Тепловое разрушение материалов - часть 34

Глава 6 
 

УСТАНОВЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО РЕЖИМА УНОСА МАССЫ  

ТЕПЛОЗАЩИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ 

__________________________________________________________________ 

 
 

6.1. Нестационарный режим уноса массы с поверхности теплозащитного  

материала при постоянном тепловом воздействии  

 

Учитывая различную скорость приближения температуры поверхности, скорости уноса и глу-

бины прогретого слоя к своим стационарным значениям (рис. 4.5), по-видимому, нецелесообразно во 
всех случаях принимать 

1

,

0

=

ε

∆

, как это предложено в работе [2]. В то же время условие равенства 

толщин  прогретого  и  унесенного  слоев,  полученное  на  основе  модели  прогрева  и  оплавления  кри-
сталлического тела, применимо только для определения наибольшего характерного времени процесса 

δ

τ  для изотерм с 

1

,

0

*

≤

θ

. 

На рис. 5.7 видно, что уменьшение степени приближения к асимптоте 

ε

∆  от 0,1 до 0,05 приво-

дит  к  увеличению  времени  установления  квазистационарной  скорости  уноса  массы  до  двух  раз 
(например, при m = 0,5). Однако относительное распределение скорости уноса массы, рассчитанное 
по формулам (5.14), вообще не зависит от числа m, а изменение 

ε

∆  в два раза изменяет его форму 

всего на 6

−8% (рис. 6.1). 

 

 

 
 
Рис. 6.1. Влияние выбора 

ε

∆

 и числа m на распре-

деление скорости уноса 
массы при 

p

T

= const: чер-

ные точки 

− 

ε

∆

 = 0,05; 

светлые точки 

− 

ε

∆

 = 0,1  

 

 

Поскольку  приведенные  результаты  получены  для  кристаллического  тела,  когда  температура 

поверхности  практически  сразу  устанавливается  равной 

p

T

 = const, что  не  соответствует  реальной 

картине  изменения  температуры  поверхности  ТЗМ  при  постоянном  тепловом  воздействии,  то  они 
еще не дают оснований для определения 

v

τ . 

Физическая модель оплавления стеклообразного теплозащитного материала значительно отли-

чается от модели разрушения кристаллического тела при 

p

T

 = const. В модели оплавления кварцевого 

стекла,  описанной  в [2], баланс  тепла  на  разрушающейся  поверхности  уже  включает  излучение,  а 
суммарный  тепловой  эффект  физико-химических  превращений  рассматривается  в  зависимости  от 
внешних условий (рис. 6.2). 
 

 

Глава 6. Установление стационарного режима уноса массы теплозащитных материалов  

 

139

 

 

 
 
Рис. 6.2. Модель процесса разрушения (оплав-
ления) стеклообразного материала в высоко-
температурном газовом потоке, обтекающем 
окрестность точки торможения затупленного 
тела [2]: 1 

− пограничный слой газового потока;  

2 – жидкая пленка расплава, стекающая под дей-
ствием сдвигающих сил газового потока;  
3 – твердое тело 
 

 

Задача оплавления материала в высокотемпературном потоке газа в общей постановке сводится 

к совместному решению системы уравнений сохранения массы, количества движения и энергии, со-
ответственно,  для  газовой,  жидкой  и  твердой  фаз.  После  ряда  обоснованных  допущений  система 
уравнений,  описывающих  неустановившееся  движение  пленки  расплава  в  системе  координат,  свя-
занной с поверхностью раздела газ-жидкая пленка [2], имеет вид 

 

( )

( )

(6.1)

     

          

          

          

          

          

          

, 

0

=

ν

∂

∂

+

∂

∂

r

y

ru

 

 

(6.2)

          

          

          

          

          

          

,

dx

dP

F

y

u

y

e

x

=

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

µ

∂

∂

 

 

(6.3)

   

          

          

          

          

          

.

2

2

y

T

c

y

T

u

T

u

T

∂

∂

ρ

λ

=

∂

∂

+

τ

∂

∂

+

τ

∂

∂

 

 

Замыкает выписанную систему уравнений соответствующая система начальных условий: 

при 

0

   

const,

 

)

(

   

0

0

=

ν

=

=

=

τ

T

y

T

 

при

0

>

τ

 и y = 0: 

(6.4)

      

          

          

          

,

)

(

)

/

(

ë

4

q

I

I

c

T

Q

G

y

T

w

e

w

p

w

w

w

w

+

−

α

=

εσ

+

∆

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

λ

−

 

)

(

)

/

(

)

(

, e

w

w

p

w

w

P

T

f

c

G

v

α

=

=

ρ

, 

w

w

w

y

u

µ

τ

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

, 

при 

0

>

τ

 и 

       

0

       

,

       

0

→

→

∞

→

u

T

T

y

 (либо 

0

→

∂

ν

∂

y

).  

В качестве одного из граничных условий в систему уравнений (6.1)

−(6.4) входит скорость ис-

парения или расход массы 

w

G  с поверхности пленки расплава. При интенсивном нагреве 

w

G  зависит 

от коэффициента теплообмена 

w

p

c )

/

(

α

, 

w

T  и давления на внешней границе пограничного слоя 

e

P . 

6.1. Нестационарный режим уноса массы с поверхности теплозащитного материала при постоянном  
       тепловом воздействии

  

 

140

 
Численные расчеты по этой модели, выполненные в [2], и экспериментальные данные показы-

вают, что даже при нагреве тела в потоке газа с постоянными параметрами, температура поверхности 
с момента начала плавления еще возрастает на 500

−1000 К. По результатам расчетов можно сделать 

вывод  о  том,  что  из  всех  физических  параметров,  входящих  в  дифференциальные  уравнения 
(6.1)

−(6.3) и граничные условия (6.4), на ход зависимости скорости уноса 

)

(

τ

∞

V

 влияет только тепло-

проводность материала. Изменение всех остальных параметров приводит лишь к отличиям в устано-
вившихся значениях скорости оплавления 

∞

V

 и температуры поверхности. Это позволяет предполо-

жить существование некоторого универсального параметра, характеризующего зависимости 

)

(

τ

∞

V

.

 

На рис. 6.3 показаны результаты обработки численных расчетов скорости уноса массы в виде 

(6.5)

         

          

          

          

          

          

. 

)

(

/

)

(

у

у

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

τ

−

τ

τ

−

τ

=

τ

τ

∞

∞

v

v

f

V

V

 

Время 

v

τ  также выбиралось для двух значений  ε

∆  = (0,05 и 0,1). Рассмотренные режимы при-

ведены в табл. 6.1. 

 

 

 
 
Рис. 6.3. Численные расчеты 
распределения скорости при 

)

(

τ

= f

T

w

 [2] для различных 

условий нагрева и свойств ма-
териала: 1

−8 − варианты расчета 

(табл. 6.1); I 

− аппроксимация 

(6.10) 
 

 

Несмотря на то, что доля испарения материала изменялась более чем в 5 раз (Г = 0,1

−0,6), все 

полученные результаты укладываются в сравнительно узкий коридор. При этом кривая, аппроксими-
рующая приведенные данные, дает значение  

[

]

(6.6)

 

          

          

          

          

          

, 

74

,

0

)

(

/

)

(

p

T

1

0

K

dt

V

V

v

=

≈

τ

τ

∫

∞

∞

 

где 

)

/(

)

(

у

у

τ

−

τ

τ

−

τ

=

v

t

, а 

p

T

K  

− константа разрушения материала. 

В свою очередь обработка результатов экспериментов по линейному уносу [52, 129, 243] (рис. 

6.4), показывает, что они удовлетворительно описываются выражением  

(6.7)

       

          

          

          

          

          

.

)

(

/

)

(

2

у

у

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

τ

−

τ

τ

−

τ

=

τ

τ

v

v

S

S

 

Откуда, дифференцируя по времени, находим 

Глава 6. Установление стационарного режима уноса массы теплозащитных материалов  

 

141

 

(6.8)

      

          

          

          

          

          

. 

)

(

)

(

)

(

2

у

у

v

v

S

V

τ

τ

−

τ

τ

τ

−

τ

=

τ

∞

 

Так как из (6.6) следует, что среднеинтегральная скорость равна 

)

(

p

T

v

V

K

τ

∞

, то можно записать 

(6.9)

        

          

          

          

          

          

.)

)(

(

)

(

у

T

p

τ

−

τ

τ

=

τ

∞

v

v

v

V

K

S

 

Подставляя зависимости (6.8) и (6.9) в (6.6), можно показать, что соотношение (6.8) удовлетво-

ряет выражению (6.6) и полностью подтверждает результаты численных расчетов. 

Для аппроксимации распределения скорости уравнение (6.8) можно представить в виде 

(6.10)

 

          

          

          

. 

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

у

T

2

у

у

у

у

у

у

p

τ

−

τ

τ

−

τ

τ

+

τ

−

τ

τ

−

τ

+

τ

−

τ

=

τ

τ

∞

∞

v

v

v

v

v

K

t

t

V

V

 

 

Таблица 6.1 

− Обобщение численных расчетов скорости уноса 

)

(

τ

∞

V

 при 

ε

∆  = 0,05 и 0,1 

 

v

τ , с 

 
№ 
п/п 

 
Изменяемые параметры 

 

3

10

⋅

∞

V

, м/с

 

w

T , К 

 

у

τ , с 

ε

∆  = 0,05 

ε

∆  = 0,1 

 

1 

 

2 

 
 
 

3 

 

4 

 

5 

 

6 

 

7 

 

8 

 

 
Основной вариант 
 

p

c

 = 2,51 кДж/(кг·К); 

λ  = 4,19 Вт/(м⋅К); 

 

4

w

T

εσ

= 1420 кВт/м

2

; 

 

0

)

/

(

p

c

α

= 0,5 кг/(м

⋅с); 

 

v

P

; a = 

− 46 200 

 
Основной вариант 
 

µ

; a = 50 500, b = 15 

 

µ

; a = 68 800, b = 24,59 

 

 

0,41 

 

0,3 

 
 
 

0,34 

 

0,28 

 

0,16 

 
 

0,31 

 

0,56 

 

0,27 

 

2710 

 

2590 

 
 
 

2651 

 

2610 

 

2253 

 
 

2610 

 

2587 

 

2623 

 

0,4 

 

2,4 

 
 
 

1,0 

 

3,2 

 

0,35 

 
 

1,5 

 

1,8 

 

1,5 

 

7,5 

 

11,6 

 
 
 

9,5 

 

15,0 

 

17,0 

 
 

25,5 

 

14,8 

 

24,5 

 

5,3 

 

8,7 

 
 
 

7,0 

 

10,3 

 

13,7 

 
 

20,5 

 

11,0 

 

19,9 

 
Первый вариант расчета: 

λ = 2,1 Вт/(м·K); 

p

c

= 1,26кДж/(кг·K); 

ρ = 2000кг/м

3

; 

w

Q

∆

= 12 570 кДж/кг;  

2

2

/ dx

P

d

e

 =2·10

9

 н/м

4

; 

4

w

T

εσ

= 1300 кВт/м

2

 ; 

(

)

b

T

a

w

−

=

µ

/

exp

, кг·c/м

2

  

(где a = 68 800; b = 24,59); 

(

)

5

10

/

exp

⋅

+

=

b

T

a

P

w

v

Па (где a = 

−57 800;  

b = 18,48). 

В 1

−5 вариантах расчета: 

5

10

1

⋅

=

e

P

 Па; 

e

T = 4000 K; 

(

)

0

/

p

c

α

= 1,0 кг/м с. 

В 6-м варианте расчета: 

λ = 10,4 Вт/(м·K); 

p

c

= 1,38 кДж/кг; 

ρ = 2250 кг/м

3

; 

w

Q

∆

= 12 570 кДж/кг;  

2

2

/ dx

P

d

e

 =3,48·10

8

 н/м

4

; 

4

w

T

εσ

 = 250 кВт/м

2

;  

{

}

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−

+

=

µ

5

,

9

05

,

10

/

1800

exp

exp

8

,

9

w

w

T

T

, кг·c/м

2

.  

В 6

−8 вариантах расчета: 

(

)

b

T

a

w

−

=

µ

/

exp

; 

e

P = 0,13·10

5

 Па; 

e

T = 6000 K; 

0

)

/

(

p

c

α

= 0,5 кг/(м

2

·с).