Сопротивление материалов - часть 28



8. Сложное сопротивление бруса

Ранее рассматривались простейшие виды деформации бруса, при

которых от действия определённых нагрузок в поперечных сечениях
бруса возникали отдельные внутренние силовые факторы: растяжение
и сжатие (N), кручение (

M

к

), прямой изгиб (

M

 и Q). Однако в дру-

гих  случаях  нагружения  в  поперечных  сечениях  бруса  могут  возни-
кать  различные  сочетания  внутренних  силовых  факторов  (в  общем
случае - все  шесть).  Такая  сложная  деформация  бруса  называется
сложным сопротивлением. Используя принцип суперпозиции, слож-
ное  сопротивление  бруса  может  быть  представлено  как  сумма  про-
стых видов деформации. Особо оговаривается лишь случай бруса от-
носительно большой жёсткости при действии сжимающей силы, что-
бы исключить возможность потери устойчивости бруса (см. часть II).
Чаще  всего  рассматривают  специальные  случаи  сложного  сопротив-
ления бруса: косой изгиб, косой изгиб с растяжением (сжатием), вне-
центренное растяжение (сжатие), изгиб с кручением.

8.1. Косой изгиб
Косой  изгиб  возникает  в  случае  действия  поперечной  нагрузки

(P, M, q) в плоскости, проходящей через ось бруса и не совпадающей
ни  с  одной  из  главных  плоскостей  инерции.  Плоскость  действия  на-
грузки называется силовой плоскостью. Главной плоскостью инерции
называется  плоскость,  в  которой  расположены  соответствующие
главные оси инерции всех поперечных сечений бруса. В общем случае
таких  плоскостей  две.  Например,  для  призматического  консольного
бруса (рис. 8.1,а) - вертикальная (Оyz) и горизонтальная (Оxz) плоско-
сти.

Примечание. Исключение составляет брус, имеющий сечение в виде круга

или правильного многоугольника. Для такого бруса никогда не будет косого из-
гиба.

Рассмотрим  особенности  косого  изгиба  на  примере  консольной

призматической балки, нагруженной силой P в торцевом сечении под
углом 

αααα

 к оси y (см. рис. 8.1,а). Разложим силу P на составляющие P

x

и P

y

 по осям:

P

x

 

= P sin

αααα

 ; P

y

 = P cos

αααα

.

(8.1)

Каждая  из  этих  сил  действует  в  одной  из  главных  плоскостей

инерции и вызывает прямой изгиб. Используя принцип суперпозиции,
представим косой изгиб как сумму двух прямых изгибов. Опасное се-
чение - в  заделке,  где  расчётные  значения  изгибающих  моментов  от
сил P

x

 и P

y

 равны:



M

x

=P

y

l = Pl cos

αααα

=

M

cos

αααα

; 

M

y

=P

x

l= Pl sin

αααα

=

M

sin

αααα

; 

M

=Pl. (8.2)

Рис. 8.1

Напряжения при косом изгибе
Запишем  выражения  для  нормальных  напряжений  в  произволь-

ной точке А(x,y) сечения балки (рис. 8.1,б), рассматривая их как сум-
му напряжений для каждого прямого изгиба (см. формулу (6.7)):

σσσσ

((((

x,y

y

x

)

====

M

M

x

x

y

y

J

+

J

.

(8.3)

Для  вычисления  максимальных  напряжений  необходимо  знать

положение  нейтральной  линии  сечения.  Согласно  определению  ней-
тральная  линия  представляет  геометрическое  место  точек,  где  нор-
мальные напряжения равны нулю:

σσσσ

((((

x,y

=

y

x = 0

)

0  èëè  

M

M

x

y

J

+

J

x

y

.

Откуда,  учитывая  соотношения (8.2), получаем  уравнение  ней-

тральной линии при косом изгибе:

y

x   

 

y

tg

x

==== −−−−

⋅⋅⋅⋅

==== −−−−

M

M

y

x

x

y

x

y

J

J

J

J

èëè

   

(

)

αααα

.

(8.4)

Нейтральная линия проходит через центр сечения и расположена

в квадрантах, противоположных тем, где расположена линия силовой
плоскости (рис. 8.1,б). Из условия J

x

≠≠≠≠

J

y

 следует, что нейтральная ли-

ния  не  перпендикулярна  силовой  плоскости.  При  этом  нейтральная
линия  повёрнута  от  направления,  перпендикулярного  силовой  плос-
кости, в сторону главной оси минимального момента инерции. Соот-
ветственно,  при  J

x

=J

y

  невозможен  косой  изгиб,  т.к.  все  центральные

оси сечения являются главными (всегда имеет место прямой изгиб).

Зная  положение  нейтральной  линии,  можно  построить  эпюру

нормальных  напряжений  в  сечении  (эп.

σσσσ

  на  рис. 8.1,б).  Максималь-

ные  напряжения  возникают  в  точках,  наиболее  удалённых  от  ней-
тральной линии (

x

m

, 

y

m

 - координаты такой точки):

σσσσ

m ax

x

x

m

y

y

m

J

+

J

====

M

M

y

x

.

(8.5)

Для сечения произвольной формы координаты x

m

, y

m

 обычно опреде-

ляются графическим образом для точек касания контура сечения ли-
ниями,  параллельными  нейтральной  линии  (рис. 8.1,в).  Для  сечений,
имеющих наружные угловые точки и две плоскости симметрии (пря-
моугольник, двутавр и т.д.) 

x

m

=

x

max

, 

y

m

=

y

max

, максимальные напряже-

ния определяются согласно формул (8.5) и (6.8) наиболее просто, ис-
пользуя  моменты  сопротивления  сечения  относительно  осей 

x

, 

y

(W

x

=J

x

/y

max

, W

y

=J

y

/x

max

):

σσσσ

m ax

x

x

y

y

W

+

W

====

M

M

.

(8.6)

Из формулы (8.6) видно, что при косом изгибе могут значительно

увеличиваться нормальные напряжения в балках, имеющих сечения с
существенно различными моментами сопротивления (например, дву-
тавр, швеллер, для которых W

x 

>>

>>

>>

>>

 W

y

).

Касательные  напряжения  при  косом  изгибе  играют  такую  же

второстепенную  роль,  как  и  при  прямом  изгибе.  При  косом  изгибе
величина  полных  касательных  напряжений  в  определённой  точке
сечения находится как геометрическая сумма компонент 

ττττ

x

 и 

ττττ

y

:

ττττ

ττττ

ττττ

====

++++

x

2

y

2

.

Напряжения 

ττττ

x

 и 

ττττ

y

 вычисляются по формуле (6.11) для каждого пря-

мого  изгиба,  используя  соответствующие  значения  поперечных  сил
Q

x 

и Q

y

.

Перемещения при косом изгибе
При  определении  перемещений  также  применяется  принцип  су-

перпозиции.  Например,  компоненты  линейного  перемещения  центра
сечения 

δδδδ

x

 и 

δδδδ

y

 в главных плоскостях инерции вычисляются с исполь-

зованием какого-нибудь метода, а полное перемещение 

δδδδ

 (по величи-

не и направлению) определяется как геометрическая сумма этих ком-
понент (рис. 8.1,г):

δ

δ δ

δ

δ

β

=

+

x

y

2

2

x

y

 ;     

=

tg

, (8.7)

где 

ββββ

 - угол между вектором 

δδδδ

 и осью Оy.

При  косом  изгибе 

ββββ

 

≠≠≠≠

 

αααα

, a вектор 

δδδδ

  полного  перемещения  пер-

пендикулярен нейтральной линии (см. рис. 8.1,г).

8.2. Косой изгиб с растяжением (сжатием)
В  этом  случае  имеет  место  сложная  деформация  бруса,

включающая  изгиб  и  осевое  растяжение  или  сжатие  (рис. 8.2,а).
Кроме  изгибающих  моментов  (

M

x

  и 

M

y

),  определяемых  для

опасного сечения по формулам (8.2), учитывается и нормальная сила
N= 

±±±±

  P

о

  (знак «+» соответствует  растягивающей  силе  P

о

,  знак  «-» -

сжимающей  силе).  Используя  принцип  суперпозиции,  по  аналогии  с
выражением (8.3) суммарные  напряжения  записываются  следующим
образом:

σσσσ

((((

x,y

N

F

y

x

)

=

+

J

+

J

x

y

x

y

M

M

.

(8.8)

Уравнение  нейтральной  линии  в  сечении  из  условия 

σσσσ

(x,y)

=0

принимает вид:

y

+ b,

-

-

N

= ax

      a =

F

,  b =

M

M

M

y

x

x

J

J

J

x

y

x

⋅

⋅

⋅

 . (8.9)