Сопротивление материалов - часть 23

6.7.2.  Метод единичной нагрузки. Интеграл Мора
Общие  методы  определения  перемещений  в  упругих  системах

основаны  на  использовании  вариационных  принципов  механики.
Наиболее  часто  применяется  принцип  возможных  перемещений
(принцип Лагранжа): если упругая система находится в равновесии,
то сумма работ всех внешних и внутренних сил на возможных беско-
нечно малых перемещениях равна нулю. В математической форме это
можно записать так:

P

U

j j

j

δδδδ

∑

∑

∑

∑

++++ ====

0,

 (6.22)

где P

j

 - внешняя сила; 

δδδδ

j

 - возможное перемещение точки приложения

силы P

j

;  U - возможная работа внутренних сил.

Под  возможными  понимаются  такие  перемещения,  которые  мо-

гут быть осуществлены для данной  системы  в  соответствии  с  имею-
щимися  опорами,  не  нарушая  сплошности  системы.  Чем  меньше  пе-
ремещения,  тем  точнее  соблюдается  принцип  Лагранжа.  Учитывая
малость перемещений в реальных упругих системах, такие перемеще-
ния  можно  принимать  в  качестве  возможных.  Работа  внешних  и
внутренних сил на возможных перемещениях называется возможной
работой.

Пусть  криволинейный  брус  испытывает  плоскую  деформацию

под  действием  произвольной  нагрузки,  которую  символически  обо-
значим силой Р (рис. 6.17,а). Требуется определить перемещение се-
чения К в заданном i-ом направлении (

δδδδ

ê

(i)

).

Рассмотрим  два  состояния  заданной  системы.  Исходное  состоя-

ние  системы  при  действии  реальной  нагрузки,  в  котором  возникает
искомое  перемещение,  называется  действительным  или  грузовым
состоянием.  Вспомогательное  состояние  системы  определяется
действием  соответствующей  единичной  нагрузки  и  называется  еди-
ничным состоянием (рис.6.17,б). Термин «перемещение» понимает-
ся  в  обобщённом  смысле:  линейное  или  угловое  перемещение.  Вво-
димая  единичная  нагрузка  должна  соответствовать  искомому
перемещению:  прикладывается  в  заданном  сечении  и  в  заданном
направлении;  прикладывается  единичная  сила  (

P

1

====

),  если  опре-

деляется линейное перемещение, или единичный момент  (

M

1

====

),

если определяется угол поворота.

Рис. 6.17

В  рассматриваемом  методе  принцип  возможных  перемещений

записывается для единичного состояния. При действии единичной на-
грузки в поперечных сечениях бруса возникают внутренние силовые
факторы: нормальная сила N

1

, изгибающий момент 

M

1

 и поперечная

сила  Q

1

.  Возможные  перемещения  определяются  дополнительным

деформированным  состоянием,  которое  накладывается  на  упругую
систему,  до  того  находившуюся  в  равновесии  под  действием  прило-
женной  нагрузки.  В  качестве  возможных  принимаются  реальные  пе-
ремещения  бруса  в  грузовом  состоянии,  при  котором  в  поперечных
сечениях бруса возникают внутренние силовые факторы  N, 

M

, Q.

Для единичного состояния внешней силой является только 

P

1

====

,

которая  совершает  работу  на  искомых  перемещениях 

δδδδ

Ê

i

( )

;  поэтому

возможная работа внешних сил равна 

P

ê

(i)

⋅⋅⋅⋅ δδδδ

. При составлении работы

внутренних сил рассматривается деформация элемента бруса длиной

ds

 (см. рис. 6.17). Условно считая левое  сечение  неподвижным,  пра-

вое сечение получит такие смещения: при растяжении (сжатии) - осе-

вое перемещение 

εεεε⋅

ds

; при изгибе - поворот 

d

θθθθ

=k

⋅

ds

; при сдвиге - по-

перечное  перемещение 

γγγγ⋅

ds  (см.  рис. 6.17,а).  Работа  dU  внутренних

сил для элемента бруса всегда отрицательная, т.к. эти силы являются
силами  упругого  сопротивления  и  препятствуют  развитию  деформа-
ции. Поэтому получим:

d

N

ds

kds

ds

U

Q

1

= −

⋅

−

⋅

−

⋅

1

1

ε

γ

M

.

Перемещения за счёт сдвига записаны при условии равномерного

распределения  касательных  напряжений  в  сечении.  Учитывая  нерав-
номерность  их  распределения  при  изгибе  (см.  раздел 6.4), вводится
поправочный  коэффициент  k

c

 - коэффициент  формы  сечения  (для

прямоугольного сечения k

c

 = 6/5, для сплошного круглого сечения k

c

= 10/9 и т.д.).

Для бруса в целом работа внутренних сил получается интегриро-

ванием  выражения  для  dU  по  длине  l.  Подстановка  полученных  вы-
ражений в формулу (6.22) даёт уравнение:

1

Q

0

K

(i)

1

1

1

⋅⋅⋅⋅

−−−−

−−−−

−−−−

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

δδδδ

γγγγ

N

ds

kds

k

ds=

l

l

l

0

0

0

εεεε

M

c

.

Откуда выражение для искомого перемещения получается в виде

δδδδ

γγγγ

K

(i)

1

1

1

Q

=

−

−

∫

∫

∫

N

ds

kds

k

ds

l

l

l

0

0

0

εεεε

M

c

.

(6.23)

Подставляя  в  выражение (6.23) ранее  полученные  зависимости  для
деформаций 

εεεε

,  k, 

γγγγ

  через  внутренние  силовые  факторы  (

εεεε

=N/EF,

k=

M

 /EJ

x

, 

γγγγ

=Q/GF), получаем расчётную формулу для определения

перемещений:

δδδδ

K

i

x

1

1

1

E

E J

Q

Q

G

( )

=

N N ds

F

+

ds

k

ds

F

0

l

0

l

0

l

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

++++

M

M

c

.

(6.24)

Формула (6.24) носит название интеграла Мора.
В случае расчёта бруса, имеющего несколько участков, формула

(6.24) может быть представлена в следующем виде:

δδδδ

K

i

i i

i

i

i i

i 1

m

1

i

1i

i

1i

i

E

E J

Q

Q

G

( )

=

N

N ds

F

+

ds

k

ds

F

i

i

i

i

0

l

x

0

l

0

l

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∑

∑

∑

∑

++++











====

M

M

ci

, (6.25)

где m - количество участков бруса.

Вклад  каждого  из  интегралов  в  формулу (6.24) различный,  что

обычно  учитывается  при  расчёте  конкретного  бруса.  Для  бруса  при
растяжении-сжатии  учитывается  только  первый  интеграл.  При  плос-

ком изгибе прямолинейного бруса обычно учитывается только второй
интеграл:

δδδδ

K

i

x

1

E J

( )

=

dz

0

l

M

M

∫∫∫∫

.

(6.26)

Определение  перемещений  по  методу  единичной  нагрузки  про-

водится в следующем порядке.

1.  

Брус разбивается на участки в соответствии с действующей на-

грузкой и характером изменения жесткости.

2.  

На каждом участке для грузового состояния составляются вы-

ражения для N, Q, 

M

 в произвольном сечении бруса.

3.  

Рассматривается  единичное  состояние  бруса,  определяемого

действием  соответствующей  единичной  нагрузки:  в  направлении  ис-
комого  перемещения  при  определении  линейного  перемещения  при-
кладывается сила 

P

 = 1, при определении углового перемещения мо-

мент 

M

 = 1.

4.  

На каждом участке бруса для единичного состояния  составля-

ются выражения для N

1

, 

M

1

, Q

1

 в произвольном сечении бруса.

5.  Вычисляется  перемещение  по  формуле (6.24) (или (6.25),

(6.26).

Положительное значение показывает, что перемещение происхо-

дит  по  направлению  приложенной  единичной  нагрузки,  отрица-
тельное - в направлении, противоположном приложенной единичной
нагрузки.

6.7.3. Способ Верещагина
Использование формул (6.24) - (6.26) связано с необходимостью

вычисления  интегралов,  иногда - путем  численного  интегрирования.
Существуют  различные  способы,  облегчающие  вычисление  этих  ин-
тегралов. Один из них, графоаналитический способ А.К. Верещаги-
на, применяется для прямолинейного бруса.

Рассмотрим  прямолинейную  балку  постоянной  жесткости

(EJ

x

=const), и формулу (6.26) представим в виде

δδδδ

====

∫∫∫∫

1

EJ

x

M M

1

0

dz

l

.

(6.27)

Для прямолинейной балки выражение для изгибающего момента

M

1

 от единичной нагрузки является линейной функцией: