Тепловое разрушение материалов - часть 41

7.2. Эффективная теплопроводность композиционных ТЗМ. Восстановление температур по измерениям  
       в одной точке образца 

 

166

 
Все  перечисленные  методы  предполагают  определение  эффективных  теплофизических  харак-

теристик, так как даже при использовании общего уравнения теплопроводности (4.2) не удается пол-
ностью исключить влияние на них условий нагрева. Поэтому все теплофизические свойства следует 
считать  эффективными  и  применимыми  в  рамках  принятой  модели.  Это  подтверждается  тем,  что 
применение  различных  моделей  приводит  не  только  к  количественному,  но  и  качественному  отли-
чию найденных значений ТФХ. 
 

Коэффициент  теплопроводности 

λ   композиционных  материалов  достаточно  сильно  зависит  

от темпа нагрева. Причем при увеличении темпа нагрева, несмотря на то, что температура поверхно-
сти, как правило, возрастает, он может как уменьшаться, так и увеличиваться [236]. В работах [273, 
274]  указывается  на  зависимость  коэффициента 

λ   от  вида  нагрева  (лучистого  или  конвективного) 

даже при одинаковых уровнях подводимого теплового потока. Отмечается сильная зависимость теп-
лофизических характеристик и от других факторов, таких как время нагрева, место установки термо-
пар [236]. 

Характерной особенностью ОКЗТ, наиболее часто применяемых для определения эффективной 

теплопроводности  ТЗМ,  является  некорректность  исходной  постановки,  связанная  с  возможной  не-
однородностью  и  неустойчивостью  их  решения.  Это,  кроме  применения  специальных  математиче-
ских методов, требует оптимального планирования и должной технической организации эксперимен-
тальных  исследований.  Оптимизация  расположения  датчиков  температуры  и  их  количества  также 
представляет собой сложную и важную задачу. 

В работе [275] на примере двух температурных полей наглядно показано, что отсутствие одно-

го датчика из пяти в зоне наиболее оптимального расположения термопары приводит к неоднознач-
ному решению задачи, т. е. получению нескольких зависимостей 

)

(

T

λ

, удовлетворяющих одному и 

тому  же  температурному  полю.  Поэтому  физическому  эксперименту  должно  предшествовать  мате-
матическое  моделирование  по  определению  оптимального  расположения  датчиков  температуры  на 
основе априорной информации [276, 277]. 

Предлагаемый  нами  метод  позволяет  избежать  трудоемких  расчетов  на  стадии  планирования 

эксперимента  и  проводить  предварительную  обработку  экспериментальных  температурных  полей  в 
случаях, когда они удовлетворяют закономерности 

)

(

*

τ

=

∆

f

 (см. разд. 5.1, 5.2). Однако при пере-

менных теплофизических коэффициентах тангенс угла наклона зависимости пути, пройденного изо-
термой 

*

T ,  от 

τ   не  может  быть  представлен  как  произведение 

a

K

,  поскольку  коэффициент 

a, 

непосредственно  определяющий  положение  любой  изотермы  внутри  материала  в  уравнении (5.7), 
должен учитывать не только абсолютное значение эффективной теплопроводности, но также темп ее 
изменения с температурой 

− 

T

/

∂

λ

∂

. Действительно, численные расчеты для 20 различных законов 

изменения 

)

(

T

λ

 (

c

ρ  принималось равным 1800 кДж/(м·К)) при постоянной температуре поверхно-

сти  подтверждают  линейный  характер  зависимости 

τ

= f

y

,  но  показывают,  что  значения 

)

(

T

a

  и 

)

(

*

T

a

, если температурный коэффициент 

K  определять по уравнению (5.5), отличаются тем больше, 

чем сильнее зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, например, (рис. 7.6). 
 

 

 
 
 
Рис. 7.6. Зависимость коэффициента 

)

(

*

T

a

 для 

различных законов изменения температуро-
проводности 

)

(T

a

 при 

c

ρ

 = 1800 кДж/(м·К): 

1

−4 − варианты расчета

 

Глава 7. Температурные поля вблизи разрушающейся поверхности материала 

 

167

Рассмотрим,  в  какой  степени  внешние  условия  (температура  поверхности  и  скорость  уноса) 

влияют  на  коэффициент 

a,  на  примере  стеклопластика  ТЗМКТ-8.  На  рис. 7.7 показана  зависимость 

глубины прококсованного слоя (

≈

*

T

870 К [278]) стеклопластика ТЗМКТ-8 от скорости уноса в ква-

зистационарном режиме прогрева. Видно, что во всем диапазоне рассмотренных скоростей разруше-
ния экспериментальные значения глубины прококсованного слоя хорошо согласуются с расчетами по 
формуле: 

(7.5)

   

          

          

          

          

          

          

ln

0

*

0

T

T

T

T

T

V

a

w

−

−

=

δ

∞

 

при 

a = 0,25·10

-6

 м

2

/с, т. е. коэффициент температуропроводности 

a слабо зависит от скорости уноса. 

Необходимо  отметить,  что  в  этих  экспериментах  температура  поверхности  образцов  находилась  в 
пределах 2600

−2700 К. В то же время, поскольку a зависит от 

T

/

∂

λ

∂

, величина 

w

T  оказывает на него 

существенное влияние (рис. 7.8). 

 

 

 
 
 
Рис. 7.7.

 

Зависимость глубины прококсо-

ванного слоя cтеклопластика ТЗМКТ-8  
от скорости разрушения поверхности 
(

w

T

= 2600

−2700 К): 1 − расчет по (7.5); при 

6

10

25

0

−

⋅

= ,

a

 м

2

 /с; точки 

− эксперимент

 

 

Такой вывод не позволяет использовать зависимости 

)

(

*

T

a

 для расчетов температурных полей 

при других граничных условиях. Вместе с тем предварительная обработка экспериментальных дан-
ных с помощью коэффициента 

)

(

*

T

a

 для восстановления температурных полей позволяет получить 

зависимость 

)

(

T

λ

  даже  в  тех  случаях,  когда  исходная  информация  не  удовлетворяет  требованиям 

ОКЗТ. Поскольку коэффициент 

)

(

*

T

a

 определяет положение изотермы 

*

T  в заданный момент вре-

мени, то он суммирует и осредняет действие всех процессов, протекающих в слое материала, ограни-
ченного снизу температурой 

*

T . 

Использование закономерности распространения изотерм в твердом теле 

)

(

*

τ

=

∆

f

 дает воз-

можность определить  значение температуры в любой момент времени  и любой точке пространства  
по температурной кривой, полученной лишь в одной точке образца, и использовать его для восста-
новления 

)

(

T

λ

  путем  решения  ОКЗТ.  При  этом  существенно  снижается  влияние  многочисленных 

погрешностей,  связанных  с  измерением  температуры  в  образцах  композиционных  материалов,  по-
скольку локальные возмущения температуры, учитывая практически линейный характер зависимости 

)

(

*

τ

=

∆

f

, могут быть сглажены методом наименьших квадратов. 

Для восстановления температурных полей при зависимости 

λ  от температуры можно исполь-

зовать некоторый коэффициент 

*

*

)

(

a

K

T

K

=

, характеризующий угол наклона прямых 

)

(

*

τ

=

∆

f

, 

не выделяя a

*

.  

 

7.2. Эффективная теплопроводность композиционных ТЗМ. Восстановление температур по измерениям  
       в одной точке образца 

 

168

 
На рис. 7.9 сравниваются температурные поля, рассчитанные по уравнению теплопроводности 

( )

(7.6)

        

          

          

          

          

          

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

∂

λ

∂

∂

=

∂

∂

ρ

y

T

T

y

y

T

c

 

и закономерности 

τ

=

)

(

*

T

K

y

 при 

w

T  = const для зависимости 

)

(T

λ

 стеклопластика ТЗМКТ-8. Эти 

поля хорошо совпадают во всем рассмотренном диапазоне. Однако аналогичные расчеты для других 
законов изменения 

)

(

τ

= f

T

w

 при переменном 

)

(T

λ

 уже не согласуются. 

Следовательно,  закономерность  теплового  режима  в  твердом  теле (5.7) для  восстановления 

температур внутри тела надо применять при 

w

T  = сonst, что, как правило, реализуется при уносе мас-

сы с поверхности ТЗМ при постоянном тепловом воздействии. 

 

 

 

 

Рис. 7.8. Зависимость коэффициента 

)

(

*

T

a

 и 

эффективной температуропроводности 

)

(T

a

 для 

стеклопластика TЗМКT-8 от температуры: 1 

− 

)

(T

a

; 2, 3 

− 

)

(

*

T

a

; 2 

− при 

w

T

 = 2100 К; 3 

− при 

w

T

= 2700 К 

Рис. 7.9. Расчеты температурного поля при 

=

w

T

const (2500 K) для зависимости 

)

(T

a

 стек-

лопластика ТЗМКТ-8 (рис. 7.8): 1 – расчет по 
уравнению теплопроводности (7.6); 2 

− расчет по 

закономерности 

τ

)

(

*

T

K

; 3–6 – расстояние от 

поверхности нагрева (1,5; 2,5; 4,0; 6,0) 

⋅10

-3 

м  

 

Эксперименты  проводились  на  образцах  стекло-

пластика  в  условиях  стенда  ВПС-1000Л/В.  Для  опреде-
ления 

)

(

*

T

a

  по  предлагаемому  методу  достаточно  од-

ной термопары. Однако, с целью исключения случайных 
погрешностей, было изготовлено по 4

−5 образцов одной 

рецептуры. Поэтому зависимости 

)

(

*

τ

=

∆

f

 строились 

по  данным  измерений,  полученным  с  помощью  одной 
термопары  в 5-ти  образцах,  испытанных  на  одном  ре-
жиме.  Координата  установки  термопар  x  изменялась  в 
пределах (2

−10)·10

-3

 м (рис. 7.10).  

Находились значения коэффициента 

)

(

*

T

a

, по ко-

торым при тех же условиях по уравнению (5.7) рассчи-
тывалось температурное поле. При таком подходе появ-
ляется возможность перейти к некоторой условной пла-
стине  с  граничными  условиями  первого  рода  и  восста-
новить  коэффициент  a(T)  или 

λ (T) ( c

ρ   принималось 

постоянным) c помощью  ОКЗТ,  используя  в  качестве 
«экспериментальной»  кривой  температурную  зависи-

мость в центральной точке пластины [279]. 

 

 
Рис. 7.10. Схема установки термопары 
в образцах стеклопластиков (все дета-
ли модели изготавливаются из мате-
риала образца) 

Глава 7. Температурные поля вблизи разрушающейся поверхности материала 

 

169

На рис. 7.11 (кривая 1) показана зависимость коэффициента 

)

(T

λ

 для стеклопластика ТЗМКТ-

8,  восстановленная  до  температур  поверхности,  превышающих 2500 К,  в  условиях  конвективного 
нагрева. Сравнение рассчитанных по найденной зависимости 

)

(T

λ

 температурных полей с экспери-

ментальными  данными,  полученными  в  условиях  радиационного  нагрева  на  установке  СГУ-6 (

к

q

=

 

500 кВт/м

2

) при температуре поверхности 1500 К (рис. 7.12), в данном случае показывает удовлетво-

рительное совпадение (расхождение не превышает 10%). Температурные зависимости снимались в 4-
х точках образца, показания первой и четвертой термопар при расчете по уравнению (7.6) использо-
вались  в  качестве  граничных  условий.  Следовательно,  восстановленная  по  предложенному  методу 
зависимость 

)

(T

λ

, может быть использована для расчета температурных полей в достаточно широ-

ком диапазоне условий нагрева. 

 

 

 

 

Рис. 7.11. Зависимость  эффективной  теплопро-
водности стеклопластиков от температуры:  
1 

− ТЗМКТ-8; 2 − ТЗМКТ-1 + 20% ЭДТ; 3 − ТЗМКТ-

1 + 10% ЭДТ (стенд ВПС-1000Л/В, 

к

q

= 3350кВт/м

2

) 

 

Рис. 7.12.

 

Сравнение экспериментальных темпера-

тур  в  образце  стеклопластика  ТЗМКТ-8,  получен-
ных при радиационном нагреве (

л

q

= 500 кВт/м

2

), с 

расчетом: 1 

− эксперимент [280]; 2 − расчет для 

)

(T

λ

, 

приведенной на рис. 7.11 (кривая 1); 3, 4 

− расстояние 

от нагреваемой поверхности (3,5; 4,6)

⋅10

-3

 м 

 

С целью определения влияния содержания связующего на эффективную теплопроводность ма-

териала в одних тех же условиях (

к

q = 3350 кВт/м

2

) были испытаны стеклопластики ТЗМКТ-1 с до-

бавлением эпоксидной смолы 10 и 20% (ТЗМКТ-1 + 10% ЭДТ, ТЗМКТ-1 + 20% ЭДТ), а также стек-
лопластик ТЗМКТ-8, в котором содержание эпоксидной смолы составляло 43%. Скорость уноса из-
менялась от 0,1·10

-3

м 

− для ТЗМКТ- 1 + 10%ЭДТ до 0,16·10

-3

 м 

−

 для ТЗМКТ-8. Температура поверх-

ности  находилась  в  пределах 2600

−2730  К.  На  рис. 7.11 видно,  что  количество  эпоксидной  смолы, 

оказывает заметное влияние на 

)

(T

λ

. При высоких температурах теплопроводность при повышении 

содержания  эпоксидной  смолы  снижается,  что,  по-видимому,  связано  с  уменьшением  содержания 
углерода в материале.  

Следует отметить, что при отсутствии надежной информации о зависимости 

)

(T

c

ρ

 для опреде-

ления  эффективной  теплопроводности  достаточно  использовать  постоянное  значение,  взятое  при  
комнатной температуре. В принципе при тех же граничных условиях возможно независимое опреде-
ление теплоемкости и теплопроводности, если в процессе эксперимента, помимо регистрации темпе-
ратуры в какой-либо точке образца, регистрируется также тепловой поток в этой точке [281]. 

Поскольку  при  определении  коэффициента 

)

(

*

T

a

,  удовлетворяющего  закономерности (5.7), 

граничным условием является температура поверхности (при определении 

*

θ  используется значение 

w

T ),  то,  добившись  согласования  расчетных  и  экспериментальных  температурных  полей  в  области 

измерения температур, можно восстановить температуропроводность даже в другом температурном 
диапазоне.