Газовая и волновая динамика - часть 54

уравнений Стокса на полные уравнения Навье-Стокса

u = ∇p + Re(u · ∇)u

(6)

при любых значениях чисел Рейнольдса Re, когда сохраняется ламинарный режим
обтекания. На этот малоизвестный факт крайне редко обращают внимание даже в
специальной литературе по вихревым течениям, причем в [32] это сделано очень
кратко и в двусмысленной форме. В нашем случае этот нетривиальный факт обу-
словлен спецификой граничных условий с учетом электрокапиллярного эффекта, ко-
торый через граничные условия при r = 1 обеспечивает самосогласованность гидро-
и электродинамических полей, и тем обстоятельством, что потенциальный поток вне
и сферический вихрь Хилла внутри капли относятся к важному классу динамически
обратимых течений [33]. Ранее об этом свойстве ЭКД уже упоминалось в [11, 14],
правда, без точного определения этого понятия и глубоких следствий из этого факта.
Заметим, что парадокс обратимости в идеальной жидкости подробно проанализиро-
ван в [31], где подчеркнуто, что различные пути разрешения этого парадокса в трех
случаях (дозвукового, околозвукового и сверхзвукового течения, описываемых на ос-
нове уравнений Эйлера) находятся в соответствии с общей математической теорией
краевых задач эллиптического, смешанного и гиперболического типов [25].

Начатое в [31] применение современных методов «чистой» математики для объ-

яснения некоторых парадоксов и обоснования области применимости известных точ-
ных решений задач гидродинамики идеальной жидкости недавно было продолжено
в [34] на языке общего дифференциально-геометрического формализма «гамильто-
новой» гидродинамики с указанием многочисленных аналогий в других разделах
математической физики.

Для течений вязкой жидкости по аналогии с обратимыми термодинамическими

процессами в [33] было введено важное понятие ДОТ (динамически обратимых те-
чений).

Определение. ДОТ вязкой жидкости называется такое течение, для которого

возможно обратное течение (под действием соответствующего давления), получаемое
изменением скорости всюду на противоположное.

Подчеркнем, что в отличии от обращения течения в идеальной жидкости [31],

здесь речь о сохранении исходного давления уже не идет.

2. Электрокапиллярновихревая модель и

мнимые парадоксы шаровой молнии

Основное преимущество ДОТ заключается в том, что для вязких жидкостей конвек-
тивные члены типа (

u

· ∇) u часто имеют градиентную природу, поэтому могут быть

интерпретированы как появление добавочного давления, что позволяет избавиться
от нелинейности в уравнениях Навье-Стокса. При ЭКД капли для потенциально-
го потока вне это добавочное давление определяется интегралом Бернулли, а для

220

сферического вихря Хилла внутри можно доказать соотношение

(

u



· ∇) u



=

9

16

u

2

e

∇

$

r

2

+



3r

2

− 2r

4



cos 2θ

%

.

(7)

Более того, если в задаче (1) для капли молчаливо предполагалось, что ее сфе-

рическая форма обеспечивалась большим поверхностным натяжением и поэтому ба-
ланс нормальных составляющих p

rr

тензора вязких напряжений при r = 1 необходим

лишь для определения давления, то теперь с учетом (7) можно доказать, что при
замене уравнений Стокса в системе (1) на уравнения Навье-Стокса решения (2) оста-
ются справедливыми при равенстве плотностей ρ = ρ



вне и внутри даже с учетом

баланса p

rr

!

Условимся далее структуру, подобную капле Левича с тонким ДЭС на грани-

це раздела фаз, называть электрокапиллярновихревой (ЭКВ). Тогда в результате
вышеизложенного имеем принципиально важное утверждение, которое можно сфор-
мулировать как

теорему [11, 12]:

Если ШМ имеет ЭКВ структуру, то при равенстве плотностей вещества вне

и внутри ШМ решение (2) является точным решением видоизмененной систе-
мы (1) при замене линейныхуравнений Стокса на нелинейные уравнения Навье-
Стокса (6) и учете равенства скачка нормальных напряжений избыточному дав-
лению.

Следствие: при подобной замене учет конвективного члена в уравненияхдви-

жения, не нарушая кинематики течения и сферической формы, приводит лишь
к перераспределению давления вне и внутри ШМ.

На основе этого утверждения можно объяснить большинство характерных при-

знаков и мнимых парадоксов ШМ из вышеперечисленных пунктов.

1). Излучение видимого света является одним из наиболее известных свойств

ШМ, которое обычно и позволяет ее обнаружить. Из решения (2) следует, что внут-
ри ШМ при ее ЭКД существует постоянный электрический ток j



=

−σ

∗

∇ϕ



= 2qv

0

k,

который и обеспечивает электролюминесценцию вещества ШМ типа тлеющего или
тихого разряда [35]. Еще де Тесса (1859 г.) и потом Планте (конецXIX в.) [3] пы-
тались построить газоразрядную модель ШМ, используя это явление вынужденного
свечения газов под действием сильного постоянного электрического поля. Однако
в экспериментальных исследованиях Планте, Гезехусу, Теплеру, а потом и многим
другим не удалось получить устойчивых светящихся образований после отключения
внешнего источника.

Наблюдаемое в ряде случаев изменение цвета ШМ может быть объяснено из-

менением силы тока (за счет изменения заряда ДЭС и скорости ЭКД ШМ) как в
экспериментах Теплера, когда слабый ток давал голубоватое свечение, переходившее
затем по мере его усиления до 10A в темно-красное, оранжевое и, наконец, в бе-
лое [3]. Хотя возможны и другие объяснения, в том числе на основе метастабильной
электролюминесценции [5].

2). Наличие поверхностного натяжения и ДЭС на границе ШМ фактически вхо-

дит как необходимое условие теоремы. Кроме слов М. В. Ломоносова, что «природа

221

любит повторы», в качестве косвенного подтверждения этой возможности служат
исследования Ленгмюра (1929 г.) по общим условиям образования ДЭС и Сигова
Ю. С. [36], который в начале 80-х годов при компьютерном моделировании про-
цессов в плазме на основе уравнений Власова обнаружил сильные ДЭС, что потом
было экспериментально подтверждено в Японии. Тот факт, что вещество ШМ может
быть специальной фазой атмосферного воздуха, подвергшегося воздействию мощных
электрических токов или полей, особых возражений вызывать не должно. Особенно
если учесть опыты Планте, Гезехуса [3] и кластерную гипотезу Стаханова [5], а
также недавние открытия фуллеренов, сложных гидротированных ионов [5, 37, 38],
особых квазикристаллических свойств воды и так называемой пылевой плазмы или
«плазменных кристаллов», экспериментальные исследования которых были начаты в
условиях невесомости еще на станции «Мир», а сейчас в содружестве с Институтом
внеземной физики М. Планка продолжаются на борту МКС и во многих лаборато-
риях мира.

Равенство плотностей вещества ШМ и окружающего воздуха при наличии пе-

ременного поверхностного натяжения обеспечивает сохранение сферической формы
даже при больших скоростях ЭКД ШМ и Re

 1. При ρ



= ρ результаты, сле-

дующие из теоремы, можно считать первым приближением к решению задачи в
общем случае, если характеризующее деформацию границы раздела число Вебера
W e =

u

2

e

a

γ

|ρ − ρ



| < 2 [39]. Подчеркнем, что ТЭМС, возникающий на границе раздела

фаз при любом движении ШМ, лишь способствует сохранению сферической фор-
мы. Парадоксальной способности проникания ШМ сквозь малые отверстия и узкие
щели здесь касаться не будем, ибо это — существенно нестационарный процесс,
требующий отдельного анализа.

3). Удивляющая многих очевидцев непредсказуемость движения ШМ объясняет-

ся достаточно просто. Причиной ЭКД ШМ в большинстве случаев является есте-
ственное электрическое поле Земли, открытое еще Ломоносовым [1]. В ясную погоду
это поле составляет 120 – 140 в/м, а под грозовыми облаками оно может не только
возрасти на порядки [5], но при этом даже изменить направление на противополож-
ное [7] (рис. 1). Попадая в подобное поле достаточно сложного строения, ШМ и
двигаться будет сложным образом. Естественно, для описания подобного движения
необходимо решать нестационарную задачу, однако (учитывая ограниченное время
«жизни» ШМ) в квазистационарном случае ЭКД будет проходить вдоль местного
направления АЭП (атмосферного электрического поля) в соответствии с последней
формулой решения (2) и почти независимо от направления ветра в зонах с повышен-
ной напряженностью АЭП.

1

В окрестности условных разделительных линий A-A и B-B, где напряженность

АЭП 

E

0

→ 0 и скорость ЭКД ШМ u

e

→ 0, ветер будет играть существенную роль.

В случае ρ

= ρ



наряду с ЭКД и ветром необходимо учитывать баланс сил тяже-

1

Понятие повышенной напряженности АЭП нуждается в уточнении. Например, капля ртути, оседа-

ющая в электролите под действием силы тяжести легко «отражается» (т.е. может зависать в состоянии
«квазиневесомости» или даже всплывать) в электрическом поле с дополнительной напряженностью
всего 100 в/м, а ведь

ρ

≈ 13ρ!

222

Рис. 1: Схематичное строение (по Симпсону) АЭП под грозовым облаком (ввер-
ху) и распределение АЭП на поверхности Земли (внизу): (1) — зона обычного
направления (фона) АЭП, (2) — зона реверса направления АЭП, (3) — внут-
ренняя зона возможного повторного реверса

223