9)

233

Здесь

n

j

= [k

2

x

+ k

2

y

+ s

2

/β

2

j

(s)]

1/2

,

Re n

j

> 0,

(10)

β

j

(s) = (µ

j

(s)/ρ

j

)

1/2

,

µ

j

(s)(1

− Q

j

(s)),

j = 1, 2,

(11)

K

1

=

µ

1

n

1

− µ

2

n

2

µ

1

n

1

+ µ

2

n

2

,

K

2

=

2µ

1

n

1

µ

1

n

1

+ µ

2

n

2

,

(12)

черта над знаком функции означает преобразование Лапласа.

Из (11) ясно, что

β

j

(s) = β

0

j

(1

− Q

j

(s))

1/2

.

(13)

Кроме того, из предположения (8), очевидно, следует, что

β

2

(s) > β

1

(s),

s

→ +∞.

(14)

4. Ограничимся исследованием волны, отраженной от границы z = 0 в верхнее

полупространство z < 0, т.е. изучением второго слагаемого в верхней строке формулы
(9)

F χ

ref

=

AK

1

2µ

1

(s)n

1

s

exp[n

1

(z + z

0

)].

Действуя аналогично [3], [4] можно показать, что при

r/R

0

< β

0

1

/β

0

2

вблизи фронта, т.е. при t

→ R

0

/β

0

1

+ 0, R

0

= [r

2

+ (z + z

0

)

2

]

1/2

,

χ

ref

(x, y, z, t)

∼

A

4πµ

0

1

R

0

Re



µ

0

1

N

0

1

(0, R

0

/β

0

1

)

− µ

2

N

2

(0, R

0

/β

0

1

)

µ

0

1

N

0

1

(0, R

0

/β

0

1

) + µ

0

2

N

0

2

(0, R

0

/β

0

1

)



× exp



−

Q

1

(0)

2

R

0

β

0

1



,

N

0

j

(0, τ ) =



(β

0

j

)

−2

− p

2

∞0

(τ )



1/2

,

(15)

p

∞0

(τ ) =

rτ

− |z + z

0

|



R

2

0

β

−2

1

(

∞) − τ

2



1/2

R

2

0

,

0 < τ

≤ R

0

/β

1

(

∞),

p

∞0

(τ ) =

rτ + i

|z + z

0

|



τ

2

− R

2

0

β

−2

1

(

∞)



1/2

R

2

0

,

τ

≥ R

0

/β

1

(

∞).

5. Перейдем теперь к случаю, когда

r/R

0

> β

0

1

/β

0

2

.

(16)

Введем обозначение

τ

0

(q) = r



(β

0

2

)

−2

+ q

2



1/2

+

|z + z

0

|



(β

0

1

)

−2

− (β

0

2

)

−2



1/2

.

(17)

234

Действуя аналогично предыдущему, можно показать, что при t

→ τ

0

(0) + 0

χ

ref

(x, y, z, t)

∼

A

2π

2

µ

0

1

Im



µ

0

1

N

0

1

(0, τ

0

(0))

− µ

2

N

0

2

(0, τ

0

(0))

µ

0

1

N

0

1

(0, τ

0

(0)) + µ

0

2

N

0

2

(0, τ

0

(0))



×

×

&

t

− |z + z

0

|



(β

0

1

)

−2

− (β

0

2

)

−2

'

2

−

r

2

(β

0

2

)

2



1/2

r



(R

0

/β

0

1

)

2

− τ

2

0

(0)

×

× exp



−

Q

2

(0)

2β

0

2



r

−

|z + z

0

|



(β

0

2

− β

0

1

)

2

− 1

−

Q

1

(0)

2β

0

1

|z + z

0

|



1

− (β

0

1

/β

0

2

)

2



. (18)

Замечание 1. Можно показать, что

τ

0

(0) = r/β

0

2

+

|z + z

0

|



(β

0

1

)

−2

− (β

0

2

(0))



есть время прихода головной волны в точку с координатами (x, y, z).

Замечание 2. Основным результатом этой работы являются асимптотические

формулы (15) и (18). Обе эти формулы содержат экспоненциальные множители, за-
висящие от значений функций памяти Q

j

. Эти множители определяют вязкое за-

тухание вдоль луча, исходящего из источника и приходящего в точку наблюдения
(x, y, z). Нетрудно видеть, что стоящие под знаком экспоненты коэффициенты при
−Q

j

(0)/2β

0

j

представляют собой расстояния, проходимые лучом в j-ой среде. Так,

например, из (18) видно, что по второй среде упомянутый луч прошел расстояние
r

−|z + z

0

| [(β

0

2

/β

0

1

)

2

−1]

−1/2

, а по первой среде — расстояние

|z + z

0

| [1−(β

0

1

/β

0

2

)

2

]

−1/2

.

Отметим, наконец, что при Q

j

≡ 0 асимптотические формулы (15) и (18) переходят

в соответствующие асимптотики для чисто упругого случая.

Литература

[1]

Локшин А. А., Лопатников С. Л., Рок В. Е. Метод Каньяра-Хупа для погло-
щающих сред. — Изв. АН СССР, МТТ, 1990, № 5.

[2]

Баринова Т. Я. Об асимптотическом методе решения динамических задач
теории неидеальной упругости. — Изв. АН СССР, Физика Земли, 1975, № 1.

[3]

Локшин А. А. Головная волна на границе двух наследственно-упругих полу-
пространств. Случай линейного источника. — ПММ, 1994, Т. 58, Вып. 1.

[4]

Аки К., Ричардс П. Количественная сейсмология, Т. 1 — М.: Мир, 1983.

235