Тепловое разрушение материалов - часть 31

5.2. Обоснование закономерности теплового режима в твердом теле на основе существующих моделей  
       прогрева и уноса массы  

 

126

 

0

/

→

τ

∂

θ

∂

  также  получаются  уравнения (5.15) и (5.17). При  этом  лишь  незначительно  возрастает 

время  установления  квазистационарного  профиля  температур 

δ

t

.  Этот  вывод  будет  весьма  полезен 

при дальнейших рассуждениях, так как показывает, что независимо от предыстории нагрева толщина 
прогретого слоя до любой наперед заданной температуры 

*

θ  стремится к своему стационарному зна-

чению, определяемому уравнением (5.17). 

Численные расчеты по (5.14) показывают, что линейный унос 

)

(t

S

 и прогретый слой 

)

(t

δ  мо-

гут меняться по совершенно различным законам, но их суммарная толщина 

)

(

)

(

)

(

*

t

t

S

t

δ

+

=

∆

 в тече-

ние некоторого времени 

δ

t

, с хорошей точностью (~5%) может быть описана зависимостью вида 

(5.18)

         

          

          

          

          

          

          

,

)

(

*

t

K

t

≈

∆

 

где коэффициент 

( )

m

f

K

,

θ

=

. 

Расчетная модель [2] показывает, что установленная закономерность не зависит от числа m и 

хорошо выполняется для 

*

θ = 0,05 и 0,1 (рис. 5.6). 

 

 

 

 

Рис. 5.6. Зависимость безразмерных параметров уноса и прогрева от безразмерного времени t: а 

− при 

*

θ

 

= 0,1 и m = 0,1; б 

− при 

*

θ

 = 0,05 и m = 1,0; 1 

− линейная аппроксимация 

 

 

 

У. – Цирк,  да  и  только!  Едва  начали  рассматривать  процесс  абляции  в  виде  суммы  прогретого  и  унесенного 
слоев материала, как тут же все превратилось в прямую линию. По-видимому, если не свалимся, канатная доро-
га имеет неплохие перспективы. 
 
К. – Вот именно! Для начала постарайся удержаться на этой прямой и дойти до устойчивого положения. Со-
гласно теоретическим моделям тебе надо бесконечно долго до него добираться и вряд ли понятие «квазиста-
ционарный режим» неустойчивого положения тебя устроит. Кроме того, согласно теории ты уже давно должен 
упасть – ведь чем выше температура, тем меньше шансов на то, что вообще эта линия останется прямой. Как 
видишь, теоретический шест в этом случае не очень надежное прикрытие. 
 
У. – Позволь, но ведь эксперимент показывает, что, по крайней мере, до изотермы коксования, т. е. до безраз-
мерной температуры 

4

,

0

3

,

0

*

−

≈

θ

, линейная зависимость суммарной толщины прогретого и унесенного слоев 

сохраняется. Иначе я бы на этой веревке, конечно, не удержался. 
 
К.

 

− Мне кажется, что устойчивый автомодельный режим в наших экспериментах для высокотемпературных 

изотерм  связан  с  какими-то  процессами  в  поверхностных  слоях  материала,  которые  теория,  естественно,  не 
могла учесть. Короче говоря, без экспериментального крючка тут не обойтись. Я думаю у нас все еще впереди.  
 

Глава 5. Тепловой режим в твердом теле при уносе массы с поверхности 

 

127

 

 

 
 

5.3. Определение границы между нестационарным и квазистационарным  

режимами прогрева теплозащитного материала 

 

На рис. 4.5 было показано, что температура поверхности, скорость уноса и глубина прогретого 

слоя приближаются к своим стационарным значениям асимптотически. Отсюда следует, что, строго 
говоря, процесс прогрева и уноса массы станет стационарным через бесконечно большое время, ко-
гда сравняются скорости перемещения самой глубинной изотермы и поверхности. На практике такой 
подход абсолютно неприемлем, так как возникает необходимость определения времени работы экс-
периментальных установок, которое при нахождении различных параметров ТЗМ (

эфф

Т

,

,

,

I

V

T

w

δ

∞

 и 

т.д.) может отличаться на порядок. 

Поэтому  в  работе [2] предлагается  рассматривать  времена  установления  квазистационарных 

значений температуры поверхности 

T

τ , скорости уноса 

v

τ  и толщины прогретого слоя 

δ

τ . Однако 

точность определения этих времен сильно зависит от степени приближения к асимптоте, т. е. от вы-
бора значения 

ε

∆ . Обычно  ε

∆  принимают равной 0,1, несмотря на различную скорость приближения 

перечисленных параметров ТЗМ к своим стационарным значениям (рис. 4.5). 

Второй  фактор,  который  необходимо  учитывать  при  определении  времен  установления 

v

τ   и 

δ

τ , связан с их зависимостью от тепловой эффективности материала − числа m (5.13). В работе [2] 

эта величина практически ничем не ограничена и может изменяться от 0 до 

∞ . На рис. 5.7 приведены 

результаты численных расчетов безразмерного времени 

v

t

 по формулам (5.15), из которых видно, что 

зависимость 

v

t  от m достаточно сильная. В то же время эти расчеты показывают, что сильная зависи-

мость 

v

t

 от m наблюдается только при m меньше 0,5. 

Поскольку число m определяется формулой 

(

)

,

0

Q

T

T

c

m

w

p

∆

−

=

 

5.3. Определение границы между нестационарным и квазистационарным режимами прогрева  
       теплозащитного материала 

 

128

 
где 

w

Q

Q

Γ∆

=

∆

, а Г 

− коэффициент газификации материала, то на практике диапазон изменения чис-

ла m можно существенно ограничить. Во-первых, расчеты по модели оплавления кварцевого стекла 
[2]  и  эксперименты [124] на  кварцевой  стеклокерамике  показывают,  что  тепло,  накопленное  в  про-
гретом слое, вносит существенный вклад в тепловой баланс разрушающегося материала при  
Г < 0,5

−0,6, а коэффициент газификации Г обычно не превышает 0,9. Во-вторых, на основании анали-

за взаимосвязи между теплотой испарения и теплосодержанием большинства простых веществ [230] 
установлено, что даже при коэффициенте газификации 

Γ  = 1 число m не может быть меньше 0,3 (см. 

раздел 9.1). Это позволяет ограничить диапазон рассматриваемых значений чисел m в пределах 0,5 < 
m

 < 3, где его изменение несущественно влияет на времена установления квазистационарных харак-

теристик ТЗМ (рис. 5.7). 

 

 

 
 

Рис. 5.7. Зависимость времени уста-
новления квазистационарной ско-
рости уноса от числа m: 

заштрихо-

ванная область 

− практически воз-

можный диапазон изменения числа m 

 

 
Поскольку определение интервала времени, в котором справедлива закономерность (5.18), не-

обходимо  для  ее  дальнейшего  использования,  рассмотрим  вопрос  идентификации  границы  между 
нестационарным и квазистационарным режимами прогрева теплозащитного материала. 

В табл. 5.1 приведены данные численных расчетов прогретого и унесенного слоев при  

р

T

= const для двух значений толщин, заданных 

 

0,05)

  

и

  

1

,

0

( 

*

*

*

=

θ

=

θ

θ

=

θ

.  

 

Таблица 5.1 

− Сравнение толщины прогретого слоя 

)

(

x

t

δ

 в момент ее равенства линейному  

уносу 

)

(

x

t

S

со стационарным значением глубины прогретого слоя 

T

δ  

*

θ  

0,05 0,1 

m 

0,5 0,7 1,0 0,5 0,7 1,0 

T

δ  

10,1 8,2 6,75 7,8  6,3  5,2 

)

(

x

t

δ

 

9,2 7,5 6,2 7,1 5,7 4,75 

%

  

,

)

(

T

T

δ

δ

−

δ

x

t

 

9,0  8,5  8,2 10,0 9,5  8,7 

 

Глава 5. Тепловой режим в твердом теле при уносе массы с поверхности 

 

129

В таблице даны безразмерные значения глубины прогретого слоя, стационарные значения ко-

торой определялись по (5.17), а безразмерное время 

− по формуле 

1

/

р

−

τ

τ

=

t

. Время 

р

τ   при посто-

янном тепловом воздействии рассчитывалось по уравнению  

(5.19)

          

          

          

          

          

          

,

)

(

4

2

2

0

p

p

q

T

T

c

−

λρ

π

=

τ

 

которое следует из решения (5.4) при q = const.

 

Из  табл. 5.1 видно,  что  в  момент  равенства  толщин  прогретого  и  унесенного  слоев  толщина 

прогретого слоя 

)

(

x

t

δ

 отличается от своего установившегося значения при 

5

,

0

≥

m

 не более чем на 

10%. 

Это обстоятельство позволило идентифицировать границу между нестационарным и квазиста-

ционарным  режимами  прогрева  и  назвать  временем  установления  прогретого  до 

*

θ

=

θ

  слоя  разру-

шающегося материала такое значение 

x

t

t

=

δ

, за которое толщина унесенного слоя сравняется с глу-

биной залегания изотермы 

*

θ . 

Таким образом, на основе модели плавления кристаллического тела, изложенной в [2], удалось 

показать, что, независимо от доли испарения материала (числа m), суммарная толщина прогретого и 
унесенного  слоев  с  достаточной  для  практики  точностью  в  интервале  времени  нагрева,  за  который 
достигается равенство толщин прогретого и унесенного слоев (рис. 5.6), может быть описана зависи-
мостью (5.18) [231]. 
 

 

5.4. Температурные поля в образцах кварцевой стеклокерамики при 

уносе массы с поверхности 

 

Теоретическая  модель  прогрева  и  уноса  массы  твердого  тела  в  наиболее  простой  постановке 

при 

p

T  = const [2] дает  возможность  показать,  что  при 

δ

τ

<

τ

  путь,  пройденный  любой  изотермой 

температурного поля, прямо пропорционален корню квадратному из времени нагрева. Наличие внут-
ренней  зоны  фазовых  превращений,  согласно  экспериментальным  данным [227, 228], не  нарушает 
этой закономерности, но и не является причиной ее установления. 

Серьезным аргументом в пользу предыдущих выводов могут служить экспериментальные ре-

зультаты, полученные в однородных материалах типа кварцевой стеклокерамики. 

Для  экспериментального  доказательства  установленной  линейной  зависимости  суммарной 

толщины прогретого и унесенного слоев от корня квадратного из времени нагрева очень важно пра-
вильно  выбрать  экспериментальную  модель,  позволяющую  свести  к  минимуму  ошибки,  возникаю-
щие при измерениях температур. 

Измерение  температур  внутри  материала  преимущественно  проводят  с  помощью  термоэлек-

трических преобразователей (термопар). Погрешности, возникающие при таких измерениях, подроб-
но рассмотрены в работах [2, 232

−235]. Многие из них можно учесть либо свести к минимуму путем 

соответствующего выбора термопары и способа установки ее в образце. Тем не менее ошибки, свя-
занные  с  отклонением  характеристики  термопары  от  стандартной  из-за  воздействия  продуктов  раз-
ложения материала, с шунтированием термопары в электропроводящей зоне, а также с усадкой мате-
риала, всегда возникающие при измерениях в коксующихся теплозащитных материалах, плохо под-
даются учету. В связи с этим проверка установленной закономерности на образцах КСК, в которых 
отсутствует низкотемпературная компонента (связующее), является вполне обоснованной. 

Как известно, точность измерения температуры внутри материала в  значительной степени за-

висит от способа установки термопар в образце. После рассмотрения существующих схем размеще-
ния термопар в образцах композиционных материалов [236], расчетов и серии пробных эксперимен-
тов была предложена схема, обеспечивающая необходимую длину изотермического участка, целост-
ность  материала  выше  датчика  температуры  в  направлении  воздействия  теплового  потока,  надеж-
ность контакта термопары с материалом, высокую точность измерения координаты термопары в про-
цессе ее установки и после проведения эксперимента, защиту термоэлектродов от  воздействия высо-
котемпературного  газового  потока,  а  также  соблюдение  модели  полубесконечного  изолированного 
тела [237].