Медико-биологическая статистика - часть 2

24

ГЛАВА 1

дим, статистические ошибки встречаются примерно в полови-

не статей. Однако дальнейшие исследования показали, что жур-

налам, в которых взяли за правило обращать внимание не толь-

ко на медицинскую, но и статистическую сторону дела удалось

существенно снизить долю ошибочных статей. Эта доля нима-

ло не изменилась в тех журналах, которые так и не ввели стати-

стического рецензирования.

Врачам известно множество методов диагностики и лечения,

эффективность которых была «доказана» статистическими ме-

тодами и которые, тем не менее, канули в Лету, не выдержав

проверки практикой. А сколь часто приходится читать статьи, в

которых статистические манипуляции с одними и теми же дан-

ными приводят к прямо противоположным выводам. Все это

наводит читателя на мысль, что статистические методы либо

ненадежны, либо слишком трудны для понимания, либо вооб-

ще не более чем инструмент недобросовестного исследователя.

Между тем даже начального знакомства со статистикой в соче-

тании со здравым смыслом обычно достаточно чтобы понять,

что предлагает нам автор в качестве «доказательств». По иро-

нии судьбы ошибки редко связаны с тонкими статистическими

вопросами. Как правило, это простейшие ошибки такие, как от-

сутствие контрольной группы использование неслучайных вы-

борок или пренебрежение статистической проверкой гипотез.

По неизвестным науке причинам такие ошибки неизменно сме-

щают результаты исследования в пользу предлагаемого автором

метода.

Вред, приносимый ошибками такого рода, очевиден. Иссле-

дователь заявляет о «статистически достоверном» эффекте ле-

чения, редактор помещает статью в журнал, врач неспособный

критически оценить публикацию, применяет неэффективный

метод лечения. В конце этой цепи находится больной, который

и расплачивается за все, подвергаясь ненужному риску и не по-

лучая действительно эффективного лечения. Не следует сбра-

сывать со счетов и ущерб от самого факта проведения бессмыс-

ленных исследований. Деньги и подопытные животные прино-

сятся в жертву науке, больные рискуют ради сбора ошибочно

интерпретируемых данных.

Сегодня грамотная проверка эффективности лечения стано-

СТАТИСТИКА И КЛИНИЧЕСКАЯ ПРАКТИКА

25

вится первоочередной задачей. Исследования должны тщатель-

но планироваться, а результаты правильно интерпретироваться.

ОШИБКИ ВЕЧНЫ?

Поскольку описанные ошибки совершаются в массовом поряд-

ке, ничто не побуждает исследователей корректно использовать

статистические методы. Редко кому приходилось слышать кри-

тические замечания, на сей счет. Наоборот, исследователи час-

то опасаются, что их коллеги, а особенно рецензенты, сочтут

грамотно и полно изложенную статистическую процедуру вы-

сокомерной теоретизацией.

Журналы призваны быть оплотом качества научных иссле-

довании. В некоторых редакциях действительно осознали, что

их рецензенты не слишком сведущи в использовании элемен-

тарной статистики, и изменили саму процедуру рецензирова-

ния. Теперь перед тем как направить рукопись на рецензию, ее

тщательно проверяют на предмет правильности использования

статистических методов. Результатом этого нередко становится

пересмотр используемых в статье статистических методов, а

иногда и самих выводов*.

Но большинство редакторов, похоже, убеждены, что каждый

рецензент рассматривает статистическую сторону работы столь

же тщательно, сколь и собственно медицинскую. Неясно, одна-

ко, как он может это сделать — ведь даже авторы ведущих ме-

дицинских журналов, упоминая статистическую проверку ги-

потез, редко затрудняют себя указанием, какой именно крите-

рий был использован.

Коротко говоря, для грамотного чтения медицинской лите-

ратуры необходимо научиться понимать и оценивать правиль-

ность применения статистических методов, используемых для

анализа результатов. К счастью, основные идеи, которыми необ-

* Подробнее о существующей в редакциях практике работы с рукописями

см. М. J. Gardner, J. Bond An exploratory study of statistical assessment of

papers published in the British Medical Journal. JAMA, 263:1355-1357, 1990, a

тaкжe S. А. Glantz It is all in the numbers. J. Am. Coll. Cardiol., 21:835-837,

1993.

26

ГЛАВА 1

ходимо овладеть вдумчивому читателю (и, конечно, вдумчиво-

му исследователю), довольно просты. В следующей главе мы

приступим к их обсуждению.

Глава 2

Как описать данные

В этой книге мы встретимся с двумя типами задач. Первый тип

задач, — как сжато, описать данные. Этими задачами занимает-

ся так называемая описательная статистика. Задачи второго типа

связаны с оценкой статистической значимости различий и во-

обще с проверкой гипотез. В этой главе мы рассмотрим задачи

первого типа — как наилучшим образом описать данные.

Если значения интересующего нас признака у большинства

объектов близки к их среднему и с равной вероятностью откло-

няются от него в большую или меньшую сторону, лучшими ха-

рактеристиками совокупности будут само среднее значение и

стандартное отклонение. Напротив, когда значения признака

распределены несимметрично относительно среднего, совокуп-

ность лучше описать с помощью медианы и процентилей.

Возможно, сказанное давно вам известно. Тогда смело пере-

ходите к следующей главе. Тех же, для кого термины вроде про-

центиля звучат туманно, мы приглашаем приступить к изуче-

нию марсиан.

28

ГЛАВА 2

Поначалу займемся, каким-нибудь количественным призна-

ком, например ростом. Чтобы попусту не фантазировать слета-

ем на Марс и измерим всех марсиан благо их всего две сотни.

Результаты приведены на рис. 2.1 (мы округлили рост до целого

числа сантиметров). Каждому марсианину соответствует кру-

жок так, что, например два кружка над числом 30 означают, что

имеются два марсианина ростом 30 см. Рис 2.1 это распределе-

ние марсиан по росту. Мы видим, что рост большинства марси-

ан — от 35 до 45 см. Коротышек (ниже 30 см) совсем немного

— всего трое, и столько же великанов (выше 50 см).

Окрыленные успехом марсианского проекта мы решаем из-

мерить венецианцев. Легко находим деньги на путешествие и,

вооружившись линейками, измеряем всех 150 обитателей Ве-

неры. Научный отчет об экспедиции будет звучать так: «Редко

встретишь венерианца ниже 10 см или выше 20 см, а чаше по-

падаются 15-сантиметровые, см. рис. 2.2».

Но вот остались позади нелегкие межпланетные перелеты.

Настала пора скрупулезного анализа данных. Сравним рис. 2.1

и 2.2. Мы видим, что венерианцы ниже марсиан и что интервал, в

Марсиане

N = 200

30

35

40

45

50

Рис. 2.1. Распределение марсиан по росту. Каждому марсианину соответствует кружок.

Обратите внимание, что марсиан среднего роста (около 40 см) больше всего и что высо-

корослых столько же, сколько коротышек — распределение симметрично.

КАК ОПИСАТЬ ДАННЫЕ

29

который умещается рост всех марсиан шире, чем соответству-

ющий интервал для венерианцев. Ширина интервала, в кото-

рый попадают почти все марсиане (194 из 200) — 20 см (от 30

до 50 см). Рост большинства венерианцев (144 из 150) умещает-

ся в интервал от 10 до 20 см, то есть имеет ширину всего лишь

10 см. Несмотря на эти различия между двумя совокупностями

инопланетян имеется и существенное сходство. В обоих рост

любого члена скорее близок к середине распределения, нежели

заметно от нее удален и одинаково вероятно может быть как

выше, так и ниже середины. Распределения на рис. 2.1 и 2.2

имеют схожую форму и приближенно определяются одной и

той же формулой.

Раз существует множество похожих распределений, значит,

для характеристики одного из них достаточно указать чем оно

отличается от других ему подобных, то есть всю собранную ин-

формацию мы можем свести к нескольким числам, которые на-

зываются параметрами распределения. Это среднее значение

и стандартное отклонение.

• •• •• • •• • •

N = 150

10

15

20

••••,••

Рис. 2.2. Распределение венерианцев по росту. Венерианцы ниже марсиан, разброс зна-

чений меньше. Однако по форме распределения, напоминающей колокол, венерианцы

и марсиане схожи друг с другом.

30

ГЛАВА 2

Расположив мысленно распределения марсиан и венерианцев

на одной шкале роста, мы увидим, что распределение венери-

анцев находится ниже, чем распределение марсиан. Характери-

стика положения распределения на числовой оси называется

средним. Среднее по совокупности обозначают греческой бук-

вой µ (читается "мю") и вычисляют по формуле:

Сумма значений признака

для всех членов совокупности

Среднее по совокупности =

Число членов совокупности

Эквивалентное математическое выражение имеет вид

X

µ=∑

,

N

где X — значение признака, N — число членов совокупности.

Как всегда, большая греческая буква Σ (читается «сигма») обо-

значает сумму. Подставив в формулу добытые нами данные,

получим ценное дополнение к научному отчету: средний рост

марсиан 40 см, а венерианцев — 15 см.

СТАНДАРТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ

Еще на Венере мы заметили, что тамошние жители более одно-

родны по росту, нежели марсиане. Хотелось бы и это впечатле-

ние оформить количественно, то есть иметь показатель разбро-

са значений относительно среднего. Ясно, что для характерис-

тики разброса все равно, в какую сторону отклоняется значение

— в большую или меньшую. Иными словами, отрицательные и

положительные отклонения должны вносить равный вклад в ха-

рактеристику разброса. Воспользуемся тем, что квадраты двух

равных по абсолютной величине чисел равны между собой, и

вычислим средний квадрат отклонения от среднего. Этот пока-

затель носит название дисперсии и обозначается σ2. Чем боль-

ше разброс значений, тем больше дисперсия. Дисперсию вы-

числяют по формуле:

КАК ОПИСАТЬ ДАННЫЕ

31

(

X

−

µ

)2

2

σ

=∑

N

Как видно из формулы, дисперсия измеряется в единицах,

равных квадрату единицы измерения соответствующей величи-

ны. Например, дисперсия измеряемого в сантиметрах роста сама

измеряется в квадратных сантиметрах. Это довольно неудобно.

Поэтому чаще используют квадратный корень из дисперсии —

стандартное отклонение σ (маленькая греческая буква «сиг-

ма»):

(

X

−

µ

)2

2

∑

σ = σ

=

N

Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что

исходные данные. Например, стандартное отклонение роста

марсиан составляет 5 см, а венерианцев — 2,5 см.

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Таблица 2.1 сжато представляет то, что мы узнали о марсианах

и венерианцах. Таблица очень информативна, из нее можно уз-

нать об объеме совокупности, о среднем росте и о том, насколь-

ко велик разброс относительно среднего.

Вновь обратившись к рис. 2.1 и 2.2, мы обнаружим, что на

обеих планетах рост примерно 68% обитателей отличается от

среднего не более чем на одно стандартное отклонение и при-

мерно 95% — на два стандартных отклонения. Подобные рас-

пределения встречаются очень часто. Можно сказать, что это про-

исходит всегда, когда некая величина отклоняется от средней под

действием множества слабых, независимых друг от друга факто-

Таблица 2.1. Параметры распределения марсиан и венериан-

цев по росту

Объем

Стандартное

совокупности Среднее, см отклонение, см

Марсиане

200

40

5

Венерианцы 150

15

2,5

32

ГЛАВА 2

ров. Распределение такого рода называется нормальным (или

гауссовым) и описывается формулой:

1

(

X

−µ)2

1

2

2

σ

f

(

X

)

=

e

σ

2π

Заметим, что нормальное распределение полностью опреде-

ляется средней µ и стандартным отклонением σ. Поэтому све-

дения в табл. 2.1 — это не просто удачное представление дан-

ных.

МЕДИАНА И ПРОЦЕНТИЛИ

И снова в путь! Обогатившись теоретическими познаниями, мы

отправляемся на Юпитер. Здесь мы не только измеряем всех до

одного юпитериан, но также подсчитываем среднее и стандарт-

ное отклонение роста для всей их совокупности. Оказывается

средний рост юпитериан — 37,6 см, а его стандартное отклоне-

ние — 4,5 см. Можно заключить, что юпитериане очень похожи

на марсиан, ведь близки оба параметра определяющие нормаль-

ное распределение — среднее и стандартное отклонение.

Однако если взглянуть на исходные данные по юпитерианам

(рис. 2.ЗА), то обнаружится совершенно иная картина. На са-

мом деле типичный юпитерианин довольно приземист — око-

ло 35 см, то есть на добрых 5 см ниже марсианина. И только

небольшая группа долговязых смещает значения стандартного

отклонения и среднего вводя ученых в заблуждение.

Итак, рост произвольно выбранного юпитерианина вовсе не

равновероятно может оказаться выше или ниже среднего, то есть

распределение юпитериан по росту асимметрично. В такой си-

туации полагаться на среднее и стандартное отклонение нельзя.

На рис. 2.ЗБ изображено нормальное распределение для совокуп-

ности с теми же самыми значениями среднего и стандартного

отклонения, что и на рис. 2.ЗА. Оно ничуть не похоже на распре-

деление юпитериан. Таким образом, доверившись среднему и

стандартному отклонению, мы получим превратное представ-

КАК ОПИСАТЬ ДАННЫЕ

33

Рис. 2.3. Если распределение асимметрично полагаться на среднее и стандартное от-

клонение нельзя. А. Распределение юпитериан по росту. Б. Нормальное распределение

с теми же средним и стандартным отклонением, не смотря на тождественность пара-

метров, оно ничуть не похоже на реальное распределение юпитериан.

ление о совокупности, не подчиняющейся нормальному распре-

делению.

Для описания таких данных лучше подходит не среднее, а

медиана. Медиана — это значение, которое делит распределе-

ние пополам половина значений больше медианы половина —

меньше (точнее не больше). Из рис. 2.4А видно, что ровно по-

ловина юпитериан выше 36 см. Стало быть 36 см — это медиа-

на роста юпитериан.

Для характеристики разброса роста юпитериан найдем зна-

чения, не выше которых оказались 25 и 75% результатов измере-

34

ГЛАВА 2

А

Медиана (50-й процентиль)

Б

25-й процентиль

75-й процентиль

30

35

40

45

50

Рост, см

Рис. 2.4. Для описания асимметричного распределения следует использовать медиану

и процентили. Медиана — это значение, которое делит распределение пополам. А. Ме-

диана роста юпитериан — 36 см. Б. 25-й и 75-й процентили отсекают четверть самых

низких и четверть самых высоких юпитериан 25-й процентиль ближе к медиане, чем

75-й — это говорит об асимметричности распределения.

КАК ОПИСАТЬ ДАННЫЕ

35

ния. Эти величины называются 25-м и 75-м процентилями. Если

медиана делит распределение пополам, то 25-й и 75-й процен-

тили отсекают от него по четвертушке. (Саму медиану, кстати,

можно считать 50-м процентилем). Для юпитериан, как видно

из рис. 2.4Б, 25-й и 75-й процентили равны соответственно 34

см и 40 см. Конечно, медиана и процентили, в отличие от сред-

него и стандартного отклонения, не дают полного описания рас-

пределения. Однако между 25 м и 75-м процентилями находит-

ся половина значений, - значит, мы можем судить, каков ростом

средний юпитерианин. По положению медианы относительно

25-го и 75-го процентилей можно судить о том, насколько асим-

метрично распределение. И наконец, теперь мы примерно зна-

ем, кто на Юпитере считается высоким (выше 75-го проценти-

ля), а кто ростом не вышел (ниже 25-го процентиля).

Для описания распределения чаще всего применяют 25-й и

75-й процентили. Однако можно рассчитывать любые другие

процентили. Например, в качестве границ нормы лабораторных

показателей часто используют 5-й и 95-й процентили.

Вычисление процентилей — хороший способ разобраться в

том, насколько распределение близко к нормальному. Напом-

ним, что для нормального распределения 95% значений заклю-

чено в пределах двух стандартных отклонений от среднего и

68% — в пределах одного стандартного отклонения, медиана

совпадает со средним. Соответствие между процентилями и

числом стандартных отклонений от среднего таково (см. также

рис. 2.5):

Процентили

Отклонения от среднего

2,5

µ - 2σ

16

µ - σ

50

µ

84

µ + σ

97,5

µ + 2σ

Если соответствие между процентилями и отклонениями от

среднего не слишком отличается от приведенного, то распреде-

ление близко к нормальному и его можно описать при помощи

среднего и стандартного отклонения.

36

ГЛАВА 2

Рис. 2.5. Нормальное распределение, соответствие между числом стандартных откло-

нений от среднего и процентилями.

Есть еще одна, и очень важная, причина, по которой нужно

знать, близко ли распределение к нормальному. Дело в том, что

многие методы проверки гипотез, в частности рассматриваемые

в гл. 2, 4 и 9, основаны на предположении что распределение

близко к нормальному. Только в этом случае эти методы будут

надежны. (Методы, не требующие нормальности распределе-

ния, изложены в гл. 10)

ВЫБОРОЧНЫЕ ОЦЕНКИ

До сих пор нам удавалось получить данные обо всех объектах

совокупности, поэтому мы могли точно рассчитать значения сред-

него, дисперсии и стандартного отклонения. На самом деле об-

следовать все объекты совокупности удается редко: обычно до-

вольствуются изучением выборки, полагая, что эта выборка от-

ражает свойства совокупности. Выборку, отражающую свойства

совокупности, называют представительной. Имея дело с выбор-

кой, мы, конечно, не узнаем точных значений среднего и стан-

КАК ОПИСАТЬ ДАННЫЕ

37

дартного отклонения, но можем оценить их. Опенка среднего,

вычисленная по выборке называется выборочным средним. Вы-

борочное среднее обозначают X и вычисляют по формуле:

X

X

=∑

n

где n - объем выборки.

Оценка стандартного отклонения называется выборочным стан-

дартным отклонением (s) и определяется следующим образом:

∑

(

X −X

)2

s

=

n−1

Эта формула отличается от формулы для стандартного от-

клонения по совокупности. Во-первых, среднее µ заменяется

его выборочной оценкой — X . Во-вторых, в знаменателе из

числа членов выборки вычитается единица. Строгое обоснова-

ние последнего требует основательной математической подго-

товки, поэтому ограничимся следующим объяснением. Разброс

значений в пределах выборки никогда не бывает столь большим,

как во всей совокупности, и деление не на n, а на n - 1 компенси-

рует возникающее занижение оценки стандартного отклонения.

Подытожим. Если известно, что выборка скорее всего при-

надлежит к совокупности с нормальным распределением, луч-

ше всего использовать выборочное среднее и выборочное стан-

дартное отклонение. Если есть основания полагать, что распре-

деление в совокупности отличается от нормального, следует ис-

пользовать медиану, 25-й и 75-й процентили.

НАСКОЛЬКО ТОЧНЫ ВЫБОРОЧНЫЕ ОЦЕНКИ

Выборочное среднее и выборочное стандартное отклонение есть

оценки среднего и стандартного отклонения для совокупности,

вычисленные по случайной выборке. Понятно, что разные выбор-

ки дадут разные оценки. Для характеристики точности выбороч-

ных оценок используют стандартную ошибку. Стандартную ошиб-

ку можно подсчитать для любого показателя, но сейчас мы

остановимся на стандартной ошибке среднего, — она позволяет

38

ГЛАВА 2

Рис. 2.6. Три случайные выборки из одной совокупности дают три разных оценки сред-

него и стандартного отклонения.

оценить точность, с которой выборочное среднее характеризу-

ет значение среднего по всей совокупности.

На рис. 2.6А представлено уже знакомое нам распределение

марсиан по росту. Мы уже знаем рост каждого марсианина. По-

смотрим, что получится, если оценивать средний рост по вы-

борке объемом, скажем, 10 марсиан.

Из 200 обитателей Марса наугад выберем 10 и пометим их

черными кружками (рис. 2.6А). На рис. 2.6Б эта выборка изобра-

жена в виде, принятом в журнальных публикациях. Точка и два