Сопротивление материалов - часть 29



Рис. 8.2

Таким образом, нейтральная линия не проходит через начало ко-

ординат  в  сечении.  Как  следствие,  наибольшие  растягивающие  и
сжимающие напряжения получаются различной величины для любого
сечения. Эпюра нормальных напряжений в сечении (эп.

σσσσ

) показана на

рис. 8.2,б.  Максимальные  напряжения  определяются  для  точки,  наи-
более  удалённой  от  нейтральной  линии  (координаты 

x

m

, 

y

m

  т.М  на

рис. 8.2,б):

σσσσ

m ax

x

x

m

y

y

m

J

+

J

=

N

F

++++

M

M

y

x

.

(8.10)

8.3. Внецентренное растяжение (сжатие)
Внецентренным  растяжением  (сжатием)  называется  деформа-

ция  бруса  при  действии  двух  равных  и  противоположно  направлен-
ных  сил  по  линии,  параллельной  оси  бруса  и  не  совпадающей  с  ней
(рис. 8.3,а).

В любом поперечном сечении бруса возникают следующие внут-

ренние силовые факторы (на рис. 8.3,б изображение нормальной силы
N соответствует внецентренному растяжению):

N = P;  

M

x 

= P

⋅⋅⋅⋅

y

p

;  

M

y 

= P x

p

,

(8.11)

где 

x

p

, 

y

p

 - координаты точки приложения силы P в торцевом сечении.

(Расстояние от точки приложения силы до центра сечения называется
эксцентриситетом.)



Рис. 8.3

Таким  образом,  внецентренное  растяжение  (сжатие)  можно  рас-

сматривать как частный случай совместной деформации косого изги-
ба и осевого растяжения (сжатия). Подставляя формулы (8.11) в (8.8),
получим  выражение  для  нормальных  напряжений  в  произвольной
точке сечения:

σσσσ

((((

x,y

=

y

y

x

x =

y y

i

x x

i

)

P

F

+

P

J

+

P

J

P

F

1

p

p

p

2

p

2

x

y

x

y

⋅

⋅

+

+

















, (8.12)

где 

i

x

x

y

y

J /F

J /F

=

=

;  i

 - радиусы  инерции  сечения  относи-

тельно главных осей.

При внецентренном сжатии первое слагаемое в выражении (8.12)

подставляется со знаком минус, т.к. N = 

−−−−

 P.

Положение нейтральной линии определяется из условия 

σσσσ

(x,y)=0.

Тогда из выражения (8.12) получаем уравнение нейтральной линии:

 

+

y y

i

x x

i

=

y

a

x

a

=

1

1

p

2

p

2

x

y

y

x

+

+

0   

   

 

èëè

.

(8.13)

Нейтральная линия в сечении не проходит через начало коорди-

нат (центр сечения). Для её построения удобно использовать отрезки,

отсекаемые  нейтральной  линией  на  координатных  осях: 

a

x

=-i

y

2

/x

p

,

a

y

=-i

x

2

/y

p

 (рис. 8.3,в). Если 

x

p

 > 0, 

y

p

 > 0, то отрезки 

a

x

 < 0, 

a

y

 < 0, т.е.

нейтральная  линия  расположена  по  другую  сторону  от  центра  сече-
ния, чем точка приложения силы P (полюс р). Эпюра нормальных на-
пряжений в сечении (эп.

σσσσ

) показана на рис. 8.3,в. Чем ближе сила P к

оси бруса, тем дальше уходит нейтральная линия от центра сечения.
При  некотором  положении  силы  P  нейтральная  линия  может  быть
расположена  вне  сечения  (рис. 8.3,г):  тогда  во  всех  точках  сечения
возникают напряжения одного знака.

Как  обычно,  опасными  являются  точки,  наиболее  удалённые  от

нейтральной линии. Зная их координаты (

x

m

, y

m

), определяются мак-

симальные напряжения из формулы (8.12):

σσσσ

m ax

x

m

y

m

P

F

+

P

J

+

P

J

p

p

=

y

y

x

x

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

.

(8.14)

Для сечения с выступающими угловыми точками формула (8.14)

упрощается:

σσσσ

m ax

x

y

P

F

+

P

W

+

P

W

p

p

=

y

x

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

.

(8.15)

Для  бруса  из  материала,  по-разному  сопротивляющегося  растя-

жению и сжатию, следует определять максимальные растягивающие и
сжимающие напряжения (например, в т.А и т.В сечения на рис. 8.3,в):

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

m ax

ð

m ax

ñ

p

x

p

y

À

p

p

Â

P

F

+

P

W

+

P

W

x

y

P

F

P

W

P

W

=

=

y

x

=

=

y

x

⋅

⋅

⋅

⋅

;  

-

-

.

(8.16)

Отметим  практические  случаи  возникновения  внецентренного

растяжения (или сжатия) бруса:

1)  конструктивные  элементы  с  эксцентрично  приложенной  на-

грузкой;

2)  конструктивные  элементы  с  односторонними  вырезами  при

осевой нагрузке;

3) стержни с начальным прогибом.
Во  всех  случаях  необходимо  проводить  расчёты  на  прочность,

т.к.  напряжения  при  внецентренном  растяжении  (сжатии)  всегда
больше,  чем  при  чисто  осевой  деформации  за  счёт  дополнительной
деформации изгиба. Особенно это касается элементов конструкций из
хрупких материалов (бетон, кирпич), для которых недопустимы рас-

тягивающие  напряжения  из-за  низкой  прочности  таких  материалов
при растяжении.

8.4. Расчёт на прочность при сложном сопротивлении бруса
Расчёт на прочность для рассмотренных случаев сложного сопро-

тивления  бруса  проводится  так  же,  как  и  при  прямом  изгибе  балки
(см.  формулы (6.12)  и (6.14)  раздела 6.5).  Основными  являются  нор-
мальные напряжения, для которых и записывается условие прочности.

Для бруса из пластичного материала (как правило, 

σσσσ

тр

≈≈≈≈σσσσ

тс

) усло-

вие прочности имеет вид:

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

m ax

[ ]

[ ]

≤

=

;      

ò

ò

n

, (8.17)

где максимальные напряжения 

σσσσ

max

  для  бруса  определяются  по  фор-

мулам (8.5), (8.6), (8.10), (8.14), (8.15).

Для бруса из хрупкого материала, по-разному сопротивляющего-

ся растяжению и сжатию, записываются два условия прочности:

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

m ax

m ax

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

p

p

c

c

p

c

B

B

B

B

p

c

n

n

≤

≤








 ,  ãäå  

=

; 

=

. 

(8.18)

При этом, используя вышеуказанные формулы для 

σσσσ

max

, необхо-

димо отдельно  определять  максимальные  растягивающие  и  сжимаю-
щие  напряжения.  Условия  прочности (8.18)  часто  используются  в
расчётах  элементов  строительных  сооружений  (колонн,  стен  и  др.)
при их внецентренном сжатии.