Газовая и волновая динамика - часть 48

числа движущихся частиц, которое приводит к увеличению эффективной жесткости
газа. По аналогичным соображениям твердое тело сильным всесторонним сжатием
можно существенно преобразовать, но нельзя уничтожить.

В противовес силам сжатия (по своей природе — противодействующим), те силы,

которые сжимают (стягивают) и тем самым создают твердую фазу, имеют элек-
тромагнитное происхождение и их роль несколько сходна с ролью предварительно
напряженной арматуры в струнобетоне.

В ненагруженном извне твердом теле сосуществуют оба вида сил. Стягиваю-

щие силы физически являются дальнодействующими. Они — стягивают материал,
противодействующие — их уравновешивают. Те напряжения, которые изучаются в
механике сплошной среды, прилагаются извне и реально лишь сдвигают внутреннее
равновесие. Тело при этом изменяет деформацию, потому что величина обоих видов
сил зависит от деформированного состояния, которое изменяется до тех пор, пока
внешнее воздействие не будет компенсировано.

Если материал приобретает деформацию растяжения, это вызывает и удаление

притягивающихся друг к другу разноименных электрических зарядов, и разрежива-
ние магнитных силовых линий. Поэтому деформация растяжения снижает способ-
ность самосохранения твердой среды. Выяснение зависимости сил сжатия от дефор-
мирования материала из-за их сходства с давлением относительно просто, но как
отмечалось выше, разрушение связывается не с этими силами. Среда разрушается
при ослаблении созидающих стягивающих сил. А вот как раз для этих сил постро-
ение близких к адекватности моделей крайне затруднительно. Поэтому мы строим
критерий разрушения через наблюдение только напряженного состояния (благо,
что на ранних стадиях предразрушения нет серьезных отклонений от пропорцио-
нальности тензоров напряжений и деформаций, а у хрупких тел возможно даже
сохранение закона Гука; да и причиной появления разрушающей деформации всегда
бывает именно напряжение).

Вклад приложенного извне тензора напряжений в силы сжатия равен одной трети

его первого инварианта, обозначим его

− P и назовем P средним давлением

P = −

1
3

I

1

=

−

1
3

(σ

1

+ σ

2

+ σ

3

) ,

Среднее давление

P характеризует усилия, приложенные извне, но его величина яв-

ляется чистым вкладом во внутренние силы сжатия. Если, например, все главные
напряжения положительны (материал всесторонне растянут), то

P — отрицательно и

внутреннее давление при этом уменьшится, потому что внешняя растягивающая на-
грузка противодействует стягивающим силам, а уравновешивающие их силы сжатия
лишаясь части нажима, сами уменьшатся как раз на величину

P. Если же материал

внешней нагрузкой придавливается, то стягивающие силы получают подкрепление и
противодействующие им силы сжатия возрастут.

Разность главного напряжения и одной трети первого инварианта, она же —

сумма главного напряжения σ

k

(

∀k) и среднего давления P, если положительна,

то сдерживается только за счет сил стягивания.

196

В синтетической теории разрушения принято самое большое главное напряжение

отмечать индексом 1. Поэтому именно сумма σ

1

+

P первой изо всех может преодо-

леть стягивание. Не вдаваясь в подробности, предположим, что стягивающая сила
ведет себя примерно так же, как и излишне натянутая струна в композите, то-есть
попросту обрывается. Дадим критическому напряжению обозначение σ

∗

и объявим

критической ситуацию, когда самое большое растягивающее напряжение достигнет
критического значения

σ

1

+

P = σ

∗

.

(1)

Переведем критерий (1) в обозначения синтетической теории прочности.
Поскольку σ

1

≥ σ

2

≥ σ

3

и

σ =

σ

1

+ σ

3

2

,

T =

σ

1

− σ

3

2

,

µ

σ

=

2σ

2

− σ

1

− σ

3

σ

1

− σ

3

,

то

σ

1

= σ + T ,

σ

2

= σ + µ

σ

T ,

σ

3

= σ

− T .

Тогда

P = −

1
3

I

1

=

−

1
3

(σ

1

+ σ

2

+ σ

3

) =

− σ −

1
3

µ

σ

T .

Значит, критическое напряжение будет равно

σ

∗

= σ

1

+

P =

1
3

(3

− µ

σ

) T .

(2)

Для того, чтобы определить величину σ

∗

экспериментально, проведем стандартное

испытание на сдвиг в ящике. Пока деформации малы, при создании чисто сдвигового
поля напряжений характер деформирования таков, что у каждого квадрата, сторо-
ны которого параллельны стенкам ящика, главное растяжение (получит индекс 1)
направлено по одной диагонали, а главное сжатие (получит индекс 3) — по другой,
причем по модулю соответствующие им деформации отличаются пренебрежимо мало.
Третье главное направление (получит индекс 2) направлено по нормали к плоскости
самог´о квадрата и напряжения на этом направлении как и деформации — нулевые.
В момент кризиса

σ

1

= Σ

∗

,

σ

2

= 0,

σ

3

=

−p

∗

.

При этом Σ

∗

= p

∗

. Значит, в критическом напряженном состоянии мы имеем

σ = µ

σ

= 0, а

T = τ

∗

= Σ

∗

= p

∗

.

197

Но в соответствии с (2), константа σ

∗

синтетической теории первичного разрушения,

подлежащая экспериментальному определению,

σ

∗

=

1
3

(3

− µ

σ

) T = τ

∗

,

оказывается равной предельному сдвиговому напряжению τ

∗

. Построение критерия

завершено.

Проверку дееспособности критерия можно осуществить в двух видах опыта на

простое нагружение.

•

При простом растяжении стержня из того же материала в момент обрыва имеем

σ

1

= Σ

∗

,

σ

2

= σ

3

= 0,

тогда

σ = T =

Σ

∗

2

,

µ

σ

=

−1.

Отсюда следует, что (3 + 1)Σ

∗

/2 = 3 τ

∗

, значит

Σ

∗

=

3
2

τ

∗

.

•

При раздавливании лепешки из испытуемого материала при отсутствии трения
на сдавливающих поверхностях

σ

1

= σ

2

= 0 ,

σ

3

=

−p

∗

тогда

σ =

−

p

∗

2

,

T =

p

∗

2

,

µ

σ

= 1.

Отсюда следует, что (3

− 1)p

∗

/2 = 3 τ

∗

, значит

p

∗

= 3 τ

∗

.

Критическое давление численно оказалось ровно в два раза больше, чем крити-
ческое напряжение при растяжении. Причина разницы находится в изменении
параметра Лоде µ

σ

.

Применим критерий в задаче более сложной, но допускающей упрощение до воз-

можности аналитического решения. Пусть материал покоится в поле силы тяжести,
заполняя нижнее полупространство под горизонтальной плоской свободной поверх-
ностью. Зависимости параметров от горизонтально направленных координат нет. Тен-
зор напряжений повсеместно шаровой, давление зависит только от глубины. Удалим
из полупространства прямой круговой полубесконечный цилиндр, ось которого вер-
тикальна, создав таким способом модель скважины. Уточнение граничных условий
на ее поверхности произведем позже, а сначала предположим лишь в общих чертах,
что в полупространстве произойдет цилиндрически симметричная разгрузка, которая
вне некоторой окрестности скважины произойдет линейно упруго при независимых
от глубины константах λ и µ. В цилиндрических координатах (r, z, ϕ) зависимости
от ϕ нет. Радиальное перемещение обозначим буквой u, изменения радиальной и
кольцевой деформаций равны соответственно ∂u/∂r и u/r. Изменение деформации

198

в вертикальном направлении обозначим ∆ε

z

. Примем упрощающее предположение,

что слои, в которых напряжение σ

z

постоянно, остаются плоскими горизонтальными.

Придерживаясь одного такого слоя (∆σ

z

= 0), из одного из соотношений закона Гука

∆σ

z

= (λ + 2µ)∆ε

z

+ λ



∂u

∂r

+

u

r



,

имеем

∆ε

z

=

−

λ

λ + 2µ



∂u

∂r

+

u

r



.

(3)

Отсюда следует

∆σ

r

= α

∂u

∂r

+ β

u

r

,

∆σ

ϕ

= β

∂u

∂r

+ α

u

r

,

α =

4µ(λ + µ)

λ + 2µ

,

β =

2λµ

λ + 2µ

. (4)

Дифференциальное уравнение равновесия в радиальном направлении

d∆σ

r

dr

+

∆σ

r

− ∆σ

ϕ

r

= 0

ведет к уравнению для перемещения u

r

d

2

u

dr

2

+

du

dr

−

u

r

= 0 ,

которое имеет одно фундаментальное решение, исчезающее на бесконечности:

u =

−

C

r

,

du

dr

=

C

r

2

.

Знак минус введен для того, чтобы константа C принимала только положительные
значения. Подстановка полученного решения в (3) приводит к ∆ε

z

= 0, что означает

подтверждение предположения об отсутствии вспучивания слоев среды в линейно
упругой области (пока нет разрушения).

Возвращаясь к (4), получаем в слое σ

z

= const главные напряжения

σ

r

= σ

z

+ 2µ

C

r

2

,

σ

z

,

σ

ϕ

= σ

z

− 2µ

C

r

2

расположенными в порядке убывания. Присвоив им индексы 1,2 и 3, можно обра-
титься к вышеуказанному критерию (1) и следствиям из него. Интереснейшим из
следствий оказывается, что для всех значений σ

z

, и, значит, на всех глубинах кри-

терий разрушения может иметь совершенно одинаковый вид

2µC

r

2

= τ

∗

.

(5)

199