Тепловое разрушение материалов - часть 54

9.5. Аналогия между закономерностями прогрева и уноса массы. Энергетика теплового разрушения  
       материала 

 

218

 
кварцевой  стеклокерамики,  есть  излом,  а  для  изотермы 

05

,

0

*

=

θ

 

−  нет.  Для  высокотемпературных 

изотерм 

)

6

,

0

(

*

≈

θ

 зависимости 

)

(

*

τ

=

∆

f

 резко изменяют угол наклона при достижении постоян-

ной  температуры  поверхности,  т.  е.  в  момент  завершения  накопления  тепла  в  поверхностном  слое 
материала (рис. 5.12, б).  

Часть  тепловой  энергии,  накопленной  в  процессе  повышения  температуры  от 

p

T   до 

w

T

  (пло-

щадь 

BCD

S

 на рис. 9.12) за время установления стационарного режима уноса массы поглощается либо 

слоем унесенного материала с поверхности 

)

(

v

S

τ , либо газообразными продуктами разложения свя-

зующего (например, при фильтрации через пористый прококсованный слой). Другая часть этой энер-
гии,  равная 26

,

0

1

p

T

≈

− K

,  аккумулируется  в  стационарном  прогретом  слое  и  расходуется  на  внут-

ренние процессы, в том числе на теплоту плавления (рис. 9.13). 

 

 

 
Рис. 9.13. Зависимость безразмерного  
линейного уноса 

)

(

/

)

(

v

t

S

t

S

 от времени на-

грева:

 1 

− без источника внутреннего газооб-

разования (без охлаждения прогретого слоя), 
2 – при охлаждении прококсованного слоя за 
счет фильтрации газообразных продуктов

 

 
Для оценки теплосодержания прогретого слоя в разд. 8.2 получена формула (8.13): 

 .

   

4

-

exp

1

4

)

(

)

(

2

2

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

≈

K

K

T

H

T

H

w

 

Поскольку, согласно (5.5), при 

0

*

=

θ

 

∞

→

K

 температурное поле ограничим изотермой 

005

,

0

*

=

θ

, 

для которой можно принять 

83

,

3

≈

K

 (9.23).  

Выбор значения K 

≈ 3,83 не является случайным, так как эта величина установлена при экспе-

риментальных  исследованиях  температурных  полей  в  образцах  КСК.  Повышение  плотности  подво-
димого  теплового  потока,  а,  следовательно,  и  скорости  уноса  массы  приводит  к  тому,  что  при 

5

,

0

>

Σ

G

 стационарный режим быстро устанавливается практически для всех изотерм температурно-

го  поля.  Оказалось,  что  для  однородных  материалов  коэффициент  K  зависит  от  темпа  нагрева,  при 
повышении  которого  в  нестационарном  режиме  увеличивается  скорость  перемещения  изотерм.  На 
рис. 9.12 приведены  только  граничные  зависимости 

)

,

(

*

∞

θ

=

V

f

K

−  прямые 2 и 3, определяемые 

уравнениями (5.22) и (5.23).  

В разделе 5.6 было отмечено, что приближение 

∞

V  к предельному значению ~0,3 приводит к 

сильному  сокращению  времени  существования  линейных  зависимостей 

)

(

*

τ

=

∆

f

.  Уже  при 

3

,

0

≈

∞

V

 нестационарным периодом для 

*

θ  > 0,2 можно пренебречь и зависимость коэффициента  K  

 
 

Глава 9. Энергоемкость поверхностных процессов поглощения тепла при тепловом  

разрушении материала 

 

219

 
от 

*

θ  описывается выражением (5.23), которое при 

p

T

K

K

=

, в отличие от (5.22), вырождается. Урав-

нение  прямой (5.23) при 

=

θ

*

0  дает  значение 

83

,

3

≈

K

.  Этому  значению  соответствует  количество 

тепла,  определяемое  общей  площадью  диаграммы  ЭДМ  (рис. 9.12). Произведение 

79

,

6

OAFD

≈

π

S

 

равно полной тепловой энергии, необходимой для газификации единицы массы материала с учетом 
блокировки подводимого тепла вдувом в пограничный слой и излучения с поверхности. 

Из  уравнения (8.13) при  K = 3,83 находим,  что  теплосодержание  прогретого  слоя  составляет 

~0,27 от теплосодержания унесенного материала. На рис. 9.13 видно, что это значение почти равно 
разности 

)

1

(

p

T

K

−

.  

Энергетическая диаграмма теплового разрушения материала позволяет рассмотреть и так назы-

ваемый «переходной период», когда при плавлении поверхности уноса пленки расплава практически 
не  происходит.  Это  также  представляет  значительный  интерес,  поскольку  многие  технологические 
процессы происходят при плавлении поверхности без уноса массы. 

Экспериментальные  результаты,  полученные  в  работе [253], дают  основания  предположить 

возможность  появления  S-образного  профиля  температуры  в  образцах  КСК,  когда  уносом  пленки 
расплава можно пренебречь. Результаты, приведенные в табл. 8.3, на рис. 8.16 и 8.17 показывают, что 
если начальное значение подводимого теплового потока превышает уровень, допустимый для нагре-
ва поверхности до температуры разрушения (плавления) материала, тепловая волна распространяется 
значительно быстрее, чем это следует из граничных условий. 

Допустим, что в таких условиях нагрева возможно некое волновое возмущение температурного 

поля, ускоряющее распространение тепла вглубь материала [298].   

В работе [299] найдено решение линейного уравнения теплопроводности (5.4) для начального 

распределения температуры в стержне длиной l: )

(

)Sin

(

)

0

,

(

0

0

y

T

T

T

y

T

w

α

−

+

=

 и граничных условий 

0

)

,

(

)

,

0

(

T

l

T

T

=

τ

=

τ

 в виде 

(9.24)

        

          

          

          

),

(

Sin

)

exp(

)

(

)

,

(

2

0

0

y

a

T

T

T

y

T

w

α

τ

α

−

−

+

=

τ

 

где 

l

/

π

=

α

.  

Рассмотрим возможность применения (9.24) для объяснения экспериментальных данных, при-

веденных на рис. 9.14, на котором видно, что экспериментальные значения температур при  y  меньше 
некоторого значения 

k

y  заметно выше расчета по (5.5).   

Если коэффициент K при 

2

,

0

*

>

θ

 определяется по (5.22), то количество тепловой энергии, на-

копленной в материале и подводимой к поверхности, должно быть достаточно для установления ста-
ционарного режима уноса массы. С другой стороны, если установившаяся температура на поверхно-
сти выше температуры плавления, а пленка расплава, тем не менее, остается на поверхности образца, 
то зависимость 

)

(

*

θ

= f

K

 не должна удовлетворять (5.22). В этом случае значение коэффициента K,  

определяемое точкой пересечения зависимости (5.5) с некоторой прямой, должно быть меньше 1,83. 
Однако и в таком варианте нагрева тепло, накопленное в поверхностном слое материала при повы-
шении температуры от 

p

T

 до 

w

T

, должно распределяться в некоторой области температурного поля 

k

y

,  размеры  которой  также  возможно  оценить  по  формуле 

τ

≈

a

K

y

 (5.6)

,  где  коэффициент 

83

,

1

<

K

.    

Допустим,  что  решение (9.24) можно  применить  для  аппроксимации  экспериментальных  дан-

ных, приведенных на рис. 9.14, в интервале 

k

y

y

<

<

0

 для следующих начальных и граничных усло-

вий: при 

T

τ

≥

τ

 

τ

=

a

K

y

k

; при 

w

T

T

y

=

τ

τ

≥

τ

=

)

,

0

(

   

  

и

  

0

T

; при y = y

k

 const

)

,

(

=

=

τ

s

k

T

y

T

. Тогда 

зависимость  для  расчета  температурного  поля  с  учетом (9.24) можно  представить  в  виде  линейной 
суперпозиции двух выражений: 
при 

k

y

y

≥

 

(9.25)

 

          

          

          

          

,

2

erfc

)

(

)

,

(

0

0

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

τ

−

+

=

τ

a

y

T

T

T

y

T

w

 

 

9.5. Аналогия между закономерностями прогрева и уноса массы. Энергетика теплового разрушения  
       материала 

 

220

 
при 

k

y

y

<

   

(9.26)

     

          

,

2

)erfc

(

)

(

Sin

)

exp(

)

(

)

,

(

0

2

0

0

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

τ

−

+

α

τ

α

−

−

+

=

τ

a

y

T

T

y

a

T

T

T

y

T

w

w

 

где 

k

y

/

π

=

α

. 

 

 

 
 
 

 
 
 
Рис. 9.14. Сравнение расчетных и экспери-
ментальных значений температуры в ле-
гированной КСК с учетом волнового воз-
мущения температурного поля в зависимо-
сти от координаты 

y

 (a) и времени нагре-

ва (б):

 a 

− 1–4 – температурный профиль при 

временах нагрева 13, 24, 42 и 70 с; б 

− 1–5 – 

на глубине (3,1; 3,6; 4,55; 6,05 и 8,15)

3

10

−

⋅

м 

(расчет при 

k

y

y

≥

 по (9.25),  при 

k

y

y

<

 – по 

(9.26), 

=

w

T

1350 K, a = 

6

10

6

,

0

−

⋅

м

2

/с,  

T

τ

= 13 с)  

 

 
Сравнение экспериментальных и расчетных значений температур по (9.25) и (9.26) показывает, 

что значение коэффициента  K  в (5.6) должно быть принято равным 1,6. При этом значении коэффи-
циента  K   наблюдается  удовлетворительное  совпадение  расчетных  данных  с  экспериментом.  По 
формулам (5.19) и (6.18) находим значения времен достижения на поверхности температуры плавле-
ния (

≈

τ

p

2 с) и 

w

T = const (

13

T

≈

τ

с). При расчете использовались следующие значения параметров: 

=

к

q

2700 кВт/м

2

, 

=

w

T

2350 К, 

=

p

T

2000 К, 

6

10

6

,

0

−

⋅

=

a

м

2

/с, 

=

ρc 2530 кДж/(м

3

·К).  

Поскольку уравнения (9.25) и (9.26) получены при 

const

=

w

T

, то сравнение  расчетных и экспе-

риментальных данных надо проводить для 

T

τ

>

τ

. На рис. 9.14, а, б видно, что зависимости темпера-

туры от времени нагрева и координаты  y , рассчитанные  по (9.25) и (9.26), удовлетворительно согла-
суются с экспериментальными данными. Амплитуда  полуволны, которая устанавливается в области 
температурного поля 

k

y

y

<

, имеет максимальное значение при 

2

/

k

y

 и постепенно уменьшается по 

мере увеличения времени нагрева, если не начинается унос массы с поверхности материала. Следует 
отметить, что экспериментальное температурное поле в образце КСК, по-видимому, быстрее возвра- 

Глава 9. Энергоемкость поверхностных процессов поглощения тепла при тепловом  

разрушении материала 

 

221

 
щается к автомодельному режиму прогрева (9.25), чем это следует из расчета по (9.26) (рис. 9.14, 

τ > 

70 с.).  

При дальнейшем повышении плотности подводимого теплового потока начинается унос мате-

риала с поверхности, влияние которого на температурное поле при 

3

10

05

,

0

−

∞

⋅

<

V

 м

2

/с распространя-

ется до изотермы с безразмерной температурой 

2

,

0

*

≈

θ

. Зависимость 

)

(

*

θ

= f

K

 при 

2

,

0

*

>

θ

 описы-

вается (5.22), а  коэффициент  K  достигает  значения 1,83 (рис. 9.12), так  как  в  этом  случае  рано  или 
поздно должен установиться стационарный режим уноса массы (при  K  меньше 1,83 уноса массы с 
поверхности материала нет, и волновое возмущение затухает). При уносе массы с поверхности мате-
риала  полуволна,  которая,  по-видимому,  появляется  вследствие  воздействия  теплового  потока,  пре-
вышающего уровень, допустимый для нагрева материала без разрушения, является одной из причин 
сокращения времени достижения стационарного уноса массы.  

Для расчета температурного поля при 

s

y

y

S

<

<

τ)

(

 можно воспользоваться (8.23). Однако, при 

s

y

y

≥

 в (8.22) необходимо учесть волновой член по аналогии с (9.26):   

(9.27)

        

          

          

,

2

erfc

))

(

(

exp

)

(

          

          

)]

(

Sin[

)

exp(

)

(

)

,

(

0

2

0

0

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

τ

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

τ

−

−

−

+

+

−

α

τ

α

−

−

+

=

τ

∞

a

y

y

S

y

a

V

T

T

y

y

a

T

T

T

y

T

s

w

s

w

 

где 

k

y

/

π

=

α

; 

τ

=

a

y

k

83

,

1

; 

0

)

(

d

V

S

−

τ

=

τ

∞

, а 

)

(

2

τ

≈ S

y

s

.  

На рис. 9.15 показано сравнение расчетного и экспериментального профилей температуры в 

образце КСК (

6

10

65

,

0

−

⋅

=

a

м

2

/с) для времени нагрева 

v

τ

>

τ

. Из рисунка видно, что расчет по (9.27) с 

учетом волнового возмущения лучше согласуется с экспериментальными данными, чем расчет по 
(8.22).  

 

 

 
Рис. 9.15. Сравнение расчетного и экс-
периментального профилей темпера-
туры в легированной КСК на 60 се-
кунде нагрева при 

3

10

02

,

0

−

∞

⋅

=

V

м/с, 

=

w

T

1350 K, a = 

6

10

65

,

0

−

⋅

м

2

/с, 

v

τ = 56 с:  

1 –  расчет по (5.5), 2 –  по (9.27) и  
3 – по (8.22) при 

s

y

y

≥

, 4 

− по (8.23) при 

s

y

y

S

<

<

τ)

(

, 5 – положение нагревае-

мой поверхности, точки – эксперимент  

 

 
Таким образом в условиях, когда подводимый тепловой поток превышает уровень, допустимый 

для нагрева материала без разрушения, по-видимому, возможно волновое возмущение температурно-
го поля. Максимальная амплитуда полуволны в рассмотренном случае не превышает 70 К и затухает 
при  увеличении  времени  нагрева.  В  то  же  время  при  уносе  массы  волновое  возмущение,  по-
видимому,  является  одной  из  причин  ускорения  выхода  на  стационарный  режим  разрушения 
поверхности материала. 

Полученные  результаты  показывают,  что  любая  диссипативная  структура,  к  которой  также 

можно отнести и прогретый слой материала, когда подводимый тепловой поток превышает значение, 
допустимое  для  нагрева  материала  без  разрушения,  переходит  в  новое 

−  динамически  устойчивое 

стационарное состояние в результате флуктуации.