Сопротивление материалов - часть 18

5.2. Моменты инерции сечения
В табл. 5.2 приведены часто используемые формулы для момен-

тов инерции сечений простой формы, которые получены непосредст-
венно интегрированием (для прямоугольника приведен также и мо-
мент инерции при кручении J

Моменты инерции типовых сечений

Таблица 5.2

Вид сечения

)

ββββ

ππππ

0 05

≈

ππππ

0 05

≈

ππππ

≈

ππππ

0 05

)

−

≈

ππππ

0 05

)

−

≈

ππππ

)

−

≈

_____

Например, для прямоугольника (рис. 5.2)

момент инерции относительно центральной оси х
определяется следующим образом :

y dF

y bdy

∫

−

или

====

Аналогично получим:

J y

====

Отметим, что для круга и кольца J

= J

= 0,5J

. Это следует из

того, что

ρρρρ

= x

+ y

(см. рис.5.1,а), следовательно, J

= J

+ J

Рассмотрим изменение моментов инерции сечения при измене-

нии системы координат - при параллельном переносе и повороте осей.

При параллельном переносе осей, например, момент инерции J

х1

изменяется следующим образом (x

= x - a, y

= y - b, см. рис. 5.1,б):

y b dF

−

∫

(

)

= y dF

∫

- 2b ydF

∫

+ b

∫

= J

- 2bS

+ b

Выполнив аналогичные преобразования и для других моментов

инерции, получим:

х1

= J

- 2bS

+ b

F; J

= J

- 2aS

+ a

F; (5.5)

х1y1

= J

хy

- aS

- bS

+ abF.

Если оси x и y - центральные, то S

= 0, S

= 0, и тогда формулы

(5.5) упрощаются:

х1

= J

+ b

F; J

= J

+ a

F; J

х1y1

= J

хy

+ abF.

(5.6)

Из формул (5.6) следует, что при переходе от центральных осей к

нецентральным осевой момент инерции всегда увеличивается.

При повороте осей, учитывая, что x

=xсos

αααα

+ysin

αααα

, y

=ycos

αααα

xsin

αααα

(рис. 5.1,в), моменты инерции изменяются следующим образом:

= J

cos

αααα

+ J

sin

αααα

- J

sin2

αααα

;

= J

sin

αααα

+ J

cos

αααα

+ J

sin2

αααα

; (5.7)

x1y1

- J

) sin2

αααα

+ J

cos2

αααα

Вторая формула может быть получена из первой при изменении

угла

на 90

. Складывая первые две формулы, находим:

+ J

= J

+ J

= J

(5.8)

Рис. 5.2

Это свойство инвариантности суммы осевых моментов инер-

ции при повороте осей: сумма осевых моментов инерции не изменя-
ется и равна полярному моменту инерции.

Найдем положение осей, относительно которых осевые моменты

инерции J

и J

принимают экстремальные значения.

Для этого используем условие dJ

= 0. После преобразований

получим:

αααα ====

−−−−

(5.9)

Такой же результат получается из третьей формулы (5.7) при J

x1y1

= 0.

Оси, относительно которых осевые моменты инерции при-

нимают экстремальные значения (один - max, другой - min), а
центробежный момент инерции равен нулю, называются главны-
ми осями инерции (оси x

, y

на рис. 5.1,г). Соответственно моменты

инерции относительно этих осей называются главными моментами
инерции (J

max

, J

min

). Иногда главным осям присваивают индексы «1»

и «2». Соответственно главные моменты инерции обозначаются J

. Обычно считается, что J

= J

max

, J

= J

min

. На рис. 5.1,г принято,

что J

= J

max

и ось x

обозначается цифрой 1.

Ось симметрии сечения и любая ей перпендикулярная ось явля-

ются главными осями инерции сечения. На рис. 5.1,д показаны знаки
J

симметричных частей сечения. С учетом этого получается, что

центробежный момент инерции всего сечения равен нулю.

Подробнее остановимся на определении главных моментов инер-

ции. Если из формулы (5.9) определен угол

, то из первых двух

формул (5.7) при

находятся значения главных моментов инер-

ции:

= J

сos

+ J

sin

- J

sin2

;

= J

sin

+ J

cos

+ J

sin2

(5.10)

Ясно, что если J

> J

, то J

= J

max

, а J

= J

min

, и наоборот.

Получим формулы для главных моментов инерции, не содержащие триго-

нометрических функции. Для этого запишем сумму и разность выражений (5.10):

+ J

= J

+ J

;

- J

= (J

- J

) cos2

- 2J

sin2

= (J

- J

) / cos2

. (5.11)

Во второй формуле использовалась замена 2J

= - (J

-J

)/tg2

из выражения

(5.9).

Теперь из формул (5.11) получим:

(( J

+ J

)+(J

- J

)/cos2

; J

(( J

+ J

) - (J

- J

)/cos2

(5.12)

Очевидно, что если J

> J

, то J

> J

Используя зависимость 1/cos2

tg 2a

и формулу (5.9), запишем:

cos2a

4Jxy

(Jx

Jy)

= ±

−

(Jx

J y)

4Jxy

(Jx

J y)

В результате получим:

(( J

+ J

)

±±±±

−−−−

++++

( Jx Jy )

4Jxy

);

(( J

+ J

)

# ( Jx

J y )

4Jxy

−−−−

++++

(5.13)

Верхние знаки берутся при J

> J

, а нижние - при J

< J

Часто формулы (5.13) объединяют в одну:

1,2

m ax
m in

Jx Jy

++++

±±±±

−−−−

++++

(

Jx Jy

) 2

Jxy

(5.14)

При этом нужно дополнительно определить соответствие осей x

и осей 1, 2.

Если главные моменты инерции известны, то моменты инерции

относительно произвольных осей (рис. 5.1,е) могут быть получены из
формул (5.7) с учетом того, что J

x0y0

=0:

= J

cos

+ J

sin

;

= J

sin

+ J

cos

;

(5.15)

= 0,5(J

- J

) sin2

В частности, из третьей формулы следует, что максимальное зна-

чение центробежный момент сечения принимает относительно осей,
повернутых на угол

= 45

°°°°

к главным осям. При J

= J

max

, J

= J

min

получим:

max

−

(5.16)

В расчетных зависимостях для бруса используются характери-

стики сечений относительно главных центральных осей инерции. Для
определения положения этих осей требуется:

1) определить координаты центра площади сечения;
2) определить осевые J

, J

и центробежный J

моменты инерции

относительно центральных осей x, y, параллельных вспомогательным;

3) определить положение главных осей (угол

) и главные мо-

менты инерции (J

max

, J

min

) по формулам (5.9), (5.14).

содержание .. 16 17 18 19 ..