Тепловое разрушение материалов - часть 39

6.6. Методы определения квазистационарной скорости уноса ТЗМ и времени ее установления

 

 

158

 

[

]

(6.34)

 

          

          

          

          

          

          

,

)

(

)

(

2

экс

у

∑

τ

≈

τ

τ

≈

τ

τ

−

τ

=

v

S

S

F

 

где 

)

(

τ

S

 вычисляется по формуле (6.7) и зависит от времени 

τ  и трех неизвестных параметров 

3

2

1

 

и

 

 ,

x

x

x

  

(6.35)

      

          

          

          

          

          

,

)

,

(

3

2

1

2

1

x

x

x

x

x

S

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

τ

=

τ

 

где 

экс

3

2

у

1

)

(

  

;

)

(

  

;

  

;

τ

τ

−

τ

−

τ

−

S

S

x

x

x

v

v

 

− массив экспериментальных значений. 

Решается задача оптимизации функционала суммы среднеквадратичных отклонений: 

(6.36)

       

          

          

min       

  

)

(

2

3

2

1

2

1

экс

у

→

⎥

⎥
⎦

⎤

⎢

⎢
⎣

⎡

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

−

τ

−

τ

=

∑

τ

≈

τ

τ

≈

τ

v

x

x

x

x

S

F

 

при ограничениях на область допустимых значений 

3

 ,

2

1

 ,

x

x

x

 

)

(

i

i

i

b

x

a

≤

≤

 методом модифицирован-

ного  случайного  поиска  с  алгоритмом  покоординатного  самообучения  с  заданным  законом  измене-
ния вероятностей [251]. Параметры 

i

a  и 

i

b  (i = 1

−3 − нижняя и верхняя границы изменения перемен-

ной 

i

x ) определяются ориентировочно по ожидаемым значениям 

i

x  с добавлением некоторой вели-

чины 

∆ . 

После определения в конце нестационарного периода 

)

(

v

S

τ  и 

v

τ  параметр 

0

d  и скорость уноса 

∞

V  находятся по формулам (6.31) и (6.32). 

 
Таблица 6.7 

− Результаты определения скорости уноса 

∞

V  и параметра 

0

d  в нестационарном и 

квазистационарном режимах разрушения 

(1 

− по установившимся зависимостям 

)

(

τ

S

; 2 – по нестационарным, с помощью формул (6.7), (6.31), (6.32)) 

 

3

10

⋅

∞

V

, м/с 

 

3

0

10

⋅

d

, м 

 

№ 

п/п 

 

,

10

5

−

⋅

e

P

Па 

 

e

I , 

кДж/кг 

 

у

τ , с 

 

 

v

τ , с 

 

3

10

)

(

⋅

τ

v

S

,  

м 

1 2 1 2 

 

1 
2 
3 

 

0,13 
0,13 
0,13 

 

20 000 
20 000 
20 000 

 

2,54 
2,51 

2,0 

 

27,8 
22,6 
14,5 

 

5,64 
5,16 
4,97 

 

0,31 
0,37 
0,55 

 

0,31 
0,35 
0,53 

 

2,9 
3,1 

2,85 

 

3,09 
2,83 
2,72 

 

4 

5

*) 

6 

 

0,13 
0,13 

1,0 

 

18 820 
18 820 
18 820 

 

2,83 
2,69 
0,92 

 

27,5 
26,6 
19,4 

 

5,8 

2,79 
2,86 

 

0,31 
0,15 
0,21 

 

0,33 
0,16 
0,23 

 

2,8 

1,34 
1,35 

 

3,18 
1,53 
1,57 

*)

непрозрачное кварцевое стекло; 1

−3 − расчетные режимы [2], отличаются значением вязкости квар-

цевого стекла; 4, 5 

− эксперимент [129]; 6 − эксперимент [250]. 

Апробация метода проводилась по расчетным и экспериментальным зависимостям 

)

(

τ

S

, полу-

ченным для кварцевого стекла в работах [2, 129, 250]. Результаты, приведенные в табл. 6.7, показы-
вают,  что  значения  скорости  уноса 

∞

V

  и  параметра 

0

d ,  определенные  по  расчетным  зависимостям 

линейного уноса в нестационарном периоде (

v

τ

<

τ

), отличаются от найденных в квазистационарном 

режиме разрушения не более чем на 5

−10%. Использование экспериментальных кривых 

)

(

τ

S

 в рас-

смотренных случаях увеличивает эти ошибки почти в 2 раза [252]. 

 
 

Глава 6. Установление стационарного режима уноса массы теплозащитных материалов  

 

159

У. – Мне кажется, пора делать какие-то выводы. Иначе мы так и будем бесконечно приближаться к асимптоте. 
По-моему модель оплавления кварцевого стекла с учетом вязкости требует бесконечного времени для достиже-
ния стационарного режима уноса массы только потому, что не учитывает обнаруженную закономерность нако-
пления тепла в поверхностном слое материала.  

 

К. – Конечно! Экспериментальные температурные поля, измеренные в образцах материалов различных классов, 
достаточно надежно обосновывают существование некоторого энергетического параметра, который мы решили 
назвать константой теплового разрушения. В то же время выбор момента завершения нестационарного режима 
по  зависимостям  скорости  уноса  массы  с  поверхности  материала  вызывает  необходимость  введения  степени 
приближения 

ε

∆

. Я не думаю, что ты скоро спустишься на землю. 

 

У. – Ладно! Все-таки, давай подведем какие-то итоги. Мы установили, что, поскольку константа теплового раз-

рушения определяет законы изменения температуры поверхности, скорости уноса массы и перемещения высо-
котемпературных изотерм в нестационарном режиме, то, скорее всего, она и является энергетическим парамет-
ром, определяющим количество тепла, которое должно быть накоплено в поверхностных слоях материала для 
перехода  из  нестационарного  режима  уноса  массы  в  стационарный.  Имея  в своем  распоряжении  константу  и 
параметр  нестационарного  уноса,  мы можем  четко  идентифицировать  границу  между  нестационарным  и  ста-
ционарным режимами разрушения и, следовательно, исключить неопределенность, связанную с применением 

ε

∆

.  

 
К. – Я понимаю твое желание поскорее оказаться на земле, но чего-то тут еще не хватает. Вот, если бы мы мог-
ли наглядно показать, что происходит в поверхностном слое при уносе массы, тогда и вопросов было бы мень-
ше. С задачей разделения нестационарного и стационарного режимов мы, вроде бы, справились, а вот рассчи-
тывать нестационарный режим еще не научились. Кроме того, не забывай о переменном тепловом воздействии, 
которое обязательно имеет место на любой траектории полета. Ведь канатная дорога при сильной болтанке мо-
жет и оборваться. 

 

 

 

 

 

Глава 7 
 

ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ ВБЛИЗИ РАЗРУШАЮЩЕЙСЯ  

ПОВЕРХНОСТИ МАТЕРИАЛА

 

__________________________________________________________________ 

 

 

7.1. Эффективная энтальпия и метод расчета нестационарного уноса  

массы при минимальных сведениях о свойствах материала 

 

 

Как было показано в разд. 4.7 эффективная энтальпия материала позволяет вычислить скорость 

уноса массы без детального анализа механизмов его разрушения. Кроме формул (4.29)–(4.31) для оп-
ределения эффективной энтальпии при сравнительно коротком нестационарном периоде применяют 
формулу:

   

(7.1)

         

          

          

          

          

          

, 

)

(

4

0

эфф

G

F

T

q

I

w

∆

τ

εσ

−

=

 

где 

ε − степень черноты (в формуле  ε  принята равной коэффициенту поглощения k), F − площадь 

поверхности образца, 

∆G − потеря массы за время τ. Таким образом, фактически I

эфф

 определяют по 

взвешиванию, не учитывая нестационарного периода уноса массы.  

Предлагаемый метод определения I

эфф

 также позволяет находить ее значение по взвешиванию 

образцов,  однако  уже  с  учетом  нестационарного  периода  уноса.  Метод  основывается  на  формуле 
(7.1) и предварительной оценке толщины слоя материала, который должен быть унесен с поверхно-
сти за весь период нагрева. Эта оценка проводится с помощью параметра нестационарного уноса 

0

d , 

зависящего только от теплопроводности разрушающегося слоя материала. При этом толщина уноси-
мого  слоя  и  время  установления  квазистационарной  скорости  уноса  определяются  по  формулам 
(6.31) и (6.32). 

Из условия (6.33) видно

, 

что 

∞

≈

V

V

65

,

0

ср

, т. е. средняя скорость уноса на нестационарном уча-

стке может отличаться от скорости квазистационарного разрушения не более чем в 2 раза. Поэтому 
при времени нагрева 

τ ≈ τ

v

 

ошибка в определении скорости квазистацинарного разрушения по взве-

шиванию  образцов  за  счет  переходного  периода  будет ~50%. На  практике  достаточно  эту  ошибку 
уменьшить до 10%, что может быть доcтигнуто увеличением времени нагрева. Поскольку линейный 
унос  в  момент  времени 

τ

v

  определяется  соотношением 

0

83

,

1

)

(

d

S

v

≈

τ

 (6.32), то  потеря  веса  за  весь 

период нагрева должна удовлетворять условию  

(7.2)

 

          

          

          

          

          

          

          

.

10

0

Fd

G

ρ

>

∆

 

Значение параметра d

0

 для основных классов ТЗМ приведено в табл. 6.5. 

При  сравнительно  невысокой  или  кратковременной  тепловой  нагрузке  период  нагрева  может 

оказаться недостаточным для достижения 

∞

V

, или нестационарный режим уноса составит значитель-

ную его часть. В таких условиях применение эффективной энтальпии для расчета линейного уноса по 
формуле (4.4) (см. разд. 4.2) может привести к большим ошибкам. 

В разделе 6.5 были получены соотношения для расчета временя установления квазистационар-

ной скорости уноса 

τ

v

 и линейного уноса в этот момент времени S(

τ

v

) с помощью константы разру-

шения K

Тр

 и параметра нестационарного уноса массы d

0

. 

В то же время в разд. 6.1 на основании обобщения результатов численных расчетов и экспери-

ментальных  данных  было  предложено  уравнение,  позволяющее  рассчитать  линейный  унос  в  неста-
ционарном режиме разрушения поверхности материала 

.

)

(

)

(

2

у

у

⎥

⎥
⎦

⎤

⎢

⎢
⎣

⎡

τ

−

τ

τ

−

τ

=

τ

τ

v

v

S

S

 

 
 

Глава 7. Температурные поля вблизи разрушающейся поверхности материала 

 

161

 
В  этом  уравнении  S(

τ

v

)  и 

τ

v

  должны  находиться  по  формулам (6.31) и (6.32). Поскольку  на 

практике можно принять 

р

у

τ

≈

τ

, то для определения времени начала уноса

   

можно применить фор-

мулу (5.19) (см. разд. 5.3). Однако в этом случае необходимо знать температуру начала уноса и теп-
лофизические  свойства  материала  до  этой  температуры,  которые  обычно  неизвестны.  Поэтому  для 
инженерных расчетов можно использовать результаты, полученные в разд. 5.3, из которых следует, 
что диапазон изменения тепловой эффективности материала (число 

Q

T

T

c

m

∆

−

=

/

)

(

0

p

) на практике 

можно ограничить пределами 0,5 < m < 3. В этом диапазоне отношение 

у

/

τ

τ

v

 

меняется всего в два 

раза, и его среднее значение равно 8, что согласуется с формулами (6.28) и (6.29). 

На рис. 7.1 показаны результаты численных расчетов по системе дифференциальных уравнений 

(6.1)

−(6.4) (варианты 28−30,  табл. 6.4), которые  практически  полностью  совпадают  с  расчетом  по 

формуле (6.7), если  для  определения  S(

τ

v

)  и 

τ

v

  использовать  уравнения (6.31) и (6.32). Несмотря  на 

сложный характер изменения эффективного коэффициента теплопроводности кварцевого стекла при 
высоких температурах, экспериментальные зависимости линейного уноса для этого материала также 
хорошо  согласуются  с  расчетом  по  предложенным  уравнениям  и  соответствующему  параметру  d

0

 

(табл. 6.4, режим 29) поскольку он интегрирует все нестационарные процессы, происходящие в по-
верхностном слое разрушающегося материала (cм. рис. 6.14, кривая 3). 

 

 

 
 
Рис. 7.1. Зависимость линейного уноса 
кварцевого стекла (

λ = 10.4 Вт/(м⋅К)) от 

времени нагрева (Р

е

 = 0,13

⋅10

5

 Па, I

e

 = 

20000 кДж/кг): 1

−3 – расчет по модели оп-

лавления кварцевого стекла (6.1)

−(6.4) [2] 

при различных законах изменения его вяз-
кости (формулы (6.22)

−(6.24)) и выраже-

нию (6.7); 4 – эксперимент [129]; пунктир-
ные линии – стационарный режим уноса 
массы 

 

 
Уравнения (6.7), (6.31), (6.32) и параметр d

0

 установлены при воздействии постоянной тепловой 

нагрузки. Однако это не исключает их применения и в случае переменного теплового потока (напри-
мер, рис. 7.2), если, как и при использовании формулы (4.4), реальную кривую q

0

(

τ) заменить аппрок-

симирующей ступенчатой зависимостью [253]. Тогда для каждой k-й ступени, используя эффектив-
ную энтальпию и установившееся значение температуры поверхности, можно рассчитать стационар-
ную скорость и определить значения 

k

у

τ  и 

k

v

τ , необходимые для расчета по формуле (6.7). Уравне-

ние для расчета линейного уноса на k-м участка нагрева, когда унос за время 

k

τ  (в конце k-й ступени 

нагрева) 

2

0

р

/

)

(

)

(

T

v

k

K

d

S

S

=

τ

<

τ

, имеет вид  

(7.3)

          

          

. 

  

);

(

)

(

1

2

)

τ

S(

 )

S(

y

y

 

k

k

v

v

k

k

S

S

v

k

k

k

τ

≤

τ

<

τ

τ

⋅

⎥

⎥
⎦

⎤

⎢

⎢
⎣

⎡

τ

−

τ

τ

−

τ

∆

−

τ

=

τ

−

<

τ