Газовая и волновая динамика - часть 44

где x(s, t), y(s, t), z(s, t) - проекции вектора ¯

l(s, t) на оси координат.

Если предположить, что в струне на элемент ∆s действуют лишь касательные

напряжения ¯

T (s + ∆s, t), ¯

T (s, t), то из закона Ньютона следует, что

ρ

0

ds

∂

2

¯

l

∂t

2

= ¯

T (s + ∆s, t)

− ¯

T (s, t) =

∂ ¯

T

∂s

ds, ρ

0

∂

2

¯

l

∂t

2

=

∂ ¯

T

∂s

(2)

Проекции данного уравнения на оси координат имеют вид:

ρ

0

∂

2

x

∂t

2

=

∂

∂s

[T cos(¯i ¯

T )], cos(¯i ¯

T ) =



1 +

∂x

∂s



(1 + e)

−1

ρ

0

∂

2

y

∂t

2

=

∂

∂s

[T cos(¯

j ¯

T )], cos(¯

j ¯

T ) =



1 +

∂y

∂s



(1 + e)

−1

(3)

ρ

0

∂

2

z

∂t

2

=

∂

∂s

[T cos(¯

k ¯

T )], cos(¯

k ¯

T ) =



1 +

∂z
∂s



(1 + e)

−1

Для дальнейшего рассмотрения существенным оказывается то, что струна имеет
начальное натяжение T

0

= Ee

0

(E- модуль Юнга), и в данном случае продольное

смещение целесообразно представить в виде x = e

0

s + ¯

x. Тогда возмущение дефор-

мации ˆ

e = e

− e

0

будет:

ˆ

e =



1 + e

0

+

∂ ¯

x

∂s



2

+



∂y

∂s



2

+



∂z
∂s



2

− 1 − e

0

(4)

Если учитывать, что ˆ

e << 1, а следовательно

∂

¯x

∂s

,

∂

¯y

∂s

,

∂

¯z

∂s

малы, можно получить

линеаризированное выражение:

ˆ

e =

∂ ˆ

x

∂s

+

1

2(1 + e

0

)



∂y

∂s



2

+



∂y

∂s



2



(4



)

Отсюда следует, что вклад как поперечных, так и продольных составляющих

деформации в динамическое нагружение оказывается одного порядка. несмотря на
то, что поперечные смещения на порядок больше продольных (они входят в (4’)
квадратами производных ).

Уравнения поперечных и продольных колебаний (2) в первом приближении с

учетом того, что в этом случае

T cos(¯

j ¯

T )

≈

Ee

0

1 + e

0

∂y

∂s

, T cos(¯

k ¯

T )

≈

Ee

0

1 + e

0

∂z
∂s

,

T cos(¯i ¯

T ) = Ee

0

+ E



∂ ¯

x

∂s

+

1

2(1 + e

0

)

2



∂y

∂s

2

+

∂z
∂s

2



,

принимают следующий вид:

∂

2

y

∂t

2

= b

2

0

∂

2

y

∂s

2

,

∂

2

z

∂t

2

= b

2

0

∂

2

z

∂s

2

(5)

180

∂

2

¯

x

∂t

2

= a

2

0

∂

∂s



∂ ¯

x

∂s

+

1

2(1 + e

0

)

2



∂y

∂s



2

+



∂z
∂s



2



,

(6)

где b

2

0

=

Ee

0

ρ

0

(1 + e

0

)

, a

2

0

=

E

ρ

0

Данные результаты можно получить [5], если воспользоваться методами теории воз-
мущений, приняв за малый параметр возмущение деформации ˆ

e = e

−e

0

. Из-за нали-

чия неоднородности a

2

0

∂

∂s



1

2(1 + e

0

)

2



∂y

∂s



2

+



∂z
∂s



2



в уравнении (6) процесс

распространения продольных колебаний представляет собой суперпозицию собствен-
ных колебаний и вынужденных продольных колебаний на частотах поперечных.

Необходимо отметить, что постановка задач продольных колебаний принципи-

ально отличается от постановки задач поперечных колебаний тем, что скорости и
деформации продольных колебаний терпят разрывы на поперечных волнах. В самом
деле, исходя из соотношений на поперечной волне, полученных в работе [1]:

ρ

0

(b + u

1

)(V



1

cos β

− u

1

) = T (cos γ

− 1)(1 + e

1

)

(7)

ρ

0

(b + u

1

)V



1

sin β = T sin γ(1 + e

1

)

(8)

можно получить следующие соотношения [6] для

∂

¯x

∂t

и

∂

¯x

∂s

:



∂ ¯

x

∂s

+

b

2

0

2(1 + e

0

)



∂y

∂s



2



= 0,



∂ ¯

x

∂t



=



b

2

0

2(1 + e

0

)



∂y

∂s



2



(9)

которые выражают, соответственно, в первом приближении непрерывность полной
деформации и применение закона количества движения в направлении оси Ox. Здесь
квадратные скобки выражают разрывы соответствующих параметров справа и слева
от поперечных волн.

2.Пусть на струну, жестко закрепленную в точках x = 0, x = L, воздействует

в точке x = c бесконечно тонкая палочка, имеющая проекции скорости V

0

и V

τ

в

направлениях соответственно нормальных к ее длине и вдоль длины (V

τ

-скорость

скольжения палочки по струне).

Для упрощения анализа примем, что V

0

= const, V

τ

= const. Направляя ось Ox

по длине палочки, Oy по направлению проекции скорости V

0

, будем иметь движе-

ние частицструны в плоскости z = 0, описывающееся для рассматриваемой задачи
уравнением поперечных колебаний:

∂

2

y

∂t

2

= b

2

0

∂

2

y

∂x

2

(10)

при следующих начальных и граничных условиях:

y(x, 0) =

∂y
∂x

(x, 0) = 0,

y(0, t) = y(L, t) = 0,

∂y

∂t

(x = c, t) = V

0

(11)

181

Рис. 2.

(b

0

- скорость распространения поперечных волн).

Решение этой задачи можно получить, если воспользоваться методом разделения

переменных:

y

0

(s, t) =

 

L

−c−s

L

−c



V t

−

∞
n

=1

2V (L−C)

L

−c

sin



bπn

L

−c

t



sin

πn

L

−c

(s

− L + c); c ≤ s ≤ L

∞
n

=1

2V c

bπ

2

n

2

sin



bπn

c

t



sin

πn

c

(s

− c) +



c

−s

c



V t; c

≤ s ≤ c.

(12)

Вместе с этим, данное решение может быть получено как методом распространя-

ющихся волн, так и методом характеристик и представляет собой волновой процесс,
схематично изображенный на рис. 2. Начальный угол α

0

наклона струны к оси X

определяется из условия:

tgα

0

= ¯

V

0

или

α

0

≈ ¯V

0

,

где

¯

V

0

=

V

0

b

0

<< 1.

После отражений поперечных волн от креплений x = 0, x = L углы наклона

струны в этих точках равны 2α

0

. После достижения отраженной от крепления волной

точки x = c и отражения от нее, углы наклона струны в этих точках становятся
равными 3α

0

и т. д. Поэтому при времени 2k

c

b

0

< t < (2k + 1)

c

b

0

углы наклона

струны соответственно в точках x = 0,x = c суть θ

0

= 2kα

0

, θ

1

= (2k + 1)α

0

,

при времени (2k

− 1)

c

b

0

< t < 2k

c

b

0

соответствующие углы наклона суть θ

0

= 2kα

0

,

θ

1

= (2k

− 1)α

0

. Как показано выше, продольные смещения частицструны x(s, t) в

первом приближении удовлетворяют уравнению (6), которое в нашем случае, когда

182

движение происходит в плоскости z = 0, принимает вид:

∂

2

¯

x

∂t

2

= ¯

a

2

0



∂

2

¯

x

∂s

2

+

1

2(1 + e

0

)

∂

∂s



∂y

∂s



2

(13)

¯

a

0

= a

0

(1

− e

0

)

−1

, a

0

- скорость продольных волн, выражение для

∂

∂s



∂y

∂s



2

может

быть найдено из (12). Решение данного уравнения может быть найдено методом
разделения переменных с учетом следующих граничных и начальных условий:

x(s, 0) = x

t

(s, 0) = 0 x(0, t) = x(c, t) = x(L, t) = 0

и имеет следующий вид:

X(s, t) =

T

n

sin

πn(s

− L

i

)

L

i

(14)

где

T

n

(t) =

−

4V

2

0

t sin

πnb

0

t

L

i

π

2

n

2

b

0

(a

2

0

− b

2

0

)

− 8

V

2

0

b

0

c



cos

πna

0

t

Li

− cos

πnb

0

t

L

i

π

2

n

2

b

0

(a

2

0

− b

2

0

)

2

−

L

i

n

4π

k + m = n

|k − m| = n

4V

0

π

2

b

2

0

km



cos

π

(k+m)b

0

t

L

i

− cos

πna

0

t

L

i

n

2

a

2

0

− (k + m)

2

b

2

−

cos

π

(k−m)b

0

t

L

i

− cos

πna

0

t

L

i

n

2

a

2

0

− (k − m)

2

b

2

0

где L

i

=



c, 0 < s < c
L

− c, c < s < L

Анализируя полученное решение можно заметить, что в спектре продольных ко-

лебаний наряду с собственными частотами присутствует спектр вынужденных про-
дольных колебаний на частотах поперечных.

Наряду с этим волновое решение дает наиболее простое объяснение возникнове-

нию продольных колебаний на частотах поперечных.

В рассматриваемом случае

∂y

∂s

= const в каждой из приведенных на рис. 2 обла-

стей. Поэтому уравнение (13) в этих областях становится однородным и принимает
традиционный вид уравнения продольных колебаний:

∂

2

¯

x

∂t

2

= a

2

0

∂

2

¯

x

∂s

2

(15)

При формулировке задачи для уравнения (15), как показано в [6], кроме началь-

ных условий ¯

x =

∂

¯x

∂t

= 0 и граничных условий в точках s = 0 и s = L необходимо

ставить условия (9) на поперечных волнах и в точке воздействия палочки. Для рас-
сматриваемой задачи величины разрывов оказываются постоянными, не зависящими
от времени. Поэтому, решениями уравнения (15) являются области постоянных зна-
чений составляющих скоростей

∂

¯x

∂t

и деформаций

∂

¯x

∂s

, испытывающих разрывы на

поперечных волнах в соответствии с соотношениями (9). Источником данных волн

183