Сопротивление материалов - часть 24

M

1

 = a + b

⋅

z.       (6.28)

Выражение  для  изгибающего
момента 

M

  грузового  состоя-

ния  может  быть  произвольной
функцией  (рис. 6.18).  После
подстановки  выражения (6.28)
в  формулу (6.27) в  результате
преобразований получим:

δ

=

=

=

+

∫

∫

∫

1

1

0

0

0

E J

E J

x

x

( +

z) dz

dz

z

dz

a

b

a

b

l

M

M

M

(

).

l

l

Введём  обозначения  (согласно  геометрическому  смыслу  слагае-

мых):

M

dz

d

l

0

∫

∫

=

ω

ω

ω

ω ==== ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

 

 - площадь грузовой эпюры 

M

 (см. рис.6.18);

z

z

z

z

d

d

l

M

0

∫

∫

=

=

=

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

c

M

S

 - статический  момент  площади  эпюры

M.

Тогда получим:

δδδδ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

====

++++

====

++++

1

EJ

EJ

x

x

(

)

(

)

a

a

bz

bz

c

c

.

Сомножитель в скобках согласно выражения (6.28) является зна-

чением момента 

M

1 

в сечении 

z = z

c

 (см. рис. 6.18). Обозначив 

ηηηη

 =

M

1

(z

c

) = 

a + bz

c

, формула для определения перемещений по способу

Верещагина примет вид:

δδδδ

====

⋅⋅⋅⋅

ω

ω

ω

ω ηηηη

E J

x

.

(6.29)

Таким образом, вычисление перемещений по способу Верещаги-

на сводится к перемножению площади (

ω

ω

ω

ω

) грузовой эпюры 

M

 на ор-

динату  (

ηηηη

)  единичной  эпюры 

M

1

  под  центром  площади  грузовой

эпюры.
Следует  обратить  внимание,  что  эпюры 

M

1

  и 

M

  для  вычисления

перемещений  по  формуле (6.29) должны  удовлетворять  определён-
ным условиям:

1) грузовая эпюра 

M

 непрерывна и сохраняет знак на всем уча-

стке интегрирования;

Рис. 6.18

2) площадь и положение центра площади грузовой эпюры 

M

 из-

вестны или легко определяются;

3)  единичная  эпюра 

M

1

  является  линейной  (а  не  кусочно-

линейной).

В  том  случае,  если  эпюры 

M

  и 

M

1

  не  удовлетворяют  указан-

ным условиям, грузовая эпюра разбивается на 

n

 простых фигур, что-

бы  удовлетворялись  эти  условия,  и  перемещение  вычисляется  по
формуле:

δδδδ

ω

ω

ω

ω ηηηη

====

====

∑

∑

∑

∑

1

E J

x

i i

i

n

1

.

(6.30)

Вспомогательная информация для некоторых фигур приведена в табл. 6.1.

Таблица 6.1

Фигуры  3 - 5  получаются  для  эпюры 

M

,  ограниченной  квадратич-

ной  параболой  (при  действии  распределенной  нагрузки  q = const),
причем  для  фигур  3, 4  (параболические  треугольники)  т.К  должна
быть точкой экстремума (min или max).

Способ  Верещагина  применим  для  вычисления  любого  из  инте-

гралов (6.24) с использованием соответствующих эпюр и жесткостей.
Отметим  ограничение  и  дополнительные  особенности  применения
способа Верещагина (на примере формулы (6.29) для балки).

1.  Способ  Верещагина  применим  только  для  прямолинейного

бруса.

2.  Ступенчатый  брус  следует  разбивать  на  участки  постоянной

жёсткости; тогда расчётная формула примет вид:

δδδδ

ω

ω

ω

ω ηηηη

====

====

∑

∑

∑

∑

i i

i

n

E J

xi

1

.

(6.31)

3. Для бруса переменной жесткости EJ

x

(z) можно построить при-

ведённую  грузовую  эпюру 

Ì

Ì

=

/ÅJ

x

;  тогда  формула (6.30) пре-

образуется к виду:

δδδδ

ω

ω

ω

ω ηηηη

====

====

∑

∑

∑

∑

i

i

n

i

1

.

(6.32)

4. Если обе эпюры (

M

 и 

M

1

) являются линейными, то операция

«перемножения» в формулах (6.29) - (6.31) обладает свойством ком-
мутативности (перестановки), т. е.  можно  умножать  площадь  еди-
ничной эпюры 

ω

ω

ω

ω

1

 на ординату грузовой эпюры 

ηηηη

р

  (

ω

ω

ω

ω⋅⋅⋅⋅ηηηη

=

ω

ω

ω

ω

1

⋅⋅⋅⋅ηηηη

р

)

:

 

δδδδ

====

====

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

ω

ω

ω

ω ηηηη ω

ω

ω

ω ηηηη

E J

E J

x

x

1

ð

.

5.  Знак  каждого  отдельного  произведения 

ω

ω

ω

ω

i

ηηηη

i

  выбирается  сле-

дующим  образом:  если  эпюра 

M

  на  данном  участке  и  соответст-

вующая ордината 

ηηηη

i

 расположены по одну сторону от оси, то произ-

ведение считается положительным, в противном случае - отрицатель-
ным.

6.8. Балки равного сопротивления изгибу

Для уменьшения материалоёмкости конструкции на практике часто приме-

няются балки переменного сечения. При расчете таких балок следует учитывать,
что геометрические характеристики сечения 

J

x

(z), W

x

(z)

 являются функциями про-

дольной  координаты.  Например,  максимальные  напряжения  в  сечении  балки
равны:

σσσσ

m ax

( )

z

z

z

=

M ( )

( )

W

x

,

(6.33)

и  анализ  их  только  для  всей  балки  в  целом  позволяет  выбрать  наибольшие  на-
пряжения 

σσσσ

max

 в опасном сечении. Частным случаем балок переменного  сечения

являются  балки  равного  сопротивления  изгибу  (равнопрочные  балки),  для  ко-
торых во всех сечениях максимальные напряжения одинаковы (в частности, мо-
гут быть равны допускаемым):

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

m ax

( )

[ ])

z

z

z

const

=

=

=

=

M ( )

( )

W

x

m ax

m ax

 ;   (

.

(6.34)

Отсюда  получается  выражение  для 

W

x

(z)

,  через  которое  можно  определять

размеры сечений:

W

x

=

M ( )

m ax

z

σσσσ

. (6.35)

Закон изменения 

W

x

(z)

 определяется и видом нагрузки. Например, консоль-

ная  балка  постоянного  сечения,  нагруженная  сосредоточенным  моментом  (рис.
6.19),  будет  балкой  равного  сопротивления  изгибу,  т.к. 

M

(z) = М,  и  из

выражения (6.35) следует 

W

x

=const

.

В то же время в зависимости от формы сечения балки выбор размеров сече-

ния  является  неоднозначным,  поэтому  может  существовать  бесчисленное  мно-
жество равнопрочных балок. Рассмотрим это на примере консольной балки пря-
моугольного сечения, нагруженной силой 

Р

 (рис. 6.20).

         

Рис. 6.19 

Рис. 6.20

Принимая 

σσσσ

max

=

[σσσσ]

  и  учитывая,  что 



M



=  Pz

  (см.  рис. 6.20), из  выражения

(6.35) получаем:

W

( )

h

P

x

z

b z

z

z

====

====

( )

( )

2

6

[σ]

[σ]

[σ]

[σ]

    (6.36)

Рассмотрим  три  варианта  изменения  сече-

ния по длине балки:

1)  

h = const,  b = b(z);

2)  

b = const,  h = h(z);

3)  

h(z)/b(z) = c = const.

В  результате  для  каждого  варианта  из

выражения (6.35) получаются следующие кон-
структивные схемы равнопрочных балок:

1) 

b z

z

( )

[ ]

=

6

2

P

h

σ

   (рис. 6.21,а);

2) 

h

P

b

( )

[ ]

z

z

=

6

σ

   (рис. 6.21,б);

3) 

b z

z

( )

[ ]

====

6

2

3

P

c

σσσσ

;  

h

P c

( )

[ ]

z

z

====

6

3

σσσσ

 (рис. 6.21,в).

Размеры сечений балок в заделке нетрудно получить при z = l.
Ясно, что существуют и другие варианты выбора параметров сечения (b, h),

и в каждом случае получается свой объём (масса) равнопрочной балки. При этом
всегда  получается  экономия  материала  по  сравнению  с  балкой  постоянного  се-
чения 

(b

o

,  h

o

)

  при 

σσσσ

max

 = 

[σσσσ]

.  Так,  в  первом  варианте  получается  балка  в  два  раза

меньшей массы по сравнению с балкой постоянного сечения.

При проектировании балки равного сопротивления при поперечном изгибе

следует  учитывать  и  действие  касательных  напряжений.  В  рассматриваемом

примере  (см.  рис. 6.20) существуют
минимальные  размеры  (

b

min

,  h

min

)

сечения,  которые  определяются  из
условия:

ττττ

ττττ

m ax

[ ]

=

≤

3

2

P

h

b

 

 

.

Так,  в  первом  варианте  (см.  рис.

6.21,а)  получается 

b

m in

]

=

3

2

P

[ h

τ

,  и

балку треугольной формы в плане следует «скорректировать» по ширине на сво-
бодном конце, как показано на рис. 6.22.

Рис. 6.21

Рис. 6.22