Газовая и волновая динамика - часть 43

Заключение.
1. Исследована возможность предсказания с помощью имеющихся в литерату-

ре моделей гетерогенного катализа, учитывающим образование NO на поверхности,
уровня тепловых потоков на силиконизированных теплозащитных покрытиях при
входе в атмосферу Земли космических аппаратов «Спейс Шаттл» и «OREX». Пока-
зано, что эти модели еще не позволяют достаточно точно предсказать теплообмен в
широком диапазоне изменения условий в набегающем потоке.

2. Установлено, что определение параметров модели катализа с помощью под-

гонки под экспериментальные данные неоднозначно и существенно зависит от вы-
бранного механизма реакций на поверхности. В частности, одинаковые величины
тепловых потоков могут быть получены для различных наборов параметров моделей,
в том числе и для различных механизмов протекания гетерогенных каталитических
процессов.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследо-

ваний (проект № 02–01–00759).

Литература

[1]

Ковалев В. Л. Гетерогенные каталитические процессы в аэротермодинамике.
— М.: Физматлит, 2002.

[2]

Goulard R. On catalytic recombination rates in hypersonic stagnation heat
transfer. — Jet Propuls, 1958, V. 28, № 11.

[3]

Ковалев В. Л., Крупнов А. А. Особенности моделирования теплообмена с
каталитическими поверхностями при входе тел в атмосферу Земли. — Вест.
Моск. ун–та, Сер. 1, Мат. Мех., 1998, № 5.

[4]

Bruno C., Guarino L. Re-entry problems. — In: Capitelli M, Beardsley J. M.,
ed. Nonequilibrium processes in ionized gases, NATO–ASI Series B, ESTEC,
ESA–SP–367, 1994.

[5]

Copelend R. A. Pallix J. B., Stewart D. A. Surface-catalysed NO from
recombination of N and O atoms. — J. Thermoph. and Heat Transfer, 1998,
V. 12, № 4.

[6]

Nasuti F., Barbato M., Bruno C. Material-dependent catalytic recombination
modeling for hypersonic flows. — J. Thermophysics and Heat Transfer, 1996,
V. 10, № 1.

[7]

Kurotaki T. Construction of Catalytic Model on SiO

2

-Based Surface and

Application to Real Trajectory. — AIAA Paper 2000 – 2366.

[8]

Ковалев В. Л., Суслов О. Н. Модель взаимодействия частично ионизованно-
го воздуха с каталитической поверхностью. В кн.: Исследования по гипер-
звуковой аэродинамике и теплообмену с учетом неравновесных химических
реакций. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987.

176

[9]

Ковалев В. Л., Суслов О. Н. Моделирование взаимодействия частично иони-
зованного воздуха с каталитической поверхностью высокотемпературной теп-
лоизоляции. — Изв. РАН: МЖГ, 1996, № 5.

[10]

Kovalev V. L., Suslov O. N., Tirskiy G. A. Phemenologic theory for
heterogeneous recombination of partially dissosiated air on high temperature
surfaces. Proc. NATO Advanced Study Institute on Molecular Physics and
Hypersonic Flows, NATO–ASI Series C: Mathematical and Physical Sciencies,
V. 482. — Dordrecht, NL: Kluwer Acad Publ, 1996.

[11]

Kolodziej P., Stewart D. A. Nitrogen recombination on high–temperature
reusable surface insulation and the analysis of its effects on surface catalysis.
— AIAA Paper 87–1637.

[12]

Scott C. D. Catalytic recombination of nitrogen and oxygen on high temperature.
— AIAA Paper 80–1477.

[13]

Агафонов В. П., Кузнецов М. М. Моделирование неравновесных тепловых
потоков к каталитической поверхности. — Ученые записки Ц А Г И, 1979, Т.
10, № 4.

[14]

Ковалев В. Л., Крупнов А. А. Численный метод решения уравнений многоком-
понентного турбулентного вязкого ударного слоя у каталитической поверхно-
сти. — Вестник Московского ун-та. Сер. Математика. Механика., N 3, 1994,
с. 66-74, Transfer, 1998, V. 12, № 4.

[15]

Ковалев В. Л., Крупнов А. А., Тирский Г. А. Решение уравнений вязкого
ударного слоя методом простых глобальных итераций по градиенту давления
и форме ударной волны. — Докл. РАН, 1994, Т. 338, № 3.

[16]

Gubta R. N., Moss J. N., Simmonds J. L. at al. Space Shuttle Heating Analysis
with Variation in Angle of Attack and Surface Condition. — AIAA Paper 83–
0486.

[17]

High Enthalpy Flow Organized Session and Workshop. Proc. of 13th NAL Symp.
on Aircraft Computational Aerodynamics. — Japan, NAL SP–29, 1995.

[18]

Curry D. M., Rochelle W. C., Chao D. C., Ting P. C. Space Shuttle Orbiter Nose
Cap Thermal Analysis. — AIAA Paper 86–0388.

[19]

Scott C. D. Effect of nonequilibrium and wall catalysis on shuttle heat transfer.
— J. Spacecraft and Rockets, 1985, V. 22, № 5.

177

Вынужденные продольные колебания музыкальных

струн, обусловленные ихпоперечными колебаниями

Демьянов Ю. А., Малашин А. А.

Решения задач распространения поперечно-продольных волн в гибких деформиру-

емых нитях базируются на пионерской работе Х.Рахматулина [1] и его школы [2, 3]
и обстоятельно изложены в [4]. В частности, в работах [1, 4] выводится система
уравнений, описывающих процесс распространения поперечно-продольных волн при
поперечном ударе, а также условия в окрестности точки излома частей нити (усло-
вия на поперечной волне). В работе [1] указано, что «при ударе по струне вдоль
нее побежит волна продольного растяжения, которая в обычной теории колебания
струны во внимание не принимается».

В работе [5] на основе нелинейных уравнений распространения поперечно-

продольных волн, приведенных в [1, 4], получены линеаризированные уравнения
поперечно-продольных колебаний гибкой натянутой струны. Установлено, что хотя
поперечные смещения на порядок больше продольных, вклад поперечных и продоль-
ных деформаций в динамическое нагружение оказывается одного порядка. В рамках
линеаризированного подхода выведены соотношения для разрывов скоростей и де-
формаций продольных волн на поперечной волне.

В данной работе исследуются причины возникновения вынужденных продольных

колебаний, обусловленных поперечными колебаниями, возникающими в период воз-
действия на струну. Для пояснения сущности процесса анализ проводится для наи-
более простого случая «точечного удара» с постоянной скоростью на струну, жестко
закрепленную в точках заделки. При этом, как для нелинейного, так и для линей-
ного случаев будут существовать лишь области постоянных значений продольных и
поперечных составляющих скоростей

∂x

∂t

,

∂y

∂t

и деформаций

∂x

∂s

,

∂y

∂s

. Как будет видно

из дальнейшего, уравнения продольных колебаний при этом оказываются однород-
ными, и с первого взгляда не понятна причина появления вынужденных продольных
колебаний, которые, тем не менее, легко можно получить, если решать эту задачу
методом разделения переменных. В данной статье анализируется причина возник-
новения вынужденных продольных колебаний с использованием решений волновых
уравнений. Дело в том, что в этом случае на поперечных волнах всегда возника-
ют разрывы продольных составляющих скоростей и деформаций. В силу этого, как
показано ниже, имеет место суперпозиция двух процессов: а) распространения про-
дольных волн между точками крепления без какого-либо разрыва величин на попе-
речных волнах, б) распространения поперечных волн, несущих неизменный разрыв
продольных составляющих скоростей и деформаций вплоть до прихода этих волн в
места закрепления, что является определяющим для понимания проблемы, так как
фронт поперечных волн является источником возбуждения продольных колебаний.
Ниже представлены теоретические результаты, подтверждающие этот вывод. Указа-
ны более общие случаи воздействий, на которые также распространяется сделанный
вывод.

178

Рис. 1.

1.Вывод линеаризированных уравнений поперечно-продольных колебаний гибкой

натянутой струны начнем, следуя [5], с вывода уравнений сохранения массы и из-
менения количества движения элемента ∆s струны, где s — лагранжева координата
частицструны, совпадающая с декартовой координатой x ненатянутой струны. Де-
формация элемента ∆s равна e =

CD

−∆s

∆s

. Закон сохранения массы имеет вид:

ρ

0

∆s = ρ(1 + e)∆s, ρ

0

= ρ(1 + e)

где ρ

0

, ρ -начальная и текущая плотности струны. Из рис. 1

видно, что

AD = ∆s

· ¯i + ¯l(s + ∆s, t), CD = AD − ¯l(s, t) = ∆s · ¯i + [¯l(s + ∆s, t) − ¯l(s, t)]

при ∆s

→ 0, CD = ∆s(¯i +

∂¯

l

∂s

), где ¯

l(s, t) -вектор смещения точки s.

Отсюда следует, что

e =



1 +

∂x

∂s



2

+



1 +

∂y

∂s



2

+



1 +

∂z
∂s



2

− 1

(1)

179