Сопротивление материалов - часть 14

57

В частности, для консольного бруса (см. рис. 4.7,а) угол поворота

концевого сечения определяется по формуле (4.14) при 

ϕϕϕϕ

н

=0:

ϕϕϕϕ

m ax

====

M

ê

l

G J

p

.

(4.15)

В общем случае, когда крутящий момент или диаметр поперечно-

го сечения (или обе эти величины) изменяются непрерывно по длине
вала, угол поворота сечения вала вычисляется по формуле

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

z

i

i

i

i

i

l

z dz

z

====

++++

====

====

∑

∑

∑

∑

∫∫∫∫

î

n

p

G J

i

∆∆∆∆

∆∆∆∆

1

       

;

( )

( )

M

ê

,

(4.16)

где n - число участков от начала координат до рассматриваемого се-
чения.

Если  крутящий  момент 

кi

M

 

и  жесткость  Gj

pi

  постоянны  в  пре-

делах каждого участка, то формула (4.12) принимает вид:

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

z

i i

i

l

====

++++

====

∑

∑

∑

∑

o

p

n

G J

i

M

ê

1

.

(4.17)

Все  приведенные  формулы  дают  значения  угла  поворота 

ϕϕϕϕ

  в  радиа-

нах.

Если вычисляется угол  закручивания  вала  (взаимный  угол  пово-

рота  концевых  сечений  вала),  то  используется  формула (4.17)  или
(4.16), принимая 

ϕϕϕϕ

о

=0.

Практически для построения эпюры углов поворота 

ϕϕϕϕ

(z) вала ча-

ще всего используются зависимости (4.13), (4.14).

4.2.2. Геометрические характеристики кругкого сечения
Расчётную  формулу  полярного  момента  инерции  удобно  полу-

чить в полярной системе координат (

ρρρρ

, 

ϕϕϕϕ

), в которой элемент площа-

ди  равен  dF=

ρρρρ

d

ρρρρ

d

ϕϕϕϕ

  (на  рис. 4.9 для  общно-

сти  рассматривается  кольцевое  сечение).
Тогда

J

D

d

D

d

D

p

d

D

====

====

====

====

−−−−









 ====

−−−− 























∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫ ρρρρ

ρρρρ ρρρρ

ϕϕϕϕ

2

3

2

2

0

2

4

4

2

16

16

32

1

4

4

dF

d d   

/

/

ππππ

ππππ

ππππ

F

В итоге для кольцевого и сплошного кругло-

го (d=0) сечений получим расчётные формулы:

J

D

D

p

====

−−−−

≈≈≈≈

−−−−

ππππ

αααα

αααα

4

4

4

4

32

1

0 1

1

(

)

,

(

)

;   

αααα

====

d

D

;  и  

J

D

D

p

====

≈≈≈≈

ππππ

4

4

32

0 1

,

,

(4.18)

Рис. 4.9

58

где 

αααα

 = d/D - коэффициент полости кольцевого сечения.

Для полярного момента сопротивления кольцевого сечения (

αααα≠≠≠≠

0)

и сплошного круглого сечения (

αααα

=0) в соответствии с формулой (4.15)

расчётные формулы примут вид:

W

D

D

p

====

−−−−

≈≈≈≈

−−−−

ππππ

αααα

αααα

3

4

3

4

16

1

0 2

1

(

)

,

(

)

   и   

W

D

D

p

====

≈≈≈≈

ππππ

3

3

16

0 2

,

. (4.19)

4.3. Сравнительный анализ полых и сплошных валов
Из распределения касательных напряжений (4.9) в сечении ясно,

что материал внутренней части вала загружен в меньшей степени, чем
периферийный.  Наиболее  предпочтительным  с  точки  зрения  исполь-
зования  материала  является  его  равномерное  нагружение  напряже-
ниями, что в наибольшей степени реализуется для кольцевого сечения
с  большим  значением 

αααα

.  Поэтому  на  практике  более  рациональным

является применение полых валов, что обеспечивает малую их мате-
риалоёмкость. Например, сравним по массе равнопрочные сплошной
и полый валы, нагруженные одинаковыми моментами (рис. 4.10).

Условие  равнопрочности 

ττττ

ττττ

m ax

( )

m ax

( )

ñ

ï

====

  с

учетом  формулы (4.11)  приводит  к  соотно-
шениям 

W

W

p

ñ

p

ï

( )

( )

====

или 

D

D

ñ

====

−−−−

1

4

3

αααα

,

αααα

=d/D. Отношение масс валов из одинаково-

го материала равно отношению площадей по-
перечных сечений:

m

m

D

D

c

ï

c

ï

c

====

====

−−−−

====

++++

−−−−

F

F

ππππ

ππππ

αααα

αααα

αααα

2

2

2

2 2

2

3

4

1

4

1

1

/

(

)/

(

)

.

Таблица 4.1

αααα

=d/D 0

0,1

0,3

0,5

0,7

0,9

 F

c

/F

п

1

1,01 1,09 1,28 1,63 2,58

С  увеличением  коэффици-

ента  полости 

αααα

  растёт  и  весо-

вая  эффективность  примене-
ния полых валов (табл. 4.1).

4.4. Расчет валов на прочность и жесткость
Для обеспечения работоспособности валы должны удовлетворять

условиям  прочности  и  жесткости.  При  расчёте  на  прочность
ограничиваются напряжения в сечениях вала от действующих нагру-
зок.  Для  обеспечения  необходимой  жёсткости  вала  ограничиваются
угловые перемещения отдельных сечений (в местах расположения со-

Рис. 4.10

59

пряженных деталей шкивов, зубчатых  колёс  и  др.).  Как  правило,  ог-
раничения накладываются на относительные углы закручивания.

При  расчете  валов  на  кручение  часто  нагрузку  (внешние

моменты)  определяют  исходя  из  передаваемой  мощности  N  (кВт)  и
скорости вращения вала n (об/мин):

Ì

====

⋅⋅⋅⋅

9550

N

Í

ì

n

    /

/

.

(4.20)

На практике применяются валы гладкие (постоянного сечения) и

ступенчатые.  В  случае  ступенчатого  вала  необходимо  получить  рас-
чётные  напряжения  и  относительные  углы  закручивания  на  каждом
участке постоянного сечения, т.е. построить соответствующие эпюры
для вала.

Для  вала  при  заданной  нагрузке  можно  построить  эпюру  крутя-

щих моментов. На каждом участке вала могут быть определены мак-
симальные  касательные  напряжения  и  относительные  углы  закручи-
вания по формулам (4.11) и (4.8), а для вала в целом можно построить
эпюру  углов  закручивания  с  использованием  зависимости (4.13)  или
(4.14).

При расчёте вала на прочность определяются наибольшие значе-

ния касательных напряжений 

ττττ

max

 для вала (индекс стоит внизу, в

отличие от максимальных напряжений в сечении 

ττττ

max

 !).

Условие прочности вала из пластичного материала имеет вид:

ττττ

max 

≤≤≤≤

 [

ττττ

]  или   

M

ê

W

p

≤≤≤≤

[

]

ττττ

,

(4.21)

[ ]

ττττ

ττττ

====

ò

ò

n

   или  

[ ]

ττττ

ττττ

====

â

â

n

,

где 

[[[[ττττ]]]]

 - допускаемые  напряжения  вала  при  кручении;  n

T

,  n

В

  -

коэффициенты запаса по текучести и по прочности; 

к

M

- значение

крутящего момента в опасном сечении (где возникают 

ττττ

max

).

Для  вала  из  хрупкого  материала  может  использоваться  условие

прочности  исходя  из  максимальных  нормальных  растягивающих  на-
пряжений:

σσσσ

max 

≤≤≤≤

 [

σσσσ

]

p

, 

σσσσ

max

 = 

ττττ

max  

 или   

M

ê

W

p

p

≤≤≤≤

[ ]

σσσσ

,  

[ ]

ð

σσσσ

σσσσ

p

â

â

n

====

,

(4.22)

где 

σσσσ

вр

 - предел прочности материала на растяжение.

Величина  допускаемых  напряжений  при  кручении  зависит  от

различных факторов, в том числе и от материала вала. Чаще всего для
пластичных  материалов  принимается 

[[[[ττττ]]]]

=(0,5

÷÷÷÷

0,6)[

σσσσ

]

p

,  для  хрупких

60

материалов - 

[[[[ττττ]]]]

  = (0,8

÷

1,0)

[[[[σσσσ]]]]

p

.  Значения  n

в

  для  валов  из  хрупкого

материала принимаются в 1,5-2 раза больше, чем n

т

 для валов из пла-

стичного материала.

Следует  отметить,  что  в  большинстве  практических  случаев  на-

грузки,  действующие  на  вал,  вызывают  деформации  изгиба  и  круче-
ния. Поэтому на первом этапе расчёта вала только на кручение в ус-
ловии  прочности  используются  заниженные  значения  допускаемых
напряжений или завышенные значения коэффициентов запаса.

Для  изготовления  валов  применяются  различные  материалы:  уг-

леродистые стали марок 20, 30, 40, 45, 50, легированные стали марок
20Х, 40Х, 30ХМ, 40ХН и др., титановые сплавы (ВТ5, ВТ6, ВТ20), в
некоторых конструкциях - алюминиевые сплавы (Д16, Д6 и др.).

При  проведении  проектировочного  расчета  вала  определяются

размеры поперечных сечений вала или значение максимально допус-
тимой нагрузки на вал. При определении требуемых размеров сечения
вала из условия прочности (4.21) получаем:

W

p

≥≥≥≥

M

ê

[ ]

ττττ

  откуда 

D

≥≥≥≥

−−−−

16

1

4

3

M

ê

ππππ

αααα

ττττ

(

)[ ]

.

(4.23)

При определении допускаемой нагрузки (допускаемого внешнего

момента) из формулы (4.20) получим неравенство такого вида:

к

M

 

≤≤≤≤

 W

p

[[[[ττττ]]]]

, (4.24)

где в  

к

M

 

 входит неизвестная величина нагрузки.

Расчет вала на жесткость обычно проводится исходя из наи-

большего  относительного  угла  закручивания 

ϕϕϕϕ

////

max

,  и  условие  жест-

кости вала имеет вид:

ϕϕϕϕ

////

max 

≤≤≤≤

 

[ϕϕϕϕ

////

]

   или   

M

ê

G J

p

≤≤≤≤

[

]

/

ϕϕϕϕ

,

(4.25)

где 

[ϕϕϕϕ

////

]

 - допускаемый относительный угол закручивания для вала.

В качестве наиболее распространенных значений 

[ϕϕϕϕ

////

]

 можно ука-

зать 

[[[[ϕϕϕϕ

////

]]]]

=(0,25

÷÷÷÷

2,0) град/м. Следует обратить внимание, что в форму-

лу (4.25) значение 

[ϕϕϕϕ

////

]

 подставляется в рад/м.

Расчет вала на жёсткость может быть не только поверочным, но и

проектировочным,  т.е.  служить  для  определения  размеров  сечения
или допускаемой нагрузки. Так, при расчёте вала на жёсткость можно
определить необходимое значение диаметра из соотношения (4.25) с
учётом зависимости (4.18):

D

≥≥≥≥

−−−−

32

1

4

4

M

ê

ππππ

αααα

ϕϕϕϕ

(

)[

]

/

.

(4.26)