содержание .. 45 46 47 48 ..
Газовая и волновая динамика - часть 47
ственных переменных приводит к следующим уравнениям:
1
D
∂D
∂t
= T
(8)
v
r
E
θ
− v
θ
E
r
= T
sin θ
r
2
(9)
где
{E
r
, 0, E
θ
} = {E
r
, 0, E
θ
}/D — пространственная часть вектора E напряженности
электрического поля, а T произвольная функция времени.
Решение уравнения несжимаемости div
v = 0 совместно с (6) – (9) дает:
v
r
=
− T r +
6T r ctgθ
sin
7
θ
sin
7
θ dθ +
ctgθ
r
2
sin θ
Ψ
r
sin
2
θ
(10)
v
θ
=
3T r
sin
7
θ
sin
7
θ dθ +
1
r
2
sin θ
Ψ
r
sin
2
θ
(11)
v
ϕ
= v
ϕ
(t)r sin θ Φ
r
sin
2
θ
, D = D
0
exp
T dt
(12)
где Ψ(r/ sin
2
θ) и Φ(r/ sin
2
θ) — произвольные функции от комбинации r/ sin
2
θ ради-
альной r и полярной θ координат.
Таким образом полученное решение уравнений (5), описывающее генерацию
электрического поля, имеет дипольную конфигурацию электрического поля
E =
rotrot(
D/r) и распределение скоростей (10 – 12). Это решение зависит от произ-
вольной функции времени T и двух произвольных функций Ψ и Φ и тем самым
представляет достаточно общее решение способное удовлетворить различным на-
чальным и граничным условиям выбором вида произвольных функций. При выборе
T
≡ 0 решение оказывается стационарным. При выборе T = T
0
= const электриче-
ское поле может экспоненциально расти или затухать в зависимости от знака кон-
станты T
0
. Более общая зависимость T (t) от времени может определять временную
зависимость электрического поля и поля скоростей различного характера, включая
существенное изменение процесса генерации или уничтожения полей за конечное
время. Для нас пока важно, что уравнения электрогидродинамики могут описы-
вать процесс генерации электрического поля в ограниченном объеме пространства
при определенной конфигурации течений диэлектрической среды, как это продемон-
стрировано выше на примере дипольного электрического поля. Конечно, дипольная
конфигурация не является обязательной и можно исследовать поведение и других
конфигураций электрического поля. Однако это представляет более сложную задачу
и будет исследовано в будущем.
Как было отмечено ранее, генерация или уничтожение поля связано с поляризаци-
ей или хаотическим распределением (деполяризацией) электрических диполей эле-
ментов диэлектрической среды. Тем самым решается главный вопрос обсуждаемой
192