Сопротивление материалов - часть 22



ности  по  нормальным  напряжениям,  а  условие  прочности  по  каса-
тельным напряжениям является поверочным.

Для  балок  из  пластичных  материалов  условия  прочности  имеют

вид:

σ

σ

σ

σ

m ax

[ ]

[ ]

≤

=

 ;      

ò

ò

n

; (6.12)

τ

τ

τ

τ

m ax

≤

=

[

[

]

]

n

ò

ò

 ;      

 

.

(6.13)

Для балок несимметричного профиля, выполненных из хрупких мате-
риалов,  вместо  условий (6.12)  необходимо  составить  два  условия
прочности:

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

m ax

m ax

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

p

p

c

c

p

c

B

B

B

B

p

c

n

n

≤

≤








 ,  ãäå  

=

; 

=

 

.

(6.14)

При  расчете  балок  постоянного  сечения  наибольшие  нормаль-

ные  напряжения  возникают  в  сечении,  где  действует  максимальный
изгибающий момент 

M

max

. В этом случае условие  прочности (6.12)

можно записать в виде:

Ì

m ax

W

x

≤≤≤≤

[

]

σσσσ

.

(6.15)

Условие (6.15)  используется  для  подбора  сечения  балки  при  из-

гибе:

W

x

m ax

≥≥≥≥

M

[

]

σσσσ

.

(6.16)

При необходимости после этого проводится проверка по условию

прочности (6.13) при Q = Q

max

.

Для  балок  переменного  сечения  (W

x

≡≡≡≡

W

x

(z)  условие  прочности

(6.15) следует записать в таком виде:

Ì

W

x









≤≤≤≤

m ax

[

]

σσσσ

.

(6.15*)

В некоторых случаях при расчете балок на прочность следует об-

ращать особое внимание на касательные напряжения в поперечных и
продольных сечениях балок. В частности, когда рассматриваются:

1) тонкостенные балки;
2)  короткие  балки  из  волокнистых  ма-

териалов,  имеющих  малую  прочность  на
скалывание  вдоль  волокон  (например,
возможно разрушение деревянного бруска
по продольной плоскости, совпадающей с
нейтральным слоем (рис. 6.13,а);

3) составные балки (рис. 6.13,б), для ко-

торых  возможно  разрушение  по  продоль-
ной  плоскости  контакта  частей  балки  от
действия  максимальных  касательных  на-
пряжений.

6.7.  Перемещения в балках при изгибе
При расчёте конструкции вычисляются не только напряжения, но

и  перемещения.  Причём  методы  определения  перемещений  играют
важную роль как  в  общей  оценке  жёсткости  конструкции,  так  и  при
решении  многих  прикладных  задач  (расчёт  статически  неопре-
делимых  систем,  динамическое  нагружение  конструкций,  колебания
упругих систем и др.).

Дадим  общие  понятия  о  перемещениях  в  балках,  рассматривая

прямой изгиб балки. Для определённости принимается общая система

координат Oyz (рис. 6.14), нача-
ло которой выбирается в центре
площади какого-либо сечения, а
ось  z  направлена  по  оси  балки.
(При этом следует иметь в виду,
что  с  каждым  сечением  связана
местная  система  центральных
осей, параллельных исходным.)

Для  поперечных  сечений

балок различают два вида перемещений:

1)  

прогиб 

v

(z) - линейное  перемещение  сечения  (центра  площади

сечения) в направлении, перпендикулярном оси балки;

2)  

угол поворота 

θ

 (z) - угловое перемещение сечения по отноше-

нию  к  первоначальному  положению  (поворот  сечения  относительно
нейтральной линии).

б)

Рис. 6.13

Рис. 6.14

а)

Принимая,  что  положительное  направление 

θ

  совпадает  с  поло-

жительным направлением изгибающего момента 

M

 в сечении, а по-

ложительное  направление  оси  Oy - вверх  (см.  рис.6.14),  получим

tg

d

d

θθθθ ====

v

z

.  В  большинстве  практических  случаев  перемещения  в

балках  относительно  малы,  так  что  можно  считать  tg

θθθθ

 

≈≈≈≈

 

θθθθ

.  Поэтому

дифференциальное  соотношение  между  прогибом  и  углом  поворота
сечения получается в виде:

θθθθ

=

′

′

v

v =

v

 ;    

d

dz

.

(6.17)

Рассмотрим некоторые методы определения перемещений.
6.7.1. Дифференциальное уравнение упругой линии балки
Ось  изогнутой  балки  часто  называют  упругой  линией.  В  случае

прямого изгиба балки, учитывая соотношения (6.3), (6.6) и (6.17), для
определения перемещений можно использовать систему дифференци-
альных уравнений в виде:

d

dz

d

dz

θθθθ

θθθθ

====

====













M

EJ

x

v

 

.

(6.18)

Исключая второе уравнение из системы (6.18), получаем диффе-

ренциальное уравнение упругой линии балки:

d

dz

2

2

v

EJ

====

M

x

.

(6.19)

Уравнение (6.19) (или  система  уравнений (6.18)  может  приме-

няться  для  определения  как  перемещений  отдельных  сечений,  так  и
формы  оси  изогнутой  балки.  Последовательным  интегрированием
уравнений в системе (6.18) или уравнения (6.19) получаем:

θθθθ

θθθθ

οοοο

( )

z

dz

z

====

++++

∫∫∫∫

M

EJ

x

;   

v

v

EJ

x

o

( )

z

dz

z

z

z

====

++++

++++

∫∫∫∫

∫∫∫∫

M

2

θθθθ

o

,

(6.20)

где 

θ

o

,  v

o

 - постоянные  интегрирования,  имеющие  смысл  перемеще-

ний сечения балки в начале координат (z = 0). Для балки постоянной
жесткости  EJ

x

 = const  интегрирование упрощается:

θθθθ

θθθθ

( )

z

dz

z

====

++++

∫∫∫∫

1

EJ

x

M

o

;   

v

v

1

EJ

x

( )

z

dz

z

z

====

++++

++++

∫∫∫∫

∫∫∫∫

M

2

θθθθ

o

o

. (6.21)

Постоянные 

θ

o

,

 

v

o

 определяются из граничных условий, число ко-

торых равно двум (порядку дифференциального уравнения). Гранич-
ные условия могут составляться для 

v

 и 

v

′′′′

 = 

θθθθ

 в зависимости от типа

закрепления  балки.  Например,  для  шарнирно  опертой  балки  (рис.
6.15,а) граничные условия имеют вид: 

v(0) = 0, v(l) = 0

; для консоль-

ной балки (рис. 6.15,б):  

v

(0) = 0, 

v

′′′′

(0) = 0.

Рис. 6.15

Пример 6.1. Рассмотрим определение перемещений для консольной балки

переменного  сечения,  нагруженной  на  свободном  конце  силой  Р  (рис. 6.16).
Балка имеет постоянную толщину и переменную ширину сечения (

h=const, b=var

).

Выберем  начало  координат  на  сво-

бодном конце балки. Тогда:

M(z)=-P

⋅

z;   b(z)=b

o

z/l,

где  b

o

,  l - ширина  сечения  в  заделке  и

длина  балки.  Момент  инерции  произ-
вольного  сечения  балки  можно  предста-
вить в таком виде:

J ( )

( )h

12

h

12

J

,

  ãäå  J

h

12

x

o

3

o

o

o

3

3

z

b z

b

z

l

z

l

b

====

====

====

====

 .  

Подставив  полученые  выражения  в

дифференциальные  уравнения (6.18)  и
выполнив интегрирование, получим такие

выражения:

θθθθ

θθθθ

θθθθ

( )

P

E J

;    ( ) =

P

2E J

o

o

2

o

o

o

v

v

z

lz

z

lz

z

= −

+

−

+

+

.

Граничные условия имеют вид 

θ

 (l) = 0, v(l) = 0

. Подставив их в получен-

ные выражения, находим константы интегрирования: 

θ

o 

=  Pl

2

/EJ

o

;  v

o

=-Pl

3

/2EJ

o

. Тогда

для функции прогибов по длине балки и величины максимального прогиба (в се-
чении z = l) получим следующие выражения:

v

v

= v

( ) =

P

2E J

P

E J

P

2E J

=

P

2E J

=

P

2E J

2

2

3

3

3

o

o

o

o

o

m ax

z

lz

l z

l

l

z

l

z

l

l

2

2

-

0

( )

+

+











-

-

-

1

2

;  

.

Аналогичным  образом  нетрудно  получить  максимальный  прогиб  для  кон-

сольной балки постоянного сечения 

(b

o

××××

h): v

max

=Pl

3

/3EJ

o

.

Рис. 6.16