Сопротивление материалов - часть 16

65

Применяя  метод  сечений,  определяем  внутренние  крутящие

моменты на участках 

M

к1 

= 

M

А

, 

M

к2 

= 

M

А 

- 

M

. Учитывая, что l

1

= l, l

2 

= 2l, GJ

p1

=GJ

p2

=GJ

p

, получаем:

Ì

G J

Ì

Ì

G J

Ì  .

p

p

À

À

À

l

l

⋅⋅⋅⋅ ++++

−−−−

⋅⋅⋅⋅

====

====

(

) 2

0

2

3

    è   Ì

Дальнейший расчёт ведётся как для статически определимого ва-

ла. Определяем крутящие моменты на участках вала: 

M

к1 

=  2

M

/3,

M

к2 

= -

M

/3. Эпюра 

M

к

 показана на рис. 4.15,в.

4.7. Кручение бруса прямоугольного сечения
Решение  этой  задачи  намного  сложнее,  чем  для  бруса  круглого

сечения. В первую очередь это связано с тем, что при кручении бруса
некруглого сечения не соблюдается гипотеза плоских сечений. Попе-
речные  сечения  бруса  искривляются  (происходит  депланация  сече-
ний),  что  внешне  можно  наблюдать,  например,  при  искажении  орто-
гональной  сетки  линий  на  поверхности  бруса  прямоугольного  сече-
ния. Решение задачи о кручении бруса некруглого сечения проводит-
ся  методами  теории  упругости,  поэтому  приведем  лишь  основные
сведения, необходимые для расчета.

Отметим общие положения: 1) касательные напряжения в точках

контура  поперечного  сечения  направлены  по  касательной  к  линии
контура; 2) касательные напряжения в угловых точках сечения равны
нулю. Оба эти положения легко доказываются от противного.

Основные  расчётные  формулы - для  максимальных  касательных

напряжений в сечении и относительного угла закручивания на участке
- имеют вид, аналогичный соотношениям (4.11) и (4.8):

ττττ

m ax

====

M

ê

ê

W

;   

′′′′

====

ϕϕϕϕ

M

ê

G J

ê

,

(4.28)

где  J

к

,  W

к

 - момент  инерции  и  момент  сопротивления  сечения  при

кручении.

Угол  закручивания,  например  для  консольного  бруса,  определя-

ется по формуле, аналогичной формуле (4.15):

ϕϕϕϕ

====

M

ê

l

G J

ê

 .

(4.29)

66

Для  сечения  прямоугольной  формы  распределение  касательных

напряжений  показано  на  рис. 4.16.  Наибольшие  касательные  напря-

жения возникают в середине больших
сторон (точки А и А

1

), напряжения в

середине малой стороны прямоуголь-
ника (т.В и т.В

1

) меньше по величине:

ττττ′′′′

 = 

ηηηηττττ

max

;   

ηηηη

 

≤≤≤≤

 1.     (4.30)

Геометрические  характеристики

прямоугольного 

сечения 

при

кручении  определяются  соотноше-
ниями:
W

к

 = 

αααα

аb

2

;  J

к

 = 

ββββ

аb

3

;   а 

≥≥≥≥

 b . (4.31)

Коэффициенты 

αααα

, 

ββββ

, 

ηηηη

 зависят от

отношения  сторон  а/b;  их  числовые
значения  приведены  в  табл. 4.2. Для
прямоугольного  сечения  сильно  вы-

тянутой формы (а/b 

>>>>

10) 

αααα

=1/3, 

ββββ

=1/3 .

Таблица 4.2

a/b 1.0

1.5 1.75 2.0

2.5

3.0

4.0

4.0

8.0 10.0

∞

∞

∞

∞

αααα

0.208 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333

ββββ

0.141 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333

ηηηη

1.0 0.859 0.820 0.795 0.766 0.753 0.745 0.743 0.742 0.742 0.742

4.8. Кручение тонкостенного стержня открытого профиля

Стержень  называется  тонкостенным,  если  один  из  размеров  поперечного

сечения  значительно  превышает  другой.  Поперечное  сечение  тонкостенного
стержня  часто  называется  профилем.  Различают  стержни  открытого  (а)  и
замкнутого (б) профиля (рис. 4.17). В силу определения: s/t 

>>>>

 10, s

i

/t

i 

>>>>

 10, где s, t

-  полная  длина  контура  и  толщина  профиля;  s

i

,  t

i

 - длина  и  толщина  i-ой  части

тонкостенного профиля (s=

∑

∑

∑

∑

s

i

). Наиболее часто применяются стержни открыто-

го  профиля.  Для  их  расчёта  при  кручении  применяется  приближенный  метод  с
использованием формул для бруса прямоугольного сечения. При этом возможны
два подхода.

1. Если профиль может быть развернут в прямоугольник вытянутой формы

(рис. 4.17,а), то для расчета применимы формулы (4.28) - (4.31) при 

αααα

=1/3, 

ββββ

=1/3

(W

к

=st

2

/3, J

к

 = st

3

/3):

ττττ

m ax

====

3M

ê

st

2

;   

′′′′

====

ϕϕϕϕ

3M

ê

G

st

3

;   

ϕϕϕϕ

====

3M

ê

G

s

l

t

3

.

(4.32)

Рис. 4.16

67

Рис. 4.17

 Рис.4.18

2.  В  том  случае,  когда  открытый  профиль  является  составным  и  не  может

быть развернут в прямоугольник (рис. 4.18), то расчет ведется следующим обра-
зом. Сечение разбивается на n частей, каждая из которых воспринимает момент

кi

M

. При этом

J

J

ê

êi

i

n

====

====

∑

∑

∑

∑

1

;  

J

êi

i

s

i

====

1

3

3

t

;  

W

êi

i

s

i

====

1

3

2

t

,

(4.33)

а угол поворота всего сечения и отдельных его частей одинаковый:

ϕϕϕϕ

====

====

====

====

M

M

M

ê

ê

ê

ê

ên

ên

G J

G J

G J

l

l

l

1

1

...

.

(4.34)

Из соотношений (4.34) следует, что крутящий момент распределяется в от-

дельных 

частях 

сечения 

пропорционально 

их 

моментам 

инерции:

Ì

Ì

ê i

ê

ê i

ê

J

J

====

. Максимальные касательные напряжения в i-ой части профиля

равны:

ττττ

i

êi

êi

ê

ê

êi

êi

ê

ê

i

W

J

J

W

J

m ax

====

====









====

M

M

M

t

.

(4.35)

Наибольшего  значения  касательные  напряжения  в  сечении  достигают  на

участке максимальной толщины:

ττττ

m ax

m ax

====

M

ê

ê

J

t

.

(4.36)

Данный метод является приближенным, т.к. не учитывает повышенные ме-

стные  напряжения  (концентрацию  напряжений)  во  внутренних  углах  ломаного
профиля.

4.9. Расчет витых цилиндрических пружин с малым шагом

Пружины широко применяются в технике в качестве упругих элементов. В

частности,  в  механизмах,  работающих  в  условиях  динамической  нагрузки,  при-
меняются  пружины  как  амортизаторы,  т.е.  детали,  способные  получить  значи-
тельную  упругую  деформацию.  На  практике  наиболее  распространены  цилинд-
рические  пружины,  испытывающие  действие  растягивающих  или  сжимающих
сил (пружины растяжения-сжатия). Обычно пружины изготавливаются из сталь-
ной  проволоки  круглого  поперечного  сечения.  Материал  для  пружин - качест-
венная пружинно-рессорная сталь с высокими механическими характеристиками

68

(

σσσσ

п 

=

 

800

÷

1000  МПа; 

σσσσ

т 

=

 

950

÷

1600  МПа; 

σσσσ

B 

=

 

1500

÷

1750  МПа; 

ττττ

T 

=

 

600

÷

1000

МПа; 

ττττ

B

=850

÷

1400 МПа).

Витая  пружина  представляет  собой  пространственный  брус,  в  поперечных

сечениях которого при нагружении возникают все внутренние силовые факторы.
Для пружины с малым шагом вследствие малого угла подъема витка можно пре-
небречь влиянием изгибающего момента и нормальной силы. Поэтому для таких
пружин  растяжения  или  сжатия  основными  внутренними  силовыми  факторами
являются крутящий момент 

к

M

 и перерезывающая сила Q, определяемые дей-

ствием в поперечных сечениях касательных напряжений 

ττττ

.

Основными  параметрами  цилинд-

рической 

пружины 

являются

(рис.4.19,а):
D - средний  диаметр  витка;  d - диа-
метр  сечения  проволоки;  t - шаг
витка; n - число рабочих витков.

Для  отдельного  витка  можно

ввести  угол  подъема 

αααα

  (рис. 4.19,б),

где  tg

αααα

=t/

ππππ

D.  Для  пружины  с  малым

шагом 

обычно

αααα

 

≤≤≤≤

  5

°°°°

.  Применяя  метод  сечений  и

рассматривая  равновесие  отсеченной
части  пружины  (рис. 4.19,в),  можно

определить Q и 

к

M

 для любого поперечного сечения:

Q 

≈≈≈≈

 P;   

к

M

 = 

1

2

P

⋅⋅⋅⋅

D.

(4.37)

Рассматривая  касательные  напряжения  от  деформаций  кручения  и  среза

(последние условно считаем равномерно распределенными в сечении), для мак-
симальных касательных напряжений получим:

τ

m ax

=

+

M

ê

p

W

Q

F

,   где  

W

d

p

=

d

=

π

π

3

2

16

4

;

  

F

.

С учётом (4.35) расчётная формула для касательных напряжений примет вид:

τ

π

m ax

(

)

=

+

8

1

2

3

PD

d

d

D

.

(4.38)

Для пружины из тонкой проволоки (d/D < 0,1) можно пренебречь напряже-

ниями от среза. Тогда с достаточной точностью в расчёте можно определять ка-
сательные напряжения только от кручения:

τ

π

m ax

=

8

3

P D

d

.

(4.39)

В  то  же  время  для  силовых  пружин,  изготовленных  из  толстой  проволоки

(например,  винтовых  рессор),  следует  пользоваться  формулой (4.38), а  анализ
действующих напряжений от кручения и среза показывает, что наибольшие каса-
тельные напряжения всегда возникают на внутренней стороне витка.

Рис. 4.19