Сопротивление материалов - часть 12

При изменении температуры статически определимого стержня в

нем не возникают усилия и напряжения. Стержень просто удлиняется
или укорачивается. Если же нагревать или охлаждать статически не-
определимый стержень, то в нем возникают температурные усилия
и напряжения. Это объясняется тем, что жесткие заделки не позво-
ляют изменяться длине стержня. В результате при нагреве возникают
сжимающие усилия и напряжения, а при охлаждении стержня – растя-
гивающие усилия и напряжения.

Если длина стержня имеет отклонение от номинального размера

(например, стержень выполнен длиннее на величину

∆

= l – l

), то по-

сле принудительной установки такого стержня между жесткими опо-
рами в нем возникают так называемые монтажные усилия и на-
пряжения.

Учет вышеуказанных факторов покажем для стержня, рассмот-

ренного в предыдущем примере (см. рис.3.9). Предположим, что
стержень нагрет на

∆

°°°°

C и выполнен короче своей номинальной дли-

ны на

∆

(рис. 3.10). При нагреве стержень получил бы удлинение

∆

3l при отсутствии правой заделки. Если

∆

≥≥≥≥

∆

, то усилия и

напряжения в стержне не возникают. Если же

∆

, то в заделках

возникают реакции R

и R

, которые не могут быть определены из

одного уравнения статики:

– R

= 0; R

= R

(3.32)

Отметим, что возникающие реакции самоуравновешены.

Удалим правую заделку и вместо неё в сечении А приложим не-

известную реакцию X

= R

. Учитывая, что изменение длины стержня

(или перемещение сечения А) равно

∆

, запишем:

∆

(3.33)

Нормальные силы на участках стержня равны:

= N

= - X

(3.34)

Используя первую формулу (3.19) для определения

∆

и значения

, уравнение (3.33) запишем в виде:

(

Tl) (

T2l)

X l

X 2l

−−−−

++++

====

αααα

∆∆∆∆

0000

(3.35)

Решая это уравнение, получим:

(

)

====

−−−−

∆∆∆∆

0000

ΤΤΤΤ

;

∆

≤≤≤≤

∆

(3.36)

где

∆

= 3

∆

Tl - температурное удлинение стержня.

Если

∆

, то X

= 0. На рис. 3.10 представлены эпюры N,

w. Эпюра w построена от сечения D (w

= 0). При этом получим:

X 2l

E2F

T2l

====

−−−−

++++

∆∆∆∆

αααα

;

X l

====

++++

====

++++

−−−−

++++

∆∆∆∆

αααα

С учетом формулы(3.36) получим:

= (

∆

T l)/2 ; w

∆

Последнее равенство является проверкой расчёта. Из этого усло-

вия исходили, решая задачу.

При одновременном воздействии на стержень нагрузки, темпера-

туры и наличии монтажных отклонений в соответствии с принципом
суперпозиции усилия, напряжения и перемещения, полученные при
соответствующем расчете стержня (см. рис. 3.9) и (см. рис. 3.10),
суммируются.

4. Кручение

Кручение является распространённым видом деформации для

элементов машиностроительных конструкций (валы, витки пружин и
т.д.). При кручении материал находится в условиях чистого сдвига,
что приводит к определённым особенностям как в распределении на-
пряжений, так и в характере разрушения материала.

4.1. Чистый сдвиг
Опытно можно установить, что при кручении тонкостенной тру-

бы для элементов стенки, выделенных продольными и поперечными
сечениями, происходит только искажение формы, а размеры остаются
неизменными (рис. 4.1,а - элемент ABCD). Это объясняется действием
на гранях элемента только касательных напряжений

ττττ

(рис. 4.1,б).

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Напряжённое состояние, при котором на гранях элемента дей-

ствуют только касательные напряжения, называется чистым сдви-
гом.

Угловая деформация элемента

γγγγ

(деформация сдвига) равна углу

поворота образующих цилиндрической поверхности трубы (см. рис.
4.1,а).

Напряжения
Напряжения при чистом сдвиге изменяются в зависимости от по-

ложения рассматриваемой площадки. Из исходного элемента толщи-
ной h, на гранях которого действуют только касательные напряжения

ττττ

(рис. 4.2,а), наклонным сечением под углом

выделим элементар-

ную трехгранную призму АВС (рис. 4.2,б; для простоты показан
только вид в плане). В таком сечении возникает полное напряжение,
которое можно представить в виде составляющих - нормального

σσσσ

αα

касательного

ττττ

αα

напряжений. Составим уравнения равновесия выде-

ленного элемента, проектируя действующие силы на нормальное (

)

и тангенциальное (

) направления:

∑

= 0;

σσσσ

αα

⋅

h -

ττττ⋅

⋅

cos

αααα

ττττ⋅

⋅

sin

αααα

= 0;

∑

= 0;

ττττ

αα

⋅

h +

ττττ⋅

⋅

sin

αααα

ττττ⋅⋅⋅⋅

⋅

cos

αααα

= 0 .

(4.1)

Используя очевидные соотношения BC=AB

⋅

sin

αααα

, AC=AB

⋅

cos

αααα

после преобразований из уравнений (4.1) получаем зависимости:

σσσσ

αα

ττττ⋅⋅⋅⋅

sin2

αααα

ττττ

αα

ττττ⋅⋅⋅⋅

cos2

αααα

(4.2)

В исходных площадках

αααα

= 0 и

αααα

= 90

°°°°

получается:

σσσσ

αα

= 0,

ττττ

αα

±±±±ττττ

Нормальные напряжения максимальны при sin2

αααα

±±±±

1, т.е. при

αααα

±±±±

°°°°

. В этих сечениях

σσσσ

αα

±±±±ττττ

ττττ

αα

= 0, т.е. на гранях элемента, выделен-

ного сечениями под углом 45

°°°°

к исходным площадкам, действуют

только нормальные напряжения, причем на одной паре граней - растя-
гивающие, на другой - сжимающие (рис. 4.3). Это эквивалентное оп-
ределение чистого сдвига.

Рис. 4.3

Рис. 4.4

Деформация
При отсутствии нормальных напряжений на гранях элемента

(рис. 4.4,а) не происходит изменения длины ребер. В то же время
происходит удлинение диагонали АС и укорочение диагонали BD
вследствие действия в этих направлениях растягивающих и сжимаю-
щих нормальных напряжений. В результате квадрат ABCD превраща-
ется в ромб A

, т. е. происходит искажение только формы эле-

мента. Угол сдвига как изменение элементарного прямого угла

γγγγ

∠

K (см. рис. 4.4,а) может быть получен при наложении исходной

формы элемента на деформированную (A

⊥

⊥⊥

⊥

). Наиболее просто

деформацию сдвига

γγγγ

можно представить при условно неподвижной

одной из граней элемента (рис. 4.4,б).

содержание .. 10 11 12 13 ..