содержание .. 2 3 4 5 ..
Медико-биологическая статистика - часть 4
54
ГЛАВА 3
оценка дисперсии совокупности. Поэтому дисперсию совокуп-
ности можно оценить на основании групповых дисперсий. Та-
кая оценка не будет зависеть от различий групповых средних.
Например, для данных на рис. 3.2 и 3.3 она будет одинаковой.
Во-вторых, разброс выборочных средних тоже позволяет оце-
нить дисперсию совокупности. Понятно, что такая оценка дис-
персии зависит от различий выборочных средних.
Если экспериментальные группы — это четыре случайные
выборки из одной и той же нормально распределенной сово-
купности (применительно к нашему эксперименту это значило
бы, что диета не влияет на сердечный выброс), то обе оценки
дисперсии совокупности дали бы примерно одинаковые резуль-
таты. Поэтому, если эти оценки оказываются близки, то мы не
можем отвергнуть нулевую гипотезу. В противном случае мы
отвергаем нулевую гипотезу, то есть, заключаем маловероятно,
что мы получили бы такие различия между группами, если бы
они были просто четырьмя случайными выборками из одной
нормально распределенной совокупности.
Перейдем к вычислениям. Как оценить дисперсию совокуп-
ности по четырем выборочным дисперсиям? Если верна гипо-
теза о том, что диета не влияет на величину сердечного выбро-
са, то любая из них дает одинаково хорошую оценку. Поэтому в
качестве оценки дисперсии совокупности возьмем среднее вы-
борочных дисперсий. Эта оценка называется внутригрупповой
2
дисперсией; обозначим ее
s
вну
2
1
2
2
2
2
s
=
(
s
+s
+s
+s
)
,
вну
кон
мак
мяс
фру
4
2
2
2
2
где
s
,
s
,
s
,
s
фру
— выборочные оценки дисперсии в груп-
кон
мак
мяс
пах, питавшихся как обычно (контроль), макаронами, мясом и
фруктами. Дисперсия внутри каждой группы вычисляется от-
носительно среднего для группы. Поэтому внутригрупповая дис-
персия не зависит от того, насколько различаются эти средние.
Оценим теперь дисперсию совокупности по выборочным сред-
ним. Так как мы предположили, что все четыре выборки извлече-
ны из одной совокупности, стандартное отклонение четырех
выборочных средних служит оценкой ошибки среднего. На-
СРАВНЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ГРУПП: ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
55
помним, что стандартная ошибка среднего
σ связана со стан-
X
дартным отклонением совокупности σ и объемом выборки n сле-
дующим соотношением:
σ
σ
=
X
n
Тем самым, дисперсию совокупности σ2 можно рассчитать
следующим образом:
2
σ
= nσ
2 .
X
Воспользуемся этим, чтобы оценить дисперсию совокупно-
сти по разбросу значений выборочных средних. Эта оценка на-
2
зывается межгрупповой дисперсией, обозначим ее
s
меж
2
2
s
= ns
,
меж
X
2
где
s
— оценка стандартного отклонения выборки из четырех
X
средних.
Если верна нулевая гипотеза, то как внутригрупповая, так и
межгрупповая дисперсии служат оценками одной и той же дис-
персии и должны быть приближенно равны. Исходя из этого,
вычислим критерий F:
Дисперсия совокупности,
оцененная по выборочным средним
F=
,
Дисперсия совокупности, оцененная
по выборочным дисперсиям
или
2
меж
s
F
=
2
s
вну
И числитель, и знаменатель этого отношения — это оценки
одной и той же величины — дисперсии совокупности σ2, по-
этому значение F должно были близко к 1. Для четырех групп,
представленных на рис. 3.2, значение F действительно близко
к единице. Теперь наши исследователи влияния диеты на сер-
дечный выброс могут сделать определенные выводы. Получен-
56
ГЛАВА 3
ные в эксперименте данные не противоречат нулевой гипотезе,
следовательно, нет оснований, считать, что диета влияет на
сердечный выброс. Что касается данных, которые мы специально
сконструировали, чтобы убедить читателя в таком «влиянии»
(рис. 3.3), то для них F = 68,0. Для данных, изображенных на
рис. 3.4, F = 24,5. Как видим, величина F хорошо согласуется с
впечатлением, которое складывается при взгляде на рисунок.
Итак, если F значительно превышает 1, нулевую гипотезу
следует отвергнуть. Если же значение F близко к 1, нулевую
гипотезу следует принять. Осталось понять, начиная с какой
именно величины F следует отвергать нулевую гипотезу.
КРИТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ F
Если извлекать случайные выборки из нормально распределен-
ной совокупности, значение F будет меняться от опыта к опыту.
Например, на рис. 3.5 представлен еще один набор из четырех
случайных выборок по семь человек в каждой, извлеченных из
нашей совокупности в 200 человек. На этот раз F = 0,5. Поло-
жим, что нам удалось повторить эксперимент с жителями того
же городка, скажем, 200 раз. Каждый раз мы заново набирали
по четыре группы, и каждый раз вычисляли F. На рис. З.6А при-
ведены результаты этого многократного эксперимента. Значе-
ния F округлены до одного знака после запятой и изображены
кружками. Два черных кружка соответствуют данным с рис. 3.2
и 3.5. Как и следовало ожидать, большинство значений F близко
к единице (попадая в интервал от 0 до 2), только в 10 из 200 опы-
тов (то есть в 5% случаев) мы получили значение F, большее или
равное З. (На рис. 3.6Б эти 10 значений показаны черными круж-
ками). Значит, отвергая нулевую гипотезу при F ≥ 3, мы будем
ошибаться в 5% случаев. Если такой процент ошибок не чрезме-
рен, то будем считать «большими» те значения F, которые боль-
ше или равны 3. Значение критерия, начиная с которого мы от-
вергаем нулевую гипотезу, называется критическим значением.
Вероятность ошибочно отвергнуть верную нулевую гипотезу,
то есть найти различия там, где их нет, обозначается Р. Как прави-
ло, считают достаточным, чтобы эта вероятность не превышала
СРАВНЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ГРУПП: ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
57
5%. (Максимальная приемлемая вероятность ошибочно отверг-
нуть нулевую гипотезу называется уровнем значимости и обо-
значается α). Почему бы не повысить критическое значение F
тем самым, уменьшая эту вероятность? Однако в этом случае
возрастет риск ошибочно принять неверную нулевую гипотезу
(то есть не найти различий там, где они есть). Подробнее мы
поговорим об этом в гл. 6.
Итак, мы решили, приняв допустимой 5% вероятность ошиб-
ки, отвергать нулевую гипотезу при F > 3. Однако критическое
значение F следовало бы выбрать на основе не 200, а всех 1042
экспериментов, которые можно провести на совокупности из
200 человек. Предположим, что нам удалось провести все эти
эксперименты. По их результатам мы вычислили соответству-
ющие значения F и нанесли их на график (рис. 3.6В). Здесь каж-
дое значение F изображено «песчинкой». На долю темных пес-
чинок в правой части горки приходится 5% всех значений. Кар-
тина, в общем, похожа на ту, что мы видели рис. 3.6Б. На прак-
тике совокупности гораздо больше, чем население нашего го-
родка, а число возможных значений F несравненно больше 1042.
Если мысленно увеличить объем совокупности до бесконечно-
сти, то песчинки сольются, и получится гладкая кривая, изобра-
женная на рис. 3.6Г. Площади под кривой аналогичны долям от
общего числа кружков или песчинок на рис. 3.6А, Б и В. Зашт-
рихованная область на рис. 3.6Г составляет 5% всей площади
под кривой. Эта область начинается от F = 3,01, это и есть кри-
тическое значение F.
В нашем примере число групп равнялось 4, в каждую группу
входило 7 человек. Если бы число групп или число членов в каж-
дой группе было другим, кривая пошла бы по-другому и крити-
ческое значение F тоже было бы другим. Вообще, критическое
значение F однозначно определяется уровнем значимости (обычно
0,05 или 0,01) и еще двумя параметрами, которые называются
внутригрупповым и межгрупповым числом степеней свободы и
обозначаются греческой буквой ν («ню»). Оставим в стороне воп-
рос о происхождении этих названии и просто укажем, как их оп-
ределять. Межгрупповое число степеней свободы — это число
групп минус единица νмеж = m - 1. Внутригрупповое число степе-
ней свободы — это произведение числа групп на численность
58
ГЛАВА 3
Рис. 3.6. А. Четыре случайные выборки по 7 человек в каждой извлекли из той же сово-
купности (население городка) 200 раз. Каждый раз рассчитывали значение F и наноси-
ли его на график. Результаты для выборок с рис. 3.2 и 3.5 помечены черным. Б. Десять
наибольших значений помечень черньм. Область черных кружков начинается со значе-
ния F, равного 3,0.
каждой из групп минус единица νвну = m (n - 1). В примере с ис-
следованием диеты межгрупповое число степеней свободы равно
4 - 1 = 3, а внутригрупповое 4 (7 - 1) = 24. Вычислить критичес-
кое значение F довольно сложно, поэтому пользуются таблицами
критических значений F для разных α, νмеж и νвну. (табл. 3.1).
Математическая модель, на которой основано вычисление
критических значений F предполагает следующее.
• Каждая выборка независима от остальных выборок.
• Каждая выборка случайным образом извлечена из исследуе-
мой совокупности.
СРАВНЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ГРУПП: ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
59
Г
0
1,0
2,0
3,0
4,0
Значение F
Рис. 3.6. (продолжение). В. Из той же совокупности извлекли все воэможнье
наборы из 4 выборок по 7 человек в каждой и построили распределение F. От-
дельные значения слились, превратившись в песчинки. 5% песчинок с самыми
большими значениями F помечены черным. Г. Такое распределение F получит-
ся, если извлекать выборки из бесконечной совокупности. Пяти процентам са-
мых высоких значений F соответствует заштрихованная область (ее площадь
составляет 5% от общей площади всей кривой). «Большие» значения F начина-
ются там, где начинается эта область, то есть с F = 3,01.
• Совокупность нормально распределена.
• Дисперсии всех выборок равны.
При существенном нарушении хотя бы одного из этих усло-
вий нельзя пользоваться ни таблицей 3.1, ни вообще дисперси-
онным анализом.
В рассмотренном нами эксперименте исследовалась зависи-
мость только от одного фактора — диеты. Дисперсионный ана-
Таблица 3.1. Критические значения F для α = 0,05 (обычный шрифт) и α = 0,01 (жирный шрифт)
νмеж
νвну
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14
16
20
24
30
40
50
75
100
200
500
∞
1
161
199
216
225
230
234
237
239
241
242
243
244
245
246
248
249
250
251
252
253
253
254
254
254
4052 4999 5404 5624 5764
5859 5928 5981 6022 6056 6083 6107 6143 6170 6209
6234 6260 6286 6302 6324 6334 6350 6360 6366
2
18,51 19,00 19,16 19,25 19,30
19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,40 19,41 19,42 19,43 19,45
19,45 19,46 19,47 19,48 19,48 19,49 19,49 19,49 19,50
98,50 99,00 99,16 99,25 99,30
99,33 99,36 99,38 99,39 99,40 99,41 99,42 99,43 99,44 99,45
99,46 99,47 99,48 99,48 99,48 99,49 99,49 99,50 99,50
3
10,13
9,55
9,28
9,12
9,01
8,94
8,89
8,85
8,81
8,79
8,76
8,74
8,71
8,69
8,66
8,64
8,62
8,59
8,58
8,56
8,55
8,54
8,53
8,53
34,12 30,82 29,46 28,71 28,24
27,91 27,67 27,49 27,34 27,23 27,13 27,05 26,92 26,83 26,69
26,60 26,50 26,41 26,35 26,28 26,24 26,18 26,15 26,13
4
7,71
6,94
6,59
6,39
6,26
6,16
6,09
6,04
6,00
5,96
5,94
5,91
5,87
5,84
5,80
5,77
5,75
5,72
5,70
5,68
5,66
5,65
5,64
5,63
21,20 18,00 16,69 15,98 15,52
15,21 14,98 14,80 14,66 14,55 14,45 14,37 14,25 14,15 14,02
13,93 13,84 13,75 13,69 13,61 13,58 13,52 13,49 13,46
5
6,61
5,79
5,41
5,19
5,05
4,95
4,88
4,82
4,77
4,74
4,70
4,68
4,64
4,60
4,56
4,53
4,50
4,46
4,44
4,42
4,41
4,39
4,37
4,37
16,26 13,27 12,06
11,39 10,97
10,67 10,46 10,29 10,16 10,05
9,96
9,89
9,77
9,68
9,55
9,47
9,38
9,29
9,24
9,17
9,13
9,08
9,04
9,02
6
5,99
5,14
4,76
4,53
4,39
4,28
4,21
4,15
4,10
4,06
4,03
4,00
3,96
3,92
3,87
3,84
3,81
3,77
3,75
3,73
3,71
3,69
3,68
3,67
13,75 10,92
9,78
9,15
8,75
8,47
8,26
8,10
7,98
7,87
7,79
7,72
7,60
7,52
7,40
7,31
7,23
7,14
7,09
7,02
6,99
6,93
6,90
6,88
7
5,59
4,74
4,35
4,12
3,97
3,87
3,79
3,73
3,68
3,64
3,60
3,57
3,53
3,49
3,44
3,41
3,38
3,34
3,32
3,29
3,27
3,25
3,24
3,23
12,25
9,55
8,45
7,85
7,46
7,19
6,99
6,84
6,72
6,62
6,54
6,47
6,36
6,28
6,16
6,07
5,99
5,91
5,86
5,79
5,75
5,70
5,67
5,65
8
5,32
4,46
4,07
3,84
3,69
3,58
3,50
3,44
3,39
3,35
3,31
3,28
3,24
3,20
3,15
3,12
3,08
3,04
3,02
2,99
2,97
2,95
2,94
2,93
11,26
8,65
7,59
7,01
6,63
6,37
6,18
6,03
5,91
5,81
5,73
5,67
5,56
5,48
5,36
5,28
5,20
5,12
5,07
5,00
4,96
4,91
4,88
4,86
9
5,12
4,26
3,86
3,63
3,48
3,37
3,29
3,23
3,18
3,14
3,10
3,07
3,03
2,99
2,94
2,90
2,86
2,83
2,80
2,77
2,76
2,73
2,72
2,71
10,56
8,02
6,99
6,42
6,06
5,80
5,61
5,47
5,35
5,26
5,18
5,11
5,01
4,92
4,81
4,73
4,65
4,57
4,52
4,45
4,41
4,36
4,33
4,31
10
4,96
4,10
3,71
3,48
3,33
3,22
3,14
3,07
3,02
2,98
2,94
2,91
2,86
2,83
2,77
2,74
2,70
2,66
2,64
2,60
2,59
2,56
2,55
2,54
10,04
7,56
6,55
5,99
5,64
5,39
5,20
5,06
4,94
4,85
4,77
4,71
4,60
4,52
4,41
4,33
4,25
4,17
4,12
4,05
4,01
3,96
3,93
3,91
11
4,84
3,98
3,59
3,36
3,20
3,09
3,01
2,95
2,90
2,85
2,82
2,79
2,74
2,70
2,65
2,61
2,57
2,53
2,51
2,47
2,46
2,43
2,42
2,41
9,65
7,21
6,22
5,67
5,32
5,07
4,89
4,74
4,63
4,54
4,46
4,40
4,29
4,21
4,10
4,02
3,94
3,86
3,81
3,74
3,71
3,66
3,62
3,60
12
4,75
3,89
3,49
3,26
3,11
3,00
2,91
2,85
2,80
2,75
2,72
2,69
2,64
2,60
2,54
2,51
2,47
2,43
2,40
2,37
2,35
2,32
2,31
2,30
9,33
6,93
5,95
5,41
5,06
4,82
4,64
4,50
4,39
4,30
4,22
4,16
4,05
3,97
3,86
3,78
3,70
3,62
3,57
3,50
3,47
3,41
3,38
3,36
13
4,67
3,81
3,41
3,18
3,03
2,92
2,83
2,77
2,71
2,67
2,63
2,60
2,55
2,51
2,46
2,42
2,38
2,34
2,31
2,28
2,26
2,23
2,22
2,21
9,07
6,70
5,74
5,21
4,86
4,62
4,44
4,30
4,19
4,10
4,02
3,96
3,86
3,78
3,66
3,59
3,51
3,43
3,38
3,31
3,27
3,22
3,19
3,17
14
4,60
3,74
3,34
3,11
2,96
2,85
2,76
2,70
2,65
2,60
2,57
2,53
2,48
2,44
2,39
2,35
2,31
2,27
2,24
2,21
2,19
2,16
2,14
2,13
8,86
6,51
5,56
5,04
4,69
4,46
4,28
4,14
4,03
3,94
3,86
3,80
3,70
3,62
3,51
3,43
3,35
3,27
3,22
3,15
3,11
3,06
3,03
3,01
15
4,54
3,68
3,29
3,06
2,90
2,79
2,71
2,64
2,59
2,54
2,51
2,48
2,42
2,38
2,33
2,29
2,25
2,20
2,18
2,14
2,12
2,10
2,08
2,07
8,68
6,36
5,42
4,89
4,56
4,32
4,14
4,00
3,89
3,80
3,73
3,67
3,56
3,49
3,37
3,29
3,21
3,13
3,08
3,01
2,98
2,92
2,89
2,87
16
4,49
3,63
3,24
3,01
2,85
2,74
2,66
2,59
2,54
2,49
2,46
2,42
2,37
2,33
2,28
2,24
2,19
2,15
2,12
2,09
2,07
2,04
2,02
2,01
8,53
6,23
5,29
4,77
4,44
4,20
4,03
3,89
3,78
3,69
3,62
3,55
3,45
3,37
3,26
3,18
3,10
3,02
2,97
2,90
2,86
2,81
2,78
2,75
17
4,45
3,59
3,20
2,96
2,81
2,70
2,61
2,55
2,49
2,45
2,41
2,38
2,33
2,29
2,23
2,19
2,15
2,10
2,08
2,04
2,02
1,99
1,97
1,96
8,40
6,11
5,19
4,67
4,34
4,10
3,93
3,79
3,68
3,59
3,52
3,46
3,35
3,27
3,16
3,08
3,00
2,92
2,87
2,80
2,76
2,71
2,68
2,65
18
4,41
3,55
3,16
2,93
2,77
2,66
2,58
2,51
2,46
2,41
2,37
2,34
2,29
2,25
2,19
2,15
2,11
2,06
2,04
2,00
1,98
1,95
1,93
1,92
8,29
6,01
5,09
4,58
4,25
4,01
3,84
3,71
3,60
3,51
3,43
3,37
3,27
3,19
3,08
3,00
2,92
2,84
2,78
2,71
2,68
2,62
2,59
2,57
19
4,38
3,52
3,13
2,90
2,74
2,63
2,54
2,48
2,42
2,38
2,34
2,31
2,26
2,21
2,16
2,11
2,07
2,03
2,00
1,96
1,94
1,91
1,89
1,88
8,18
5,93
5,01
4,50
4,17
3,94
3,77
3,63
3,52
3,43
3,36
3,30
3,19
3,12
3,00
2,92
2,84
2,76
2,71
2,64
2,60
2,55
2,51
2,49
20
4,35
3,49
3,10
2,87
2,71
2,60
2,51
2,45
2,39
2,35
2,31
2,28
2,22
2,18
2,12
2,08
2,04
1,99
1,97
1,93
1,91
1,88
1,86
1,84
8,10
5,85
4,94
4,43
4,10
3,87
3,70
3,56
3,46
3,37
3,29
3,23
3,13
3,05
2,94
2,86
2,78
2,69
2,64
2,57
2,54
2,48
2,44
2,42
21
4,32
3,47
3,07
2,84
2,68
2,57
2,49
2,42
2,37
2,32
2,28
2,25
2,20
2,16
2,10
2,05
2,01
1,96
1,94
1,90
1,88
1,84
1,83
1,81
8,02
5,78
4,87
4,37
4,04
3,81
3,64
3,51
3,40
3,31
3,24
3,17
3,07
2,99
2,88
2,80
2,72
2,64
2,58
2,51
2,48
2,42
2,38
2,36
22
4,30
3,44
3,05
2,82
2,66
2,55
2,46
2,40
2,34
2,30
2,26
2,23
2,17
2,13
2,07
2,03
1,98
1,94
1,91
1,87
1,85
1,82
1,80
1,78
7,95
5,72
4,82
4,31
3,99
3,76
3,59
3,45
3,35
3,26
3,18
3,12
3,02
2,94
2,83
2,75
2,67
2,58
2,53
2,46
2,42
2,36
2,33
2,31
23
4,28
3,42
3,03
2,80
2,64
2,53
2,44
2,37
2,32
2,27
2,24
2,20
2,15
2,11
2,05
2,01
1,96
1,91
1,88
1,84
1,82
1,79
1,77
1,76
7,88
5,66
4,76
4,26
3,94
3,71
3,54
3,41
3,30
3,21
3,14
3,07
2,97
2,89
2,78
2,70
2,62
2,54
2,48
2,41
2,37
2,32
2,28
2,26
24
4,26
3,40
3,01
2,78
2,62
2,51
2,42
2,36
2,30
2,25
2,22
2,18
2,13
2,09
2,03
1,98
1,94
1,89
1,86
1,82
1,80
1,77
1,75
1,73
7,82
5,61
4,72
4,22
3,90
3,67
3,50
3,36
3,26
3,17
3,09
3,03
2,93
2,85
2,74
2,66
2,58
2,49
2,44
2,37
2,33
2,27
2,24
2,21
25
4,24
3,39
2,99
2,76
2,60
2,49
2,40
2,34
2,28
2,24
2,20
2,16
2,11
2,07
2,01
1,96
1,92
1,87
1,84
1,80
1,78
1,75
1,73
1,71
7,77
5,57
4,68
4,18
3,85
3,63
3,46
3,32
3,22
3,13
3,06
2,99
2,89
2,81
2,70
2,62
2,54
2,45
2,40
2,33
2,29
2,23
2,19
2,17
26
4,23
3,37
2,98
2,74
2,59
2,47
2,39
2,32
2,27
2,22
2,18
2,15
2,09
2,05
1,99
1,95
1,90
1,85
1,82
1,78
1,76
1,73
1,71
1,69
7,72
5,53
4,64
4,14
3,82
3,59
3,42
3,29
3,18
3,09
3,02
2,96
2,86
2,78
2,66
2,58
2,50
2,42
2,36
2,29
2,25
2,19
2,16
2,13
27
4,21
3,35
2,96
2,73
2,57
2,46
2,37
2,31
2,25
2,20
2,17
2,13
2,08
2,04
1,97
1,93
1,88
1,84
1,81
1,76
1,74
1,71
1,69
1,67
7,68
5,49
4,60
4,11
3,78
3,56
3,39
3,26
3,15
3,06
2,99
2,93
2,82
2,75
2,63
2,55
2,47
2,38
2,33
2,26
2,22
2,16
2,12
2,10
28
4,20
3,34
2,95
2,71
2,56
2,45
2,36
2,29
2,24
2,19
2,15
2,12
2,06
2,02
1,96
1,91
1,87
1,82
1,79
1,75
1,73
1,69
1,67
1,65
7,64
5,45
4,57
4,07
3,75
3,53
3,36
3,23
3,12
3,03
2,96
2,90
2,79
2,72
2,60
2,52
2,44
2,35
2,30
2,23
2,19
2,13
2,09
2,07
29
4,18
3,33
2,93
2,70
2,55
2,43
2,35
2,28
2,22
2,18
2,14
2,10
2,05
2,01
1,94
1,90
1,85
1,81
1,77
1,73
1,71
1,67
1,65
1,64
7,60
5,42
4,54
4,04
3,73
3,50
3,33
3,20
3,09
3,00
2,93
2,87
2,77
2,69
2,57
2,49
2,41
2,33
2,27
2,20
2,16
2,10
2,06
2,04
30
4,17
3,32
2,92
2,69
2,53
2,42
2,33
2,27
2,21
2,16
2,13
2,09
2,04
1,99
1,93
1,89
1,84
1,79
1,76
1,72
1,70
1,66
1,64
1,62
7,56
5,39
4,51
4,02
3,70
3,47
3,30
3,17
3,07
2,98
2,91
2,84
2,74
2,66
2,55
2,47
2,39
2,30
2,25
2,17
2,13
2,07
2,03
2,01
32
4,15
3,29
2,90
2,67
2,51
2,40
2,31
2,24
2,19
2,14
2,10
2,07
2,01
1,97
1,91
1,86
1,82
1,77
1,74
1,69
1,67
1,63
1,61
1,60
7,50
5,34
4,46
3,97
3,65
3,43
3,26
3,13
3,02
2,93
2,86
2,80
2,70
2,62
2,50
2,42
2,34
2,25
2,20
2,12
2,08
2,02
1,98
1,96
34
4,13
3,28
2,88
2,65
2,49
2,38
2,29
2,23
2,17
2,12
2,08
2,05
1,99
1,95
1,89
1,84
1,80
1,75
1,71
1,67
1,65
1,61
1,59
1,57
7,44
5,29
4,42
3,93
3,61
3,39
3,22
3,09
2,98
2,89
2,82
2,76
2,66
2,58
2,46
2,38
2,30
2,21
2,16
2,08
2,04
1,98
1,94
1,91
Таблица 3.1. Критические значения F для α = 0,05 (обычный шрифт) и α = 0,01 (жирный шрифт)
ν
меж
νвну
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14
16
20
24
30
40
50
75
100
200
500
∞
36
4,11
3,26
2,87
2,63
2,48
2,36
2,28
2,21
2,15
2,11
2,07
2,03
1,98
1,93
1,87
1,82
1,78
1,73
1,69
1,65
1,62
1,59
1,56
1,55
7,40
5,25
4,38
3,89
3,57
3,35
3,18
3,05
2,95
2,86
2,79
2,72
2,62
2,54
2,43
2,35
2,26
2,18
2,12
2,04
2,00
1,94
1,90
1,87
38
4,10
3,24
2,85
2,62
2,46
2,35
2,26
2,19
2,14
2,09
2,05
2,02
1,96
1,92
1,85
1,81
1,76
1,71
1,68
1,63
1,61
1,57
1,54
1,53
7,35
5,21
4,34
3,86
3,54
3,32
3,15
3,02
2,92
2,83
2,75
2,69
2,59
2,51
2,40
2,32
2,23
2,14
2,09
2,01
1,97
1,90
1,86
1,84
40
4,08
3,23
2,84
2,61
2,45
2,34
2,25
2,18
2,12
2,08
2,04
2,00
1,95
1,90
1,84
1,79
1,74
1,69
1,66
1,61
1,59
1,55
1,53
1,51
7,31
5,18
4,31
3,83
3,51
3,29
3,12
2,99
2,89
2,80
2,73
2,66
2,56
2,48
2,37
2,29
2,20
2,11
2,06
1,98
1,94
1,87
1,83
1,81
42
4,07
3,22
2,83
2,59
2,44
2,32
2,24
2,17
2,11
2,06
2,03
1,99
1,94
1,89
1,83
1,78
1,73
1,68
1,65
1,60
1,57
1,53
1,51
1,49
7,28
5,15
4,29
3,80
3,49
3,27
3,10
2,97
2,86
2,78
2,70
2,64
2,54
2,46
2,34
2,26
2,18
2,09
2,03
1,95
1,91
1,85
1,80
1,78
44
4,06
3,21
2,82
2,58
2,43
2,31
2,23
2,16
2,10
2,05
2,01
1,98
1,92
1,88
1,81
1,77
1,72
1,67
1,63
1,59
1,56
1,52
1,49
1,48
7,25
5,12
4,26
3,78
3,47
3,24
3,08
2,95
2,84
2,75
2,68
2,62
2,52
2,44
2,32
2,24
2,15
2,07
2,01
1,93
1,89
1,82
1,78
1,75
46
4,05
3,20
2,81
2,57
2,42
2,30
2,22
2,15
2,09
2,04
2,00
1,97
1,91
1,87
1,80
1,76
1,71
1,65
1,62
1,57
1,55
1,51
1,48
1,46
7,22
5,10
4,24
3,76
3,44
3,22
3,06
2,93
2,82
2,73
2,66
2,60
2,50
2,42
2,30
2,22
2,13
2,04
1,99
1,91
1,86
1,80
1,76
1,73
48
4,04
3,19
2,80
2,57
2,41
2,29
2,21
2,14
2,08
2,03
1,99
1,96
1,90
1,86
1,79
1,75
1,70
1,64
1,61
1,56
1,54
1,49
1,47
1,45
7,19
5,08
4,22
3,74
3,43
3,20
3,04
2,91
2,80
2,71
2,64
2,58
2,48
2,40
2,28
2,20
2,12
2,02
1,97
1,89
1,84
1,78
1,73
1,71
50
4,03
3,18
2,79
2,56
2,40
2,29
2,20
2,13
2,07
2,03
1,99
1,95
1,89
1,85
1,78
1,74
1,69
1,63
1,60
1,55
1,52
1,48
1,46
1,44
7,17
5,06
4,20
3,72
3,41
3,19
3,02
2,89
2,78
2,70
2,63
2,56
2,46
2,38
2,27
2,18
2,10
2,01
1,95
1,87
1,82
1,76
1,71
1,68
60
4,00
3,15
2,76
2,53
2,37
2,25
2,17
2,10
2,04
1,99
1,95
1,92
1,86
1,82
1,75
1,70
1,65
1,59
1,56
1,51
1,48
1,44
1,41
1,39
7,08
4,98
4,13
3,65
3,34
3,12
2,95
2,82
2,72
2,63
2,56
2,50
2,39
2,31
2,20
2,12
2,03
1,94
1,88
1,79
1,75
1,68
1,63
1,60
70
3,98
3,13
2,74
2,50
2,35
2,23
2,14
2,07
2,02
1,97
1,93
1,89
1,84
1,79
1,72
1,67
1,62
1,57
1,53
1,48
1,45
1,40
1,37
1,35
7,01
4,92
4,07
3,60
3,29
3,07
2,91
2,78
2,67
2,59
2,51
2,45
2,35
2,27
2,15
2,07
1,98
1,89
1,83
1,74
1,70
1,62
1,57
1,54
80
3,96
3,11
2,72
2,49
2,33
2,21
2,13
2,06
2,00
1,95
1,91
1,88
1,82
1,77
1,70
1,65
1,60
1,54
1,51
1,45
1,43
1,38
1,35
1,33
6,96
4,88
4,04
3,56
3,26
3,04
2,87
2,74
2,64
2,55
2,48
2,42
2,31
2,23
2,12
2,03
1,94
1,85
1,79
1,70
1,65
1,58
1,53
1,50
100
3,94
3,09
2,70
2,46
2,31
2,19
2,10
2,03
1,97
1,93
1,89
1,85
1,79
1,75
1,68
1,63
1,57
1,52
1,48
1,42
1,39
1,34
1,31
1,28
6,90
4,82
3,98
3,51
3,21
2,99
2,82
2,69
2,59
2,50
2,43
2,37
2,27
2,19
2,07
1,98
1,89
1,80
1,74
1,65
1,60
1,52
1,47
1,43
120
3,92
3,07
2,68
2,45
2,29
2,18
2,09
2,02
1,96
1,91
1,87
1,83
1,78
1,73
1,66
1,61
1,55
1,50
1,46
1,40
1,37
1,32
1,28
1,26
6,85
4,79
3,95
3,48
3,17
2,96
2,79
2,66
2,56
2,47
2,40
2,34
2,23
2,15
2,03
1,95
1,86
1,76
1,70
1,61
1,56
1,48
1,42
1,38
∞
3,84
3,00
2,61
2,37
2,21
2,10
2,01
1,94
1,88
1,83
1,79
1,75
1,69
1,64
1,57
1,52
1,46
1,40
1,35
1,28
1,25
1,17
1,11
1,03
G. W. Snedecor, W. G. Cochran. Statistical methods. Iowa State University Press, Ames, 1978.
СРАВНЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ГРУПП: ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
63
лиз, в котором проверяется влияние одного фактора, называет-
ся однофакторным. При изучении влияния более чем одного
фактора используют многофакторный дисперсионный анализ
(в этой книге не рассматривается).
ТРИ ПРИМЕРА
Сейчас мы уже можем оценивать статистическую значимость
реальных данных. Покажем это на трех примерах, заимствован-
ных из медицинской литературы. Оговорюсь, что при изложе-
нии этих примеров мне пришлось несколько отклониться от пер-
воисточников. Тому есть две причины. Во-первых, в медицинс-
ких публикациях обычно приводят не сами данные, а средние
величины и прочие обобщенные показатели. Нередко дело об-
стоит и того хуже. Минуя все промежуточные этапы, авторы
сообщают, что «Р < 0,05». Поэтому «данные из литературных
источников» по большей части являются плодом моих собствен-
ных догадок, какими могли бы быть исходные данные. Во-вто-
рых. дисперсионный анализ в том виде, как мы его изложили,
требует, чтобы численность всех групп была одинаковой. По-
этому мне пришлось видоизменять приводимые в работах дан-
ные так, чтобы соблюсти это требование. Впоследствии мы обоб-
щим наши статистические методы, и их можно будет приме-
нять и при неравной численности групп.
Позволяет ли правильное лечение сократить срок
госпитализации?
Стоимость пребывания в больнице — самая весомая статья рас-
ходов на здравоохранение. Сокращение госпитализации без сни-
жения качества лечения дало бы значительный экономический
эффект. Способствует ли соблюдение официальных схем лече-
ния сокращению госпитализации? Чтобы ответить на этот воп-
рос, Кнапп и соавт.*изучили истории болезни лиц, поступив-
* D. Е. Knapp, D. А. Knapp, М. К. Speedie, D. M. Yaeger, С. L. Baker
Relationship of inappropriate drug prescribing to increased length of hospital
stay. Am. J. Hosp. Pharm., 36:1334-1337, 1979.
64
ГЛАВА 3
ших в бесплатную больницу с острым пиелонефритом. Острый пи-
елонефрит был выбран как заболевание, имеющее четко очерчен-
ную клиническую картину и столь же четко регламентированные
методы лечения.
Эта работа — пример обсервационного исследования. В от-
личие от экспериментального исследования, где исследователь
сам формирует группы и сам оказывает то или иное воздействие
в обсервационном исследовании он может лишь наблюдать те-
чение процесса. С другой стороны, это исследование — рет-
роспективное, поскольку имеет дело с данными, полученными
в прошлом (в отличие от проспективного).
В обсервационном исследовании мы никогда не можем га-
рантировать, что группы различаются только тем признаком, по
которому они были сформированы. Этот неустранимый недо-
статок исследований такого рода. Известно, например, что ку-
рильщики чаще болеют раком легких. Это считается доказатель-
ством того, что курение вызывает рак легких. Однако возможна
и другая точка зрения у людей с генетической предрасположен-
ностью к раку легких существует и генетическая предрасполо-
женность к курению. В обсервационном исследовании отверг-
нуть такое объяснение невозможно.
Ретроспективное исследование, естественно, всегда являет-
ся обсервационным, разделяя недостатки последнего, оно обла-
дает и рядом собственных. Исследователь использует инфор-
мацию, собранную для других целей, — естественно, часть ее
приходится реконструировать, еще часть неизбежно теряется.
Меняются методы исследования, диагностические критерии и
сами представления о нозологических единицах, наконец, ис-
тории болезни ведутся порой небрежно. Кроме того, имея весь
материал в руках, здесь особенно трудно удержаться от непред-
намеренной подтасовки.
Тем не менее, ретроспективные исследования проводились и бу-
дут проводиться. Они недороги и позволяют получить большой
объем информации в короткий срок. Последнее особенно важно в
случае редкого заболевания при проспективном исследовании на сбор
данных уйдут годы. В примере, который мы разбираем, проспек-
тивное исследование вообще невозможно нельзя же, в самом деле,
одну группу больных лечить правильно, а другую неправильно.
СРАВНЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ГРУПП: ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
65
Чтобы избежать ловушек обсервационного (и особенно рет-
роспективного) исследования, чрезвычайно важно в явном виде
задать критерии, по которым больных относили к той или иной
группе. Самому исследователю это поможет избежать невольно-
го самообмана, читателю работы это даст возможность судить,
насколько результаты исследования приложимы к его больным.
Кнапп и соавт. сформулировали следующие критерии вклю-
чения в исследование.
1. Диагноз при выписке — острый пиелонефрит.
2. При поступлении— боли в пояснице, температура выше 37,8°С.
3. Бактериурия более 100 000 колоний/мл, определена чувстви-
тельность к антибиотикам.
4. Возраст от 18 до 44 лет (больных старше 44 лет не включали
в связи с высокой вероятностью сопутствующих заболева-
ний, ограничивающих выбор терапии).
5. Отсутствие почечной, печеночной недостаточности, а также
заболеваний, требующих хирургического лечения (эти состо-
яния тоже ограничивают выбор терапии).
6. Больной был выписан в связи с улучшением (то есть не поки-
нул больницу самовольно, не умер и не был переведен в дру-
гое лечебное учреждение).
Кроме того, исследователи сформулировали критерий того, что
считать «правильным» лечением. Правильным считалось лече-
ние, соответствующее рекомендациям авторитетного справочни-
ка по лекарственным средствам «Physicians’ Desk Reference» («На-
стольный справочник врача»). По этому критерию больных раз-
делили на две группы леченных правильно (1-я группа) и непра-
вильно (2-я группа). В обеих группах было по 36 больных.
Результат представлен на рис. 3.7. Средняя длительность гос-
питализации составила для первой группы 4,51 сут. (стандарт-
ное отклонение 1,98 сут.), для второй группы 6,28 сут. (стандар-
тное отклонение 2,54 сут). Можно ли считать эти различия слу-
чайными? Прибегнем к дисперсионному анализу.
Вычислим сначала внутригрупповую дисперсию как сред-
нюю дисперсий обеих групп:
2
1
2
2
1
2
2
s
=
s
+s
=
1,98
+
2,54
=5,19.
вну
(
1
2
)
(
)
2
2
66
ГЛАВА 3
Рис. 3.7. Длительность госпитализации при правильном (1-я руппа) и непра-
вильном лечении. Каждый больгой обозначен кружком; положение кружка со-
ответствует сроку госпитализации. Средняя длительность госпитализации в
первой группе меньше, чем во второй. Можно ли отнести это различие на счет
случайности?
Теперь вычислим межгрупповую дисперсию.
Среднее двух выборочных средних равно
1
1
X =
(
X
1
+X
2
)
=
(
4,51+6, 28
)
=5, 40,
2
2
следовательно, стандартное отклонение равно
2
2
X
−
X
+
X
−
X
(
1
)
(
2
)
s
=
=
X
m−1
2
2
(
4,51−5, 40
)
+
(
6, 28−5, 40
)
=
=1, 25
2−1
и наконец межгрупповая дисперсия равна
2
2
2
s
= ns
=36×1, 25
=56, 25
меж
X
СРАВНЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ГРУПП: ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
67
Теперь можно вычислить F — как отношение межгруппо-
вой к внутригрупповой дисперсии:
2
s
меж
56, 25
F
=
=
=10,84
2
s
5,19
вну
Рассчитаем межгрупповое и внутри групповое число степе-
ней свободы νмеж = 2 - 1 = 1, νвну = 2 (36 - 1) = 70. Теперь по
таблице 3.1 найдем критическое значение F. На пересечении
столбца «1» и строки «70» находим число 7,01, набранное жир-
ным шрифтом. То есть при уровне значимости 0,01 критичес-
кое значение F составляет 7,01. Итак, на наш вопрос можно ли
считать различия в длительности госпитализации случайными
мы можем дать ответ, вероятность этого весьма мала меньше
1%. Леченные правильно находились в больнице меньше чем,
леченные неправильно и различия эти статистически значимы.
Значит ли это, что благодаря правильному лечению больные выз-
доравливают быстрее? Увы, нет. Как это всегда бывает в обсер-
вационном исследовании, мы не можем исключить того, что
группы различались чем-то еще кроме лечения. Может быть,
врачи, которые лечат «по справочнику» просто более склонны
быстрее выписывать своих больных?
Галотан и морфин при операциях на открытом сердце
Галотан препарат, широко используемый при общей анестезии.
Он обладает сильным действием, удобен в применении и очень
надежен. Галотан — газ его можно вводить через респиратор.
Поступая в организм через легкие, галотан действует быстро и
кратковременно поэтому, регулируя подачу препарата можно
оперативно управлять анестезией. Однако галотан имеет суще-
ственный недостаток — он угнетает сократимость миокарда и
расширяет вены, что ведет к падению АД. В связи с этим было
предложено вместо галотана для общей анестезии применять
морфин, который не снижает АД. Т. Конахан и соавт.* сравнили
* Т. J. Conahan III, A. J. Ominsky, H. Wollman R. A. Stroth. A prospective
random comparison of halothane and morphine for open heart anesthesia: one
year expenence. Anesthesiology, 38:528-535, 1973.
68
ГЛАВА 3
галотановую и морфиновую анестезию у больных, подвергшихся
операции на открытом сердце.
В исследование включали больных, у которых не было про-
тивопоказаний ни к галотану, ни к морфину. Способ анестезии
(галотан или морфин) выбирали случайным образом.
Такое исследование — со случайно отобранной контрольной
группой (то есть рандомизированное) и наличием воздействия
со стороны исследователя — называется рандомизированным
контролируемым клиническим испытанием или просто конт-
ролируемым испытанием. Контролируемое испытание — это
всегда проспективное исследование (данные получают после
начала исследования), кроме того, это экспериментальное ис-
следование (воздействие оказывает исследователь). Экспери-
мент, который в естественных науках давно стал основным ме-
тодом исследования, в медицине получил распространение срав-
нительно недавно. Значение контролируемых испытаний труд-
но переоценить. Благодаря рандомизации мы уверены в том, что
группы различаются только исследуемым признаком, тем самым
преодолевается основной недостаток обсервационных исследо-
ваний. В отличие от ретроспективного исследования, в проспек-
тивном исследовании никто до его завершения не знает, к чему
оно приведет. Это уменьшает риск невольной подтасовки, о ко-
торой мы говорили выше. Быть может, по этим причинам конт-
ролируемые испытания нередко приводят к заключению о не-
эффективности того или иного метода лечения, когда обсерва-
ционное исследование, напротив, доказывает его эффектив-
ность*.
Но почему в таком случае не все методы лечения проходят
контролируемое испытание? Немаловажную роль играет кон-
серватизм, когда метод уже вошел в практику, трудно убедить
врачей и больных, что его эффективность еще нуждается в под-
тверждении. Рандомизация психологически трудна: предлагая
* Превосходное обсуждение значения контролируемых испытаний в ме-
дицине, а также нелицеприятный анализ того сколь малая часть обще-
принятых методов лечения в действительности приносит, хоть какую ни
будь пользу, можно найти в работе А. К. Cochran. Effectiveness and efficien-
cy: random reflections on health services. Nuffield Provincial Hospitals Trust,
London, 1972.
содержание .. 2 3 4 5 ..