Газовая и волновая динамика - часть 45

Рис. 3.

являются поперечные волны, представляющие собой точечный источник, движущий-
ся со скоростью b

0

(типа дельта-функции Дирака δ(s, bt

− nL)).

Для лучшего понимания в качестве иллюстрации рассмотрим решение данного

уравнения методом характеристик. Рассмотрим область слева от точки удара. В мо-
мент начала воздействия в струне возникает продольная волна, распространяющаяся
со скоростью a

0

. За ней распространяется поперечная волна со скоростью b

0

(b

0

< a

0

).

До момента времени, пока продольная волна не достигла заделки в струне возни-
кают области I- область покоя, II- область за продольной волной, где существуют
только продольные движения, III- область продольно-поперечных движений за по-
перечной волной (рис. 3). Выражения для продольных деформаций и скоростей в
данных областях следующие:

184



∂ ¯

x

∂s



I

= 0;



∂ ¯

x

∂t



I

= 0;



∂ ¯

x

∂s



II

= C

0

b

0

;



∂ ¯

x

∂t



II

=

C

0

b

0

a

0



∂ ¯

x

∂s



III

=



∂ ¯

x

∂s



II

− C

0

= C

0



b

0

a

0

− 1



;



∂ ¯

x

∂t



III

= 0;

где C

0

=

α

2

0

2(1+e

0

)

=

1

2(1+e

0

)



∂y

∂s



2
III

- величина разрыва.

После отражения от заделки за продольной волной возникает область IV, которая

существует пока продольная волна не встретится с поперечной. В зависимости от
характера заделки натяжение либо возрастает по сравнению с областью II, либо
падает. В нашем случае жесткого закрепления решения в данной области таковы:



∂ ¯

x

∂s



IV

= 2



∂ ¯

x

∂s



II

= 2

C

0

b

0

a

0

,



∂ ¯

x

∂t



IV

= 0.

Рассмотрим дальнейший процесс взаимодействия продольной и поперечной вол-

ны. Можно предположить, что возникнут две области: V-область за продольной
волной, отраженной от поперечной, и VI- область за продольной волной, прошедшей
через поперечную. Решения для данных областей следующие:



∂ ¯

x

∂s



V

= 2



∂ ¯

x

∂s



II

= 2

C

0

b

0

a

0

,



∂ ¯

x

∂t



V

= 0.

(16)



∂ ¯

x

∂s



V I

= 2

C

0

b

0

a

0

− C

0

;



∂ ¯

x

∂t



V I

=

−C

0

b

0

(17)

Очевидно, что



∂

¯x

∂s



IV

=



∂

¯x

∂s



V

;



∂

¯x

∂t



IV

=



∂

¯x

∂t



V

, и отраженной волны не возника-

ет, т.е. не возникает области V.

Необходимо отметить, что



∂ ¯

x

∂s



IV

−



∂ ¯

x

∂s



V I

= C

0

=

α

2

0

2(1 + e

0

)

=

1

2(1 + e

0

)



∂y

∂s



2

V II

а также



∂ ¯

x

∂s



IV

−



∂ ¯

x

∂s



V I

= C

0

b

0

=

b

0

α

2

0

2(1 + e

0

)

=

b

0

2(1 + e

0

)



∂y

∂s



2

V I

Это значит, что продольная волна проходит без отражения через поперечную вол-
ну, оставляя величину разрыва неизменной. Нетрудно убедится и в общем случае,
что в линейном приближении при взаимодействии продольной и поперечной волны
отраженной продольной волны не возникает. В самом деле, предположим, что в неко-
торый произвольный момент времени возникает волновая картина, представленная
на рис. 3. Значения скоростей и деформаций в областях A,B,C могут быть найдены
из следующих соотношений:



∂ ¯

x

∂t



B

= b

0

C

k

;



∂ ¯

x

∂s



A

=



∂ ¯

x

∂s



B

+

C

k

b

0

a

0

;

185



∂ ¯

x

∂t



A

= 0;



∂ ¯

x

∂s



C

=



∂ ¯

x

∂s



B

− C

k

;



∂ ¯

x

∂t



C

= 0

Предположим, что при взаимодействии c поперечной волной продольная волна ча-
стично отражается. Выражения для

∂

¯x

∂t

и

∂

¯x

∂s

в области D следующие:



∂ ¯

x

∂t



D

= 0 =



∂ ¯

x

∂t



A

;



∂ ¯

x

∂s



D

=



∂ ¯

x

∂s



A

+

C

k

b

0

a

0

=



∂ ¯

x

∂s



A

откуда следует отсутствие отраженной волны.
Это означает, что:
1)продольные волны распространяются от заделки до точки удара и обратно, не

отражаясь от поперечной волны,

2)поперечные волны являются источником распространения вынужденных про-

дольных волн; фронт поперечной волны является точкой разрыва параметров про-
дольных волн.

Для получения спектров продольных колебаний полученные решения могут быть

разложены в ряд Фурье по собственным функциям задачи. В данном случае мож-
но избежать сложной процедуры разложения в ряд выражения для

∂

∂s



∂y

∂s



2

, как

это делается в методе разделения переменных, так как в рассматриваемом случае
точные аналитические выражения для

∂y

∂s

простые - области постоянных значений.

Выражение для ¯

x(s, t) имеет вид:

¯

x(s, t) =

∞

n

=1

A

n

1

2C

k

c

πn

sin

πn(s

− c)

c

,

0

≤ s ≤ c;

¯

x(s, t) =

∞

n

=1

A

n

2

2C

k

(L

− c)

πn

sin

πn(L

− s)

L

− c

,

c

≤ s ≤ L;

где

A

n

1

=



1

πn



b

0

a

0

sin

πna

0

t

c

− sin

πnb

0

t

c



+ 2



b

0

p

a

0

cos

πna

0

t

c

− k cos

πnb

0

t

c



− (−1)

k



A

n

2

=



1

πn



b

0

a

0

sin

πna

0

t

L

− c

− sin

πnb

0

t

L

− c



+ 2



b

0

p

a

0

cos

πna

0

t

L

− c

− k cos

πnb

0

t

L

− c



− (−1)

n



C

k

=

α

2

k

α

2

k

−1

2(1 + e

0

)

— величины разрывов.

Результаты легко обобщить на более общие случаи граничных условий первого

рода, а также произвольной скорости удара при воздействии на струну.

Таким образом, процесс распространения продольных возмущений в струнах му-

зыкальных инструментов может быть представлен как суперпозиция собственных
продольных колебаний и вынужденных продольных колебаний, источником которых
являются точки фронта поперечных волн, на которых терпят разрыв составляющие
продольных скоростей и деформаций.

186

Литература

[1]

Рах матулин Х. А. О косом ударе по гибкой нити с большими скоростями при
наличии трения. — ПММ, т.9, № 6, 1945.

[2]

Зверев И. Н. Некоторые задачи о распространении волн при ударе. Дис. канд.
физ.-мат. наук. — М.: МГУ, НИИ механики, 1949.

[3]

Рахматулин Х. А. — ПММ, 1952, Т. 16, № 1.

[4]

Рахматулин Х. А., Демьянов Ю. А. Прочность при интенсивных кратковре-
менных нагрузках. — М.: Физматгиз, 1961.

[5]

Демьянов Ю. А. К уточнению теории колебаний струн. — ДАН, 1999, Т. 369.
№ 4.

[6]

Демьянов Ю. А. Постановка задач взаимодействия струны с возбудителем ее
колебаний. — ДАН, 2000, Т. 372, № 6.

187