Газовая и волновая динамика - часть 46

Электрогидродинамика и шаровая молния

Дубровский В. А.

Существование шаровой молнии как физического объекта известно с давних вре-

мен. Наблюдение шаровых молний, тем не менее, оказывается по существу случай-
ным актом. Поэтому не представляется возможным проводить детерминированные
натурные наблюдения, которые могли бы прояснить природу и механизм этого зага-
дочного явления. Можно сказать, что шаровая молния постоянно бросает дерзкий
вызов современной физической науке с ее мощным физико-математическим аппара-
том и развитой экспериментальной базой. Естественно, что этот вызов не остается
без ответа и порождает различные физико-математические модели шаровой молнии,
механизмы ее генерации. Наиболее полный и обстоятельный обзор моделей наряду
с квалифицированной систематикой свойств и характерных черт наблюдаемых явле-
ний шаровых молний приведен в [1]. Тем не менее ни одна из моделей не привела
до сих пор к возможности лабораторного моделирования, что является необходимым
этапом в познании природы шаровой молнии.

В настоящей работе попробуем представить еще одну, пока тоже умозрительную

модель шаровой молнии и указать возможное лабораторное моделирование. Предла-
гаемый подход основан на уравнениях электрогидродинамики, впервые предложен-
ных в [2]. Эти уравнения описывают совместное поведение диэлектрической среды
и электрического поля и получены исключением магнитного поля из одной тройки
уравнений Максвелла. Они оказались математическим аналогом уравнений магнит-
ной гидродинамики, но для другого крайнего случая сплошной среды — непроводя-
щего (или слабо проводящего) диэлектрика. Действие электрического поля на такой
диэлектрик связано с наличием электрических диполей. Это могут быть как соб-
ственно диполи молекул вещества, диполи связанные с различного рода примесями
и дефектами (вплоть до микротрещин кристалла), так и диполи, наведенные элек-
трическим полем. Существенно, что все эти элементарные диполи стремятся уста-
новиться параллельно внешнему электрическому полю, приводя к объемной поляри-
зации и возникновению пондеромоторной силы (ε

− 1)(E∇)E/4π [3], действующей

на диэлектрическую среду. В итоге синтеза уравнений Максвелла (с исключенным
магнитным полем) и уравнений Навье-Стокса (с введенной пондеромоторной силой)
получаем следующую систему уравнений электрогидродинамики [2]:

∂

v

∂t

+ (

v∇)v −

ε

− 1

4π

b (

E∇)E + ∇



p


+

ε

− 1

4π

a E

2



=

− ν rotrot v

(1)

∂

E

∂t

+ (

v∇)E − d(E∇)v = −4πσE

div

v = 0

(2)

v — скорость течения среды с плотностью , вязкостью ν, проводимостью σ и ди-
электрической проницаемостью ε;

E — напряженность электрического поля; p —

давление; a, b и d — некоторые безразмерные константы зависящие от конкретной

188

электрической дипольной структуры сплошной среды. Оказывается, что система (1 –
2) описывает маятникообразную перекачку энергии электрического поля в энергию
движения сплошной среды и наоборот [4]. Этап перекачки кинетической энергии те-
чения среды в электрическую энергию можно рассматривать как процесс генерации
электрического поля. Такая точка зрения позволила описать механизм генерации
атмосферного электричества, подтвердив его натурными наблюдениями [4], и на-
метить способ локации мощных атмосферных фронтов и вихрей по излучению ими
электромагнитных волн и свойствам этих волн [5]. Таким образом появляется доста-
точная теоретическая база, позволяющая аналитическими, физико-математическими
методами ставить и решать задачу о генерации высоковольтных электрических по-
лей [4, 5]. Имеет смысл также воспользоваться такой возможностью при решении
центрального вопроса в проблеме шаровой молнии — вопроса ее появления, генера-
ции и относительной стабильности.

Впервые проблема о природе шаровой молнии с точки зрения электрогидродина-

мических уравнений (1 – 2) была поставлена в [6] и доложена автором этой рабо-
ты на Ломоносовских чтениях МГУ 26.04.1999. Решение этой проблемы должно в
обязательном порядке и в первую очередь учитывать следующие основные наблюда-
тельные данные [1]:
1. Возникновение шаровой молнии происходит в основном в местах с интенсивным,
многовольтовым электрическим полем.
2. Шаровая молния светится в видимом диапазоне частот от красного до фиолетово-
го, причем эти оттенки имеют место и в разных частях отдельных экземпляров.
3. Шаровая молния испускает довольно интенсивные радиоволны, регистрируемые
бытовыми радиоустройствами.
4. Плотность шаровой молнии практически не отличается от плотности окружающе-
го воздуха, т.е. она находится в воздухе по существу в безразличном равновесии.
5. Несмотря на интенсивное свечение температура шаровой молнии ненамного пре-
вышает температуру воздуха (или даже практически совпадает).
6. Вещество объема шаровой молнии имеет тенденцию к принятию шаровой формы,
что может свидетельствовать о существенном запасе внутренней энергии, приводя-
щей к дополнительной упругости и эффективно к поверхностному натяжению.
7. Исчезновение шаровой молнии связано с развитием неустойчивости. Кроме того,
на ее поверхности наблюдаются следы более мелкомасштабной неустойчивости в ви-
де выброса струй и капель вещества.
8. Имеет место корреляция времени жизни и размеров шаровой молнии: долгоживу-
щие молнии имеют в основном большие размеры.
9. При контакте шаровой молнии с проводниками появляются кратковременные им-
пульсы электрического тока, значительные по амплитуде.
10. Запас энергии в шаровой молнии оказывается не очень значительным: плотность
энергии порядка 1 – 10 дж/cм

3

.

Покажем, что электрогидродинамическая модель шаровой молнии способна дать

объяснение всем выше перечисленным свойствам, сформулированным в [1] как итог
обработки многочисленных наблюдений. В первую очередь необходимо показать, что

189

возможна генерация электрического поля, приводящего к шаровой молнии. Такая
принципиальная возможность была выявлена для случая атмосферного электриче-
ства в [4] как отдельный этап нелинейного маятникообразного процесса перекачки
энергии движения среды и энергии электрического поля. Физический смысл гене-
рации, т.е. рождения и усиления электрического поля в электрически нейтральной
среде прояснен в [6]. Суть механизма генерации заключается в поляризации ди-
электрика, т.е. в параллельном выстраивании диэлектрических диполей, присущих
молекулам или некоторым элементарным объемам диэлектрической среды незави-
симо от природы диполей. Такого рода самополяризация при сложном трехмерном
движении среды оказывается возможной, как это показано в [4, 5, 6]. Действитель-
но, умножив уравнение (1) скалярно на

v, а уравнение (2) — на E получим два

уравнения:

∂

∂t

v

2

2

=

−

ε

− 1

8π

b E

i

D

ik

E

k

− ν (rotv)

2

+

+ div



p

v +

v

2

2

v +

ε

− 1

8π

a E

2

v −

ε

− 1

8π

b (

E∇)E − ν[vrotv]



(3)

∂

∂t



ε

− 1

8π

b

d

E

2



=

ε

− 1

8π

b E

i

D

ik

E

k

−

(ε

− 1)b

d

σE

2

+ div



ε

− 1

8π

b

d

E

2

v



(4)

где D

ik

= (∂v

i

/∂x

k

+ ∂v

k

/∂x

i

) — тензор скоростей деформаций. Локальная генерация

(уничтожение) плотности электрического поля и плотности кинетической энергии
движения среды определяется тремя процессами: первый — принос (вынос) энер-
гии в данную точку из соседних, описываемым третьими (дивергентными) членами
в (3 – 4); второй — необратимая диссипация энергии, описываемая вторыми, стро-
го отрицательными членами в (3 – 4) и, наконец третий — собственно истинная
генерация (уничтожение) энергии поля или кинетической энергии среды в зависи-
мости от знака E

i

D

ik

E

k

в первых членах в (3 – 4). Именно, величина и знак E

i

D

ik

E

k

определяет интенсивность локальной генерации или уничтожения энергии. При этом
из (4) непосредственно следует, что генерация электрического поля происходит за
счет кинетической энергии движения среды как один из этапов «перекачки» энергии
между течением диэлектрической среды и электрическим полем. Другими слова-
ми, имеет место своеобразный маятник с взаимным преобразованием кинетической
энергии движения среды и потенциальной энергией поля. Но колебания этого ма-
ятника, который управляется каналом, описываемым членами с E

i

D

ik

E

k

, сложны и

прихотливы и составляют суть неустойчивого во всем объеме поведения электрогид-
родинамической системы. Все зависит от структуры тензора D

ik

, рассматриваемого

в качестве трехмерной матрицы с элементами (∂v

i

/∂x

k

+ ∂v

k

/∂x

i

). Элементы этой

матрицы отличны от нуля (т.е. возможна принципиальная неустойчивость) толь-
ко при дифференцированном движении среды (с наличием градиентов скоростей).
Далее, для ненулевой матрицы D

ik

всегда существует положительное собственное

значение, что вытекает из условия несжимаемости div

v = 0. Тогда любое поле E,

направленное вдоль собственного вектора матрицы D

ik

, соответствующего положи-

тельному собственному значению, случайно возникнув, начнет расти (экспоненци-

190

ально или за конечное время). Именно этот вариант отвечающий положительному
значению E

i

D

ik

E

k

в уравнении (4), описывает поляризацию диэлектрической среды

с параллельным выстраиванием элементарных диполей и как итог появление и рост
электрического поля.

Параллельное выстраивание диполей какого-либо объема диэлектрической среды

вдоль некоторого направления (например, оси z) будет означать появление дипольно-
го электрического поля с эффективным дипольным моментом D вдоль оси z. Поэтому
можно для начала исследовать возможность рождения и поведения дипольного элек-
трического поля. Этот процесс электрического динамо описывается уравнением (2).
Рассмотрим, какими могут быть варианты эволюции случайно возникшего диполь-
ного поля

E = rotrot(D/r) и какова должна быть при этом конфигурация течений

сплошной диэлектрической среды. Будем исходить из уравнений:

∂

E

∂t

− rot[vE] = 0

(5)

которое полностью соответствует уравнению (2) системы при d = 1 и σ = 0. Уравне-
ние (5) описывает, вообще говоря, поведение электрического поля

E в зависимости

от распределения в пространстве и во времени скорости

v течения диэлектрической

среды. Мы здесь ставим обратную, до некоторой степени, задачу определения ско-
рости, соответствующей заданной дипольной конфигурации поля. Дело в том, что
для дипольного электрического поля влияние его на течение среды слабо, как это
должно следовать из уравнения (1). Это следует из того, что член (ε

−1)b(E∇)E/4π,

переписанный как (ε

− 1)b{−rot[ErotE] + ∇(E

2

/2)

}/4π, превращается для диполь-

ного поля по существу в градиентный в силу тождества rot

∇a ≡ 0. А градиентные

члены не влияют на вихревые течения, которые мы здесь рассматриваем и которые в
действительности ответственны за маятникоподобное поведение электрогидродина-
мической среды. Следовательно, генерация и поведение дипольного электрического
поля, описываемое уравнениями (5), не влияет на характер завихренности ω = rotv
течения диэлектрической среды, но не на величину и распределение давления p.

При выбранной нами конфигурации электрического поля в виде

E = rotrot(D/r),

где

D параллельно оси z, а r — радиальная переменная сферических коорди-

нат, означает, что

E имеет дипольный вид всюду кроме начала координат: E =

∇div(D/r) + Dδ(r) (δ(r) — дельта функция). Будем для простоты рассматривать
далее начало координат исключенным с помощью бесконечно малой области, окру-
жающей точку r = 0. Выясним теперь условия, при которых возможно усиление
дипольного поля. Имея ввиду принятую конфигурацию

E и уравнение несжимаемо-

сти, убеждаемся что уравнение (5) удовлетворяется, если имеет место:

∂A

∂t

+ v

r

E

θ

− v

θ

E

r

= 0

A = D(t)

sin θ

r

2

(6)

E

r

r

∂

∂r



v

ϕ

r

+ E

θ

sin θ

r

∂

∂θ



v

ϕ

sin θ

= 0

(7)

где выбраны сферические координаты (r, θ, ϕ). Разделение временной и простран-

191