Сопротивление материалов - часть 20



Рис. 6.3

При изгибе продольная деформация 

εεεε

(y) слоёв балки изменяется

по  высоте  сечения  непрерывно,  причем  часть  волокон  испытывает
растяжение, часть - сжатие. Очевидно, что существует  слой  балки,  в
котором деформация отсутствует - нейтральный слой n

o

-n

o 

(см. рис.

6.3,а,б). Линия пересечения нейтрального слоя и поперечного сечения
называется нейтральной линией (линия CD на рис. 6.3,в).

В  соответствии  с  общей  схемой  решения  задачи  о  деформируе-

мом теле (см. раздел 3.2) рассмотрим получение кинематических, фи-
зических и статических зависимостей.

Для  анализа  геометрической  картины  деформирования  элемен-

тарной части балки (рис. 6.4) выделим отрезок ab произвольного слоя
балки  на  расстоянии  y  от  нейтрального  слоя  (ось  y  расположена  в

плоскости  изменения  кривизны).  При
изгибе  поперечные  сечения,  оставаясь
плоскими, повернутся на угол d

θθθθ

, а из-

менение кривизны k нейтрального слоя
определяется из геометрического усло-
вия dz = 

ρρρρ⋅⋅⋅⋅

d

θθθθ

 :

k

d

dz

==== ====

1

ρρρρ

θθθθ

,         (6.3)

где 

ρρρρ

 - радиус кривизны нейтрального слоя.

Линейная  деформация  отрезка 

ab

  определяется  обычным

образом:

εεεε

====

====

−−−−

∆∆∆∆

(

)

ab

ab

a b

ab

ab

1 1

.

Учитывая, что 

ab = dz =

ρρρρ⋅⋅⋅⋅

d

θθθθ

,  a

1

b

1

 = (

ρρρρ

+y) d

θθθθ

 (см. рис. 6.4), по-

сле преобразований получим:

εεεε

ρρρρ

====

====

y

ky

.

(6.4)

Рис. 6.4



Согласно гипотезам 2 и 3 продольные слои испытывают одноос-

ное растяжение или сжатие. Поэтому физические зависисимости (за-
кон Гука) записываются в простейшем виде:

σσσσ

εεεε

ρρρρ

====

====

====

Å

Å

y

E

y

k

.

(6.5)

Согласно  формуле (6.5) справедливо  и  такое  определение  ней-

тральной  линии:  геометрическое  место  точек  сечения,  где  нор-
мальные напряжения равны нулю.
Рассмотрим  статические  уравнения  для  произвольного  сечения  бал-
ки,  в  котором  действуют  только  нормальные  напряжения  (рис. 6.5).
Введём в сечении декартову систему координат так, что ось Оx сов-
падает  с  нейтральной  линией  сечения,  ось  Оy  направлена  вверх,  ось
Оz - перпендикулярно  сечению.  При  изгибе  N= 0,  и  с  учетом  фор-
мул(6.5), (1.3) получаем:

N

dF

=

=

∫ σσσσ

F

0;

  

E

y

ρ

dF

F

∫

=

0;

k

dF

F

E

y

∫∫∫∫

====

0.

Очевидно, что E 

≠≠≠≠

 0, 

k

==== ≠≠≠≠

1

0

ρρρρ

(для  изогнутой  балки),  поэтому

y

S

x

dF

F

∫∫∫∫

====

====

0

, т.е. ось x является цен-

тральной осью сечения.

Выбирая т.0 в центре площади сечения и учитывая, что рассмат-

ривается  прямой  изгиб,  получаем,  что  оси  х  и  у  являются  главными
центральными осями поперечного сечения, а z - осью балки. Тогда 

ρρρρ

 -

радиус кривизны оси изогнутой балки.

Для изгибающего момента 

M

 в сечении имеем:

M

====

====

====

====

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

σσσσ

y

E y

y

EJ

x

dF

dF

dF

F

F

F

k

k

k

2

2

E

;   

J

y

x

====

∫∫∫∫

2

dF

F

,

где J

x

 - момент инерции сечения относительно нейтральной линии.

(При выводе направление изгибающего момента 

M

 принято в соот-

ветствии с направлением нормальных напряжений.)

Отсюда получается зависимость для кривизны оси балки:

k

====

====

1

ρρρρ

M

E J

x

,

(6.6)

где EJ

x

 - жесткость бруса при изгибе.

Рис. 6.5



6.3. Нормальные напряжения при изгибе
Подставляя зависимость (6.6) в формулу (6.5), получаем выраже-

ние для нормальных напряжений в произвольной точке поперечно-
го сечения:

σσσσ

====

M

y

J

x

.

(6.7)

Выражение (6.7) определяет  закон  изменения  нормальных  напряже-
ний  в  плоскости  сечения - линейная  зависимость  от  координаты  у
(рис. 6.6,а).

Рис. 6.6

Максимальные нормальные напряжения в сечении возникают в

точках, наиболее удалённых от нейтральной линии:

σσσσ

m ax

m ax

====

====

M

M

  

y

J

W

x

x

,

(6.8)

где W

x

 - момент сопротивления сечения при изгибе:

W

J

y

x

x

m ax

====

.

(6.9)

Условно  эпюра 

σσσσ

(y)  изображается  в  плоскости  сечения  (рис.

6.6,б,в).  Знаки  напряжений  на  эпюре  ставятся  в  зависимости  от  на-
правления  изгибающего  момента 

M

  в  сечении  (на  рис. 6.6,б  знаки

показаны  для  момента  отрицательного  направления).  Если  сечение
несимметричное относительно нейтральной  линии,  то  максимальные
растягивающие и сжимающие нормальные напряжения будут различ-
ной величины (см. рис. 6.6,в).

Момент сопротивления  W

x

  для  сечений  различной  формы  опре-

деляется  через  момент  инерции  J

x

  сечений  (см.  раздел  “Геомет-

рические характеристики сечений”). Например, для типовых сечений
получим:



•

 прямоугольное сечение со сторонами b и h:

J

bh

h

bh

x

=

=

=

3

12

2

6

2

;

;

;

  

     

y

m ax

x

W

•

 кольцевое сечение (

αααα

====

d

D

):

J

D

64

(1

)

0,05D (1

)

x

4

4

====

−−−−

≈≈≈≈

−−−−

ππππ

αααα

αααα

4

4

;   

y

D

m ax

====

2

;

W

D

D

x

====

−−−−

≈≈≈≈

−−−−

ππππ

αααα

αααα

3

4

3

4

32

1

0 1

1

(

)

,

(

)

;

•

 сплошное круглое сечение (d=0, 

α

 = 0):

J

D

64

0,05D

x

4

4

====

≈≈≈≈

ππππ

;  

W

D

D

x

====

≈≈≈≈

ππππ

3

3

32

0 1

,

.

6.4. Рациональные формы сечения балок при изгибе
Напряжения в сечении балки распределяются неравномерно. По-

этому  встаёт  вопрос  о  проектировании  балок  рациональной  формы
сечения,  обеспечивающих  наилучшим  образом  использование  мате-
риала.  Вопрос  в  том,  как  обеспечить  заданную  прочность  балки  при
возможно минимальной ее материалоемкости. А эти факторы зависят
от характеристик сечения - W

x

 и F. Рациональными формами сече-

ний балок при изгибе считаются такие, которые при заданной площа-
ди F обеспечивают наибольшую величину момента сопротивления W

x

(или при минимальной площади F обеспечивают заданную величину
W

x

). Качественным показателем рациональности сечения может слу-

жить величина W

x

/F: чем она больше, тем более рациональное сече-

ние.

Оптимально было бы использование материала только в области

наибольших  напряжений,  т.е.  распределять  материал  подальше  от
нейтрального слоя. Так как в сечении балки при изгибе возникают на-
пряжения разного знака, то выбор рационального профиля зависит и
от материала.

Пластичные материалы чаще всего имеют одинаковые (или близ-

кие по величине) прочностные характеристики на растяжение и сжа-
тие  (

σσσσ

тр

≈

σσσσ

тс

).  Поэтому  для  балок  из  пластичных  материалов  рацио-

нально использовать сечения, симметричные относительно нейтраль-
ной линии. А идея периферийного распределения материала привела
на  практике  к  созданию  стандартных  профилей  в  виде  двутавра  и
швеллера (рис. 6.7). Наибольшие значения параметра W

x

/F у двутав-