содержание   ..  1  2  3  4   ..

Медико-биологическая статистика - часть 3

КАК ОПИСАТЬ ДАННЫЕ

39

30

35

40

45

50

Рис. 2.7. Такое распределение мы получим, выбрав 25 раз по 10 марсиан из совокупно-

сти представленной на рис 2 6А, и рассчитав среднее для каждой выборки (средние для

трех выборок с рис. 2.6 показаны заполненными кружками). Если построить распpeделе-

ние средних для всех возможных выборок, оно окажется нормальным. Среднее этого

распределения будет равно среднему той совокупности, из которой извлекаются вы-

борки. Стандартное отклонение этого распределения называется стандартной ошибкой

среднего.

отрезка по бокам от нее изображают выборочное среднее (X =

41,5 см) и выборочное стандартное отклонение (s = 3,8 см). Эти

значения близки, но не равны среднему по совокупности

(µ = 40 см) и стандартному отклонению (σ = 5 см).

Извлечем еще одну случайную выборку того же объема. Ре-

зультат показан на рис. 2.6В. На рис. 2.6А попавшие в эту вы-

борку марсиане изображены заштрихованными кружками. Вы-

борочное среднее (36 см) по-прежнему близко к среднему по

совокупности, хотя и отличается от него; что касается выбороч-

ного стандартного отклонения (5 см), то на этот раз оно совпало

со стандартным отклонением по совокупности.

На рис. 2.6Г представлена третья выборка. Попавшие в нее

марсиане на рис. 2.6А изображены кружками с точками. Сред-

нее и стандартное отклонение для этой выборки составляют со-

ответственно 40 и 5 см.

Теперь пора поставить добычу случайных выборок на про-

мышленную основу. Рассмотрим совокупность средних для каж-

дой из возможных выборок по 10 марсиан. Общее число таких

выборок превышает 1016. Три из них мы уже обследовали. Сред-

ние по этим выборкам представлены на рис. 2.7 в виде заполнен-

ных кружков. Пустые кружки — это средние еще для 22 выборок.

Итак, теперь каждому выборочному среднему соответствует кружок,

40

ГЛАВА 2

точно так же, как до сих пор кружки соответствовали отдельно-

му объекту.

Посмотрим на рис. 2.7. Набор из 25 выборочных средних

имеет колоколообразное распределение похожее на нормальное.

Это не случайно. Можно доказать, что если переменная пред-

ставляет собой сумму большого числа независимых перемен-

ных, то ее распределение стремится к нормальному, какими бы

ни были распределения переменных, образующих сумму. Так

как выборочное среднее определяется именно такой суммой, его

распределение стремится к нормальному, причем чем больше

объем выборок, тем точнее приближение. (Если выборки при-

надлежат совокупности с нормальным распределением, распре-

деление выборочных средних будет нормальным независимо от

объема выборок).

Поскольку распределение на рис. 2.7 нормальное, его можно

описать с помощью среднего и стандартного отклонения.

Так как среднее значение для рассматриваемых 25 точек есть

среднее величин, которые сами являются средними значения-

ми, обозначим его

X . Аналогично, стандартное отклонение

X

обозначим

s . По формулам для среднего и стандартного откло-

X

нения находим

X = 40 см и

s

= 1,6см.

X

X

Среднее выборочных средних

X оказалось равно среднему

X

µ всей совокупности из 200 марсиан. Ничего неожиданного в

этом нет. Действительно, если бы мы провели исследования всех

возможных выборок, то каждый из 200 марсиан был бы выбран

равное число раз. Итак, среднее выборочных средних совпадет

со средним по совокупности.

Интересно, равно ли

s стандартному отклонению, σ сово-

X

купности из 200 марсиан? Стандартное отклонение для сово-

купности выборочных средних

s равно 1,6 см, а стандартное

X

отклонение самой совокупности — 5 см. Почему

s меньше,

X

чем σ? В общих чертах это можно понять, если учесть, что в

случайную выборку редко будут попадать одни только коротыш-

ки и одни гиганты. Чаше их будет примерно поровну, и откло-

нения роста от среднего будут сглаживаться. Даже в выборке,

куда попадут 10 самых высоких марсиан, средний рост соста-

вит только 50 см, тогда как рост самого высокого марсианина

— 53 см.

Подобно тому, как стандартное отклонение исходной выбор-

КАК ОПИСАТЬ ДАННЫЕ

41

ки из 10 марсиан s служит оценкой изменчивости роста марси-

ан,

s является оценкой изменчивости значений средних для вы-

X

борок по 10 марсиан в каждой. Таким образом, величина

s слу-

X

жит мерой точности, с которой выборочное среднее X является

оценкой среднего по совокупности µ. Поэтому

s носит назва-

X

ние стандартной ошибки среднего.

Чем больше выборка, тем точнее оценка среднего и тем мень-

ше его стандартная ошибка. Чем больше изменчивость исход-

ной совокупности, тем больше изменчивость выборочных сред-

них, поэтому стандартная ошибка среднего возрастает с увели-

чением стандартного отклонения совокупности.

Истинная стандартная ошибка среднего по выборкам объе-

мом n, извлеченным из совокупности, имеющей стандартное

отклонение σ, равна*:

σ

σ

=

X

n

Собственно стандартная ошибка — это наилучшая оценка

величины

σ по одной выборке:

X

s

s

=

X

,

n

где s — выборочное стандартное отклонение.

Так как возможные значения выборочного среднего стремятся

к нормальному распределению, истинное среднее по совокуп-

ности примерно в 95% случаев лежит в пределах 2 стандартных

ошибок выборочного среднего.

Как уже говорилось, распределение выборочных средних

приближенно всегда следует нормальному распределению не-

зависимо от распределения совокупности, из которой извлече-

ны выборки. В этом и состоит суть утверждения, называемого

центральной предельной теоремой. Эта теорема гласит следу-

ющее.

• Выборочные средние имеют приближенно нормальное рас-

пределение независимо от распределения исходной совокуп-

ности, из которой были извлечены выборки.

* Вывод этой формулы приведен в гл. 4.

42

ГЛАВА 2

• Среднее значение всех возможных выборочных средних рав-

но среднему исходной совокупности.

• Стандартное отклонение всех возможных средних по выбор-

кам данного объема, называемое стандартной ошибкой сред-

него, зависит как от стандартного отклонения совокупнос-

ти, так и от объема выборки.

На рис. 2.8 показано, как связаны между собой выборочное

среднее, выборочное стандартное отклонение и стандартная

ошибка среднего и как они изменяются в зависимости от объе-

ма выборки*. По мере того как мы увеличиваем объем выбор-

ки, выборочное среднее X и стандартное отклонение s дают все

более точные оценки среднего µ и стандартного отклонения σ

по совокупности. Увеличение точности оценки среднего отра-

жается в уменьшении стандартной ошибки среднего

σ . На-

X

брав достаточное количество марсиан, можно сделать стандар-

тную ошибку среднего сколь угодно малой. В отличие от стан-

дартного отклонения стандартная ошибка среднего ничего не

говорит о разбросе данных, — она лишь показывает точность

выборочной оценки среднего.

Хотя разница между стандартным отклонением и стандарт-

ной ошибкой среднего совершенно очевидна, их часто путают.

Большинство исследователей приводят в публикациях значение

стандартной ошибки среднего, которая заведомо меньше стан-

дартного отклонения. Авторам кажется, что в таком виде их дан-

ные внушают больше доверия. Может быть, так оно и есть, од-

нако беда в том, что стандартная ошибка среднего измеряет

именно точность оценки среднего, но никак не разброс данных,

который и интересен читателю. Мораль состоит в том, что, опи-

сывая совокупность, всегда нужно приводить значение стандар-

тного отклонения.

* Рис. 2.8 получился следующим образом. Из совокупности марсиан (рис.

2.1) взяли наугад двух марсиан. По этой выборке вычислили X , s и

s

X

Потом опять же наугад выбрали еще одного марсианина и добавив его к

выборке снова рассчитали эти показатели. Добавляя каждый раз по одно-

му случайно выбранному марсианину, объем выборки довели до 100. Если

бы мы повторили эксперимент, очередность извлечения марсиан была бы

иной, и рисунок выглядел бы немного иначе.

КАК ОПИСАТЬ ДАННЫЕ

43

Рис. 2.8. С увеличением объема выборки возрастает точность оценки параметров

распределения. Выборочное среднее X стремится к среднему в совокупности µ вы-

борочное стандартное отклонение s стремится к стандартному отклонению в сово-

купности σ, а стандартная ошибка среднего стремится к нулю.

Рассмотрим пример, позволяющий почувствовать различие

между стандартным отклонением и стандартной ошибкой сред-

него, а также уяснить, почему не следует пренебрегать стандар-

тным отклонением. Положим, исследователь, обследовав выборку

из 20 человек, пишет в статье, что средний сердечный выброс

составлял 5,0 л/мин со стандартным отклонением 1 л/мин. Мы

знаем, что 95% нормально распределенной совокупности попа-

дает в интервал среднее плюс-минус два стандартных отклоне-

46

ГЛАВА 2

2.6. Р. Флетчер и С. Флетчер (R. Fletcher, S. Fletcher. Clinical

research in general medical journals: a 30-year perspective. N. Engl.

J. Med., 301:180-183, 1979) изучили библиографические харак-

теристики 612 случайно выбранных статей, опубликованных в

журналах Journal of American Medical Association, New England

Journal of Medicine и Lancet с 1946 г. Одним из показателей было

число авторов статьи. Было установлено следующее:

Год

Число обследо- Среднее число Стандартное

ванных статей авторов

отклонение

1946

151

2,0

1,4

1956

149

2,3

1,6

1966

157

2,8

1,2

1976

155

4,9

7,3

Нарисуйте график среднего числа авторов по годам. Может

ли распределение статей по числу авторов быть нормальным?

Почему?

СРАВНЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ГРУПП: ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

49

Рис. 3.1. Распределение жителей городка по величине сердечного выброса. Диета не

влияет на сердечный выброс, и экспериментальные группы представляют собой просто

четыре случайные выборки из нормально распределенной совокупности.

представляют собой просто случайные выборки из нормально

распределенной совокупности.

Однако как убедиться в этом, располагая только результата-

ми эксперимента (рис. 3.2)? Как видно из рисунка 3.2, группы

все же различаются по средней величине сердечного выброса.

Вопрос можно поставить так: какова вероятность получить та-

кие различия, извлекая случайные выборки из нормально рас-

пределенной совокупности? Прежде чем ответить на этот воп-

рос нам надо получить показатель, характеризующий величину

различий.

Оставим на время наш эксперимент и зададимся вопросом,

что заставляет нас, взглянув на несколько выборок думать, что

различия между ними не случайны.

Попробуем (исключительно в учебных целях) так изменить

наши данные, чтобы читатель поверил во влияние диеты на сер-

дечный выброс. Результат этой подтасовки представлен на рис.

3.3. Взаимное расположение точек в группах осталось прежним,

но сами группы значительно раздвинуты по горизонтальной

оси. Сравнив рис. 3.2 и 3.3 всякий скажет, что четыре вы-

50

ГЛАВА 3

Рис. 3.2. Исследователь не может наблюдать совокупность, все, чем он располагает

- это его экспериментальные группы. На этом рисунке данные с рис. 3.1 представ-

лены такими, какими их видит исследователь. Результаты в разных группах несколько

различаются. Вызваны эти различия диетой или просто случайностью? Внизу ри-

сунка показаны средние значения сердечного выброса в четырех группах (выбороч-

ные средние) а также среднее и стандартное отклонение этих четырех средних.

борки на рис. 3.2 «не различаются», а выборки на рис. 3.3. —

«различаются». Почему? Сравним разброс значений внутри вы-

борок с разбросом выборочных средних. Разброс выборочных

средних на рис. 3.2. значительно меньше разброса значений в каж-

дой из выборок. На рис. 3.3 картина обратная — разброс выбо-

рочных средних превышает разброс в каждой из выборок. То же

самое можно сказать и о данных на рис. 3.4, хотя здесь три выборочных

СРАВНЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ГРУПП: ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

51

Рис. 3.3. Те же группы что на предыдущих рисунках; теперь они раздвинуты по гори-

зонтальной оси. Вряд ли такие различия можно отнести на счет случайности — влия-

ние диеты налицо! Обратите внимание, что разброс выборочных средних превышает

разброс внутри групп. На предыдущем рисунке картина была иной, — разброс выбо-

рочных средних был меньше разброса внутри групп.

средних близки друг другу и заметно отличается от них только

одна.

Итак, чтобы оценить величину различий, нужно каким-то об-

разом сравнить разброс выборочных средних с разбросом зна-

чений внутри групп. Сейчас мы покажем, как это можно сде-

лать с помощью дисперсии (как мы выяснили в предыдущей

главе, этот показатель характеризует именно разброс), но преж-

де сделаем несколько замечаний.

Дисперсия правильно характеризует разброс только в том случае,

если совокупность имеет нормальное распределение (вспомните

52

ГЛАВА 3

Рис. 3.4. Еще один возможный исход эксперимента с диетой. В трех группах сред-

ние примерно равны и только в группе макаронной диеты сердечный выброс явно

повысился. Такой результат, как и предыдущий никто не отнесет на счет случайно-

сти. И снова разброс выборочных средних превышает разброс внутри групп.

обследование юпитериан, чуть было не приведшее к ошибоч-

ным заключениям). Поэтому и критерий, основанный на дис-

персии, применим только для нормально распределенных

совокупностей.

Вообще, все критерии, основанные на оценке парамет-

ров распределения (они называются параметрическими),

применимы только в случае, если данные подчиняются со-

ответствующему распределению (чаще всего речь идет о

нормальном распределении). Если распределение отличается

от нормального, следует пользоваться так называемыми не-

параметрическими критериями. Эти критерии не основаны

на оценке параметров распределения и вообще не требуют,

чтобы данные подчинялись какому-то определенному типу

СРАВНЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ГРУПП: ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

53

Рис. 3.5. Еще один набор из четырех случайных выборок по семь человек в каждой,

извлеченых из совокупности в 200 человек (население городка, где изучали влияние

диеты на сердечный выброс).

распределения. Более подробно мы рассмотрим непараметри-

ческие критерии в гл. 5, 8 и 10. Непараметрические критерии

дают более грубые оценки, чем параметрические. Параметри-

ческие методы более точны, но лишь в случае, если правильно

определено распределение совокупности.

ДВЕ ОЦЕНКИ ДИСПЕРСИИ

Мы уже выяснили, что чем больше разброс средних и чем мень-

ше разброс значений внутри групп, тем меньше вероятность

того, что наши группы — это случайные выборки из одной со-

вокупности. Осталось только оформить это суждение количе-

ственно.

Дисперсию совокупности можно оценить двумя способами.

Во-первых, дисперсия, вычисленная для каждой группы, — это

содержание   ..  1  2  3  4   ..