Тепловое разрушение материалов - часть 40

7.1. Эффективная энтальпия и метод расчета нестационарного уноса массы при минимальных  
       сведениях о свойствах материала 

 

162

 

Здесь 

(

)

 

)

(

)

(

2

y

y

1

1

-

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

τ

+

τ

−

τ

τ

τ

−

τ

=

τ

∆

−

k

k

k

v

v

k

k

k

S

S

 

− поправка на текущее время нагрева 

τ  на k-м 

участке, учитывающая унесенный слой за период времени 

1

у

1

τ

−

τ

−

k

. Для первого участка нагрева 

0

1

=

τ

∆

. При 

)

(

)

(

v

S

S

τ

≥

τ

 расчет ведется по известной формуле: 

)

S(τ

 )

S(

1

i

)

(

v

i

n

i

V

S

≥

τ

=

∞

∑

τ

∆

=

τ

. 

На рис. 7.3 линейный унос кварцевой стеклокерамики, рассчитанный по (7.3), сравнивается с 

численным расчетом по уравнению теплопроводности, которое при постоянных теплофизических 
свойствах записанное в подвижных координатах имеет вид  

(7.4)

   

          

          

          

          

          

. 

2

2

y

T

cV

y

T

T

c

′

∂

∂

ρ

+

′

∂

∂

λ

=

τ

∂

∂

ρ

∞

 

 
 
 
Рис. 7.2.

 

Зависимость  теплового  потока  и 

температуры  поверхности  от  времени  на-
грева: 1 

−  тепловой  поток  q(τ); 2 −  ступен-

чатая аппроксимация q(

τ); 3 − расчет T

w 

при 

непрерывном  изменении  q(

τ); 4 −  устано-

вившиеся  значения  T

w 

для  каждой  ступени 

изменения q(

τ) 

 

 

 
 

 

 
 
 
Рис. 7.3. Зависимость линейного уноса S(

τ) 

и скорости V

∞

 от времени нагрева:  

1–6 линейный унос; 7, 8 – скорость уноса;  
1 – расчет по (7.3) с помощью параметра d

0

 

при пятиступенчатом делении на временные 
интервалы; 2–6, 8 – расчет по (7.4); 2 – не-
прерывное изменение q(

τ); 3–6 – девяти, пя-

ти, трех и одноступенчатая аппроксимация 
q(

τ); 7 – стационарная скорость уноса, расчет 

по (4.28) 

 

Глава 7. Температурные поля вблизи разрушающейся поверхности материала 

 

163

 
В этом уравнении скорость уноса определяется из уравнения баланса тепла на разрушающейся 

поверхности материала и равна  

[

]

.

)

(

Г

0

4

0

w

e

w

y

w

I

I

Q

y

T

T

q

V

−

γ

+

∆

ρ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

′

∂

∂

λ

−

εσ

−

=

=

′

∞

 

 
Численные расчеты выполнены при следующих начальных и граничных условиях:  

 

       

0

4

     

  

и

   

0

  

при

  

3)

);

,

(

)

/

(

,

)

(

)

/

(

0

   

и

     

0

 

при

  

2)

0;

        

const,

)

(

      

0

 

при

  

1)

0

T

T

y

P

T

f

c

G

I

I

c

T

Q

G

y

T

y

V

T

y

T

e

w

w

p

w

w

e

w

p

w

w

w

w

→

∞

→

>

τ

α

=

−

α

=

εσ

+

∆

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

′

∂

∂

λ

=

′

>

τ

=

=

=

′

=

τ

∞

 

В расчетах принималось, что на образец из кварцевой стеклокерамики (

λ = 2,1 Вт/(м⋅K),  

с

р

 

= 1,26 кДж/(кг

⋅K), ρ = 2000 кг/м

3

, 

∆Q

w

 = 11 000 кДж/кг; коэффициент газификации Г = 0,6) в тече-

ние 30 с воздействует тепловой поток, который изменяется по закону, приведенному на рис. 7.2, при 
постоянном значении энтальпии торможения 10 000 кДж/кг. Параметр нестационарного уноса d

0

 при  

λ = 2,1 Вт/(м⋅K) согласно табл. 6.4 принят равным 1⋅10

-3 

м.  Зависимость  скорости  испарения  G

w

  от 

температуры поверхности и давления торможения взята из работы [2]. 

Если не учитывать нестационарный характер уноса и определить его по среднему значению 

∞

V  

за весь период нагрева, равному ~ 0,1

⋅10

-3

 м/с, то он на 50% будет выше действительной величины. 

Расчет по (7.4) с учетом ступенчатого и непрерывного изменения q(

τ) (рис. 7.3, кривые 2−6) по-

казал,  что  для  практики  допустимо  достаточно  грубое  деление  на  временные  интервалы.  Даже  при 
делении зависимости q(

τ) всего лишь на пять постоянных интервалов максимальное отличие линей-

ного уноса от расчета при непрерывном изменении q(

τ) не превышает 10%.  

Используя  уравнения (7.4) проведем  расчетную  оценку  влияния  законов  изменения  скорости 

уноса (6.8) и температуры поверхности (6.13) на закономерность перемещения изотерм в твердом те-
ле (

τ

=

∆

f

*

). С этой целью рассмотрим результаты расчета температурного поля при постоянном 

значении 

6

10

65

,

0

−

⋅

=

a

м/с для 3-х вариантов граничных условий: 

1 

− 

w

T  = const, 

∞

V  = 0; 

2 

− 

)

(

τ

= f

T

w

 (от 

0

T  до 

р

T  по закону 

τ

= d

T

w

; от 

p

T  до 

w

T  по закону (6.13), при 

T

τ

>

τ

 

      

w

T  = const), 

∞

V  = 0; 

3 

− 

)

(

τ

= f

T

w

 (от 

0

T  до 

р

T  по закону 

τ

= d

T

w

; от 

p

T  до 

w

T  по закону (6.13), при 

T

τ

>

τ

  

      

w

T  = const; при 

v

τ

≤

τ

<

τ

у

 

)

(

τ

∞

V

 изменяется по закону (6.8). 

При расчетах принималось 

p

T  = 2000 К, 

w

T  = 2600 К, 

=

∞

V

 0,1·10

-3

 м/с, а времена 

v

τ

τ

τ

τ

 

и

 

 ,

 ,

у

T

p

 

определялись по соответствующим формулам. Результаты расчетов, обработанные в виде 

τ

=

∆

f

*

 

для 

θ

*

= 0,3 и  представленные  на  рис. 7.4, показывают,  что  в  первом  случае  линейная  зависимость 

начинается  в  начале  координат,  и  тангенс  угла  наклона  прямой  к  оси  абсцисс  равен 

a

K

,  где  K  

определяется уравнением (5.5).  

Во втором случае, когда 

w

T  изменяется в диапазоне времени от 

р

τ  до 

T

τ  по закону (6.13), про-

исходит смещение прямой 

τ

=

∆

f

*

 относительно начала координат на величину ~

c

25

,

0

. Наконец, 

в  третьем  случае 

− через некоторый  промежуток времени, прямая меняет свой угол наклона таким 

образом, что ее начало на оси абсцисс смещается ~

c

1

. 

 

7.1. Эффективная энтальпия и метод расчета нестационарного уноса массы при минимальных  
       сведениях о свойствах материала 

 

164

 
На рис. 7.5 видно, что для глубинных изотерм (

*

θ = 0,05) изменение скорости уноса на порядок 

(0,02

−0,21)⋅10

-3

 м/с слабо влияет на угол наклона прямой к оси абсцисс. То же самое характерно и для 

первого участка пути, пройденного изотермами с более высокой температурой, (

*

θ = 0,3, рис. 7.5). 

Хотя расчеты по уравнению (7.4) согласуются с экспериментом только до 

≤

θ

*

 0,3 (рис. 7.5), 

они подтверждают экспериментальные данные, приведенные на рис. 5.13, 5.14, и говорят о том, что 
смещение прямых 

τ

=

∆

f

*

по оси абсцисс на величину ~ 

c

1  является следствием изменения ско-

рости уноса и температуры поверхности по законам (6.8) и (6.13). 

 

 

 

 
 
 
Рис. 7.4. Влияние граничных условий на 
характер перемещения изотермы 

*

θ

= 0,3: 

1

− расчет при 

w

T

 = 

const,

 

∞

V

 = 0;

 2 

− при 

)

(

τ

= f

T

w

, 

∞

V

 = 0; 3 

−

 

при 

)

(

τ

= f

T

w

 (

w

T

 =  

2600 К; 

3

10

1

,

0

−

∞

⋅

=

V

 м/с; 

6

10

65

,

0

−

⋅

=

a

 м

2

/с)

 

 

 
 
Рис. 7.5. Расчетная зависимость суммар-
ной толщины прогретого и унесенного 
слоев от 

τ

 при 

6

10

65

,

0

−

⋅

=

a

 м

2

/с:  

1

−4 − скорость уноса 

∞

V

 = (0,02; 0,1; 0,18 и 

0,21)

⋅10

-3

 м/с; линии 

− аппроксимация

 

 

Глава 7. Температурные поля вблизи разрушающейся поверхности материала 

 

165

 
 

7.2. Эффективная теплопроводность композиционных ТЗМ. Восстановление  

температур по измерениям в одной точке образца 

 

Расчетные соотношения, полученные в главах 5 и 6, значительно упрощают определение тол-

щин прогретого и унесенного слоев ТЗМ. Однако это не исключает необходимость определения теп-
лофизических характеристик, без которых невозможен расчет температуры поверхности и темпера-
турных полей внутри материала. Поэтому определение теплофизических  характеристик (ТФХ)  теп-
лозащитных материалов во всем температурном диапазоне их работы было и остается одной из са-
мых важных и, пожалуй, сложных задач исследования ТЗМ. 

Практически все разработанные методы определения тепло- и температуропроводности требу-

ют измерения температурных полей, и получаемые значения ТФХ сильно зависят от точности этой 
исходной информации.  

Исходя из основного назначения теплозащитных покрытий, следует считать, что их теплоизо-

ляционные  способности,  в  конечном  счете,  определяются  положением  нижней  границы  прогретого 
слоя в конце эксплуатационного периода. 

При расчете толщины прогретого слоя материала, разрушающегося в условиях высокотемпера-

турного  нагрева,  необходимо  знать  его  теплофизические  характеристики,  определенные  при  одно-
стороннем нагреве. В таких условиях выход газообразных продуктов органического связующего воз-
можен  лишь  навстречу  тепловому  потоку  с  преодолением  гидродинамического  сопротивления  про-
коксованного  слоя.  Это  приводит  к  тому,  что  теплофизические  свойства  материала,  полученные  в  
условиях  равномерного  и  одностороннего  нагрева,  значительно  отличаются  не  только  внутри  зоны 
разложения органической составляющей, но более широком температурном интервале [139]. 

Достаточно  подробный  обзор  существующих  методов  определения  теплофизических  характе-

ристик представлен в работах [140, 141, 254

−259]. Однако не все из них могут быть применены в ус-

ловиях  интенсивного  одностороннего  нагрева  композиционных  ТЗМ,  когда  разрушение  материала 
сопровождается  наличием  двух  фронтов:  поверхностного,  определяющего  линейный  унос,  и  внут-
реннего, задающего глубину прогретого слоя. 

В  нестационарном  периоде  одностороннего  нагрева  теплозащитных  материалов  находят  при-

менение  методы,  основанные  на  решении  обратных  коэффициентных  задач  теплопроводности 
(ОКЗТ), например, [236, 260

−264]. Методы, основанные на закономерностях переноса тепла в квази-

стационарном режиме, предложены в работах [254, 265

−267]. По методу работы [265] в ходе испыта-

ния получают временную зависимость температуры для одной из точек внутри материала, которую 
затем  обрабатывают  в  полулогарифмических  координатах  (логарифм  температура-время).  Значение 
коэффициента  температуропроводности 

a  находят  через  тангенс  угла  наклона  экспериментальной 

прямой  в  полулогарифмических  координатах  (

α

=

∞

tg

2

/

V

a

). Коэффициент  температуропроводности 

для  высокотемпературных  слоев  материала  можно  найти,  используя  значения  глубин  прогрева  до 
изотерм    фазовых  превращений  некоторых  компонент  материала,  либо  предварительно  введенных 
микродобавок  вещества  с  фиксированной  температурой  фазового  превращения [266]. Квазистацио-
нарный метод, основанный на термопарных измерениях, описан в работе [267]. 

Однако  нестационарные  методы  определения  теплофизических  свойств  обладают  существен-

ными  преимуществами  перед  методами,  базирующимися  на  закономерностях  квазистационарного 
режима  прогрева,  так  как  не  требуют  длительных  экспериментов,  при  которых  обычно  возрастает 
влияние различных факторов на температурное поле внутри ТЗМ. Кроме того, при небольших и уме-
ренных тепловых воздействиях квазистационарный режим прогрева может вообще не установиться. 

Особый интерес представляет такой режим нестационарного прогрева, в котором температур-

ный профиль в теле удается связать с производной от температуры во времени в данной точке. Этот 
режим  получил  название  автомодельного.  На  основе  этого  режима  при  "мгновенном"  нагреве  по-
верхности образца до некоторой температуры, поддерживаемой затем неизменной в процессе экспе-
римента, предложен метод определения коэффициента теплопроводности [268]. 

При определении глубины прогретого слоя в теплозащитном покрытии лучше наблюдать дви-

жение  изотерм,  чем  рассматривать  изменение  температуры  в  фиксированной  точке  материала  во 
времени. Используя такой подход, в работах [242, 268

−272] исследованы закономерности перемеще-

ния  изотерм  в  полубесконечных  и  осесимметричных  телах  и  рассчитаны  коэффициенты  теплопро-
водности и температуропроводности для вольфрам-медного псевдосплава [269].