Сопротивление материалов - часть 26

роны сжатых волокон. Эпюра 

M

 может быть построена с исполь-

зованием выражений (7.2), (7.3) для 

M

1

 и 

M

2

. Либо эта эпюра стро-

ится  непосредственно,  определяя  моменты  в  концевых  сечениях
стержней  рамы  с  использованием  схемы  нагружения,  показанной  на
рис. 7.1,в.

Следует отметить, что из условия равновесия узла А рамы спра-

ведливо равенство моментов, действующих в концевых сечениях схо-
дящихся в этом узле двух стержней (рис. 7.2,б):

M

A1 

= 

M

A2 

= 

M

A

 =Y

C 

l

2 

sin 

αααα

2

.

(7.4)

Если в каком-то узле рамы приложен внешний момент, то внут-

ренние изгибающие моменты в сечениях возле узла будут отличаться
на величину внешнего момента.

В  каждом  сечении  плоской  рамы,  а  значит,  и  узле  рамы  можно

определить три перемещения (рис. 7.2,в): два линейных и одно угло-
вое перемещения. Иначе говоря, узел плоской рамы имеет три степе-
ни свободы.

Рис. 7.2

Для  определения  перемещений  сечений  стержневой  системы

удобно  использовать  метод  Максвелла-Мора  и  способ  Верещагина.
Например, для определения угла поворота (

θ

А

) узла А и горизонталь-

ного  перемещения  (u

С

)  сечения  С  необходимо  рассмотреть  единич-

ные  состояния  системы,  приложив  соответствующие  единичные  на-
грузки,  построить  единичные  эпюры 

⋅

2

1

   

и

   

M

M

(рис. 7.2,г,д)  и  пе-

ремножить  грузовую  эпюру 

M

  (см.  рис. 7.2,а)  на  эпюры

⋅

2

1

   

и

   

M

M

 В результате получим:

 

)

2

3

1

2

  ) 

2

3

( +

+ (

θθθθ

A

=

=

−

=

−

















=

1

1

2

2

3

1

2

2

3

1

1

2

EJ

x

(

(

)

(

),

(

)

),

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

EJ

x

EJ

x

EJ

x

c

l

l

l

l

l

l

l l

 u

1

1

2

2

1

2 2

1

2

1

2

3

3

1

(7.5)

M

M

A1

 

=

=

=

=

+

Y

Y l

Y

Y

l

l

B 1

C 1

B

C

1

1

l

sin

sin

sin

sin

α

α

α

α

1

2

2

1

2

;

;

/(

);

 

 

   

A

1

M

A

cos

cos

=

=

l

l

1

2

α

α

1

2  

;

 

M

А 

=Y

C 

l

2 

sin

αααα

2

.

Следует отметить, что не всегда три связи обеспечивают геомет-

рическую неизменяемость плоской системы. На рис. 7.2,е представле-
на та же рама с тремя связями, но она является мгновенно изменяемой
системой.  Реакция  горизонтальной  связи  Х

С

  не  уравновешивает  мо-

мент, создаваемый силой Р относительно узла В. Рама должна немно-
го повернуться относительно шарнира В как жесткое целое, после че-
го рама станет геометрически  неизменяемой  системой.  При  этом  ре-
акция в подвижном шарнире С изменит направление и сможет урав-
новесить момент, создаваемый силой Р. Однако, величина реакции X

C

должна быть очень большой из-за малости "плеча" реакции. Как след-
ствие,  в  значительной  степени  возрастают  изгибающие  моменты  и
напряжения  в  стержнях,  что  может  привести  к  потере  несущей  спо-
собности рамы.

Статически определимые системы имеют минимально необходи-

мое число внешних и внутренних связей. Три внешние связи (напри-
мер, заделка или неподвижный и подвижный шарниры) препятствуют
перемещению рамы как жесткого целого. По три внутренние связи в
любом  сечении  рамы  препятствуют  взаимному  перемещению  одной
части  рамы  относительно  другой.  Удаление  хотя  бы  одной  внешней
или внутренней связи превращает систему в геометрически изменяе-
мую. Например, удалив одну внутреннюю связь (врезав шарнир) в уз-
ле плоской рамы, получаем изменяемую систему (рис. 7.3,а).

Рис. 7.3

Для восстановления геометрической неизменяемости можно вве-

сти связь, как показано на рис. 7.3,б. Это дает наглядное представле-
ние о ”жестком” узле рамы. Если же элементы соединены шарнирно,
то для неизменяемости плоской стержневой системы необходимо вве-
сти дополнительную (четвертую) внешнюю связь (рис. 7.3,в). В этом
случае  получаем  простейшую  ферменную  (шарнирно-стержневую)
систему. Из-за наличия шарниров по концам стержни в этой системе
только растягиваются или сжимаются. Стержневые системы, элемен-
ты  которых  в  основном  испытывают  деформацию  растяжения  или
сжатия, называются фермами.

Шарнирно-стержневые  системы  (фермы)  могут  быть  нагружены

только  силами,  приложенными  в  узлах.  Для  определения  усилий  в
системе можно использовать два способа.

В  первом  способе  применяется  метод  сечений.  Разрезаются

стержни-связи и одна часть системы с нижними закрепленными шар-
нирами отбрасывается. В сечениях стержней действие отброшенных
частей заменяется усилиями N

1 

и N

2

 (рис. 7.3,г). Уравновешивая ос-

тавшуюся  часть,  определяют  усилия  N

1 

и  N

2

.  Для  этого  составляют

два уравнения равновесия для системы сходящихся сил.

По  второму  способу  усилия  N

1 

и  N

2

  по  линии  действия  перено-

сятся к узлу А (рис. 7.3,д).  Тем  самым  производится  преобразование

усилий  в  реакции  упругих  связей,  действующих  на  узел  А.  Обратим
внимание,  что  реакции,  направленные  от  узла,  соответствуют  растя-
гивающим  усилиям  в  стержнях  (см.  рис. 7.3,г,д).  Реакции  N

1 

и  N

2

,

(усилия в стержнях) опять-таки могут быть определены из уравнений
равновесия узла:

Σ

F

x

 = 0;   -N

1 

sin

α

1

+N

2 

sin

α

2

 +P cos

β

 = 0;   N

1 

=

cos

sin

(

(

)

2

1

2

αααα

αααα

αααα

ββββ

−

+

)

P

;

Σ

F

y

 = 0;  -N

1 

cos

α

1

+N

2 

cos

α

2

 +P sin

β

 =0;  N

2 

=

−

+

+

cos

sin

(

(

)

1

1

2

αααα

αααα

αααα

ββββ

)

P

.  (7.6)

При N 

i 

>>>>

 0 стержень растягивается, а при N 

i 

<<<<

 0 – сжимается.

Выражения  для  N

1 

и  N

2 

можно  получить  проще,  используя  оси,

перпендикулярные стержням.

Для определения перемещений узлов шарнирно-стержневой сис-

темы рационально использовать интеграл Мора (6.23), который с уче-
том постоянства деформаций по длине каждого стержня (

εεεε

 = 

εεεε

i

 ) пре-

образуется в сумму:

∫

∑

∆

=

=

ε

=

δ

l

N

ds

N

 

m

1

i

i

i

l

,

(7.7)

где 

N

i

 – нормальная сила в i-ом стержне в единичном состоянии;

∆∆∆∆

l

i 

- изменение длины i-го стержня в грузовом состоянии; m – число

стержней.

Используя закон Гука для стержня в форме (3.22), учитывающей

силовое, температурное и кинематическое (за счет возможных откло-
нений  длин  от  номинальных  размеров)  воздействия  на  стержень,
формула (7.7) запишется в виде:

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

l

F

l

o

m

m

m

1

T

1

1

T

E

∑

∑

∑

=

∆

=

=

+

δ

+

=

δ

N

N

N

N

.

(7.8)

Отметим,  что  в  ферменных  системах  шарнирные  узлы  имеют

только  линейные  перемещения  или  две  степени  свободы.  Например,
для  определения  горизонтального  перемещения 

u

A

  узла  А  (см.  рис.

7.3,д) необходимо:

1) определить усилия в грузовом состоянии N

1 

и N

2

 по формулам

(7.6);

2)  снять  заданную  нагрузку,  в  узле  А  горизонтально  приложить

единичную  силу  (рис. 7.3,е),  от  которой  найти  усилия  в  единичном
состоянии (усилия 



N

1

 

и 



N

2

 определяются из формул (7.6) при P=1

и 

ββββ

 = 0);