содержание .. 11 12 13 14 ..

Сопротивление материалов - часть 13

Закон Гука при сдвиге
Касательные напряжения

ττττ

и угловая деформация

γγγγ

связаны зако-

ном Гука при сдвиге:

ττττ

= G

γγγγ

(4.3)

где G - модуль упругости второго рода или модуль сдвига. Модуль
сдвига является характеристикой материала. Для изотропного мате-
риала модуль сдвига связан с модулем Юнга E и коэффициентом Пу-
ассона

µµµµ

определенной зависимостью:

====

++++

2 1

(

)

µµµµ

(4.4)

Диаграмма сдвига
В результате испытания на кручение образцов из различных ма-

териалов в условиях чистого сдвига может быть построена диаграмма
сдвига

ττττ

=f(

γγγγ

). Обычно проводятся испытания на кручение образцов

цилиндрической или трубчатой формы. Для пластичных материалов
диаграммы сдвига показаны на рис. 4.5а,б, где приведены и характе-
ристики прочности материала при сдвиге - предел пропорционально-
сти

ττττ

nц

, предел текучести

ττττ

, условный предел прочности

ττττ

. Чаще

всего диаграмма сдвига не имеет площадки текучести (рис. 4.5,б); в
этом случае определяется условный предел текучести

ττττ

0,3

- напряже-

ние, при котором остаточная деформация сдвига равна 0,3%. Однако
теория пластичности позволяет построить диаграмму сдвига и непо-
средственно из диаграммы растяжения. Поэтому прочностные харак-
теристики при сдвиге для пластичных материалов выражаются через
прочностные характеристики при растяжении, например

ττττ

≈≈≈≈

0,6

σσσσ

Для хрупких материалов обычно

σσσσ

вр

<<<<

ττττ

<<<<

σσσσ

вс

, например для чугуна

ττττ

= (0,3

0,4)

σσσσ

вс

. Диаграмма сдвига для хрупкого материала показана

на рис. 4.5,в.

Рис. 4.5

4.2. Кручение бруса круглого сечения
Кручение бруса вызывается действием моментов (пар сил) отно-

сительно оси бруса (рис. 4.6,а). На расчётных схемах крутящий
момент, действующий в плоскости, перпендикулярной оси бруса,
схематично изображается парой сил, как показано на рис 4.6,б. Брус,
работающий на кручение, часто называют валом.

Рис. 4.6

При кручении в поперечных сечениях бруса возникает только

крутящий момент

(рис. 4.6,в), который определяется по методу

сечений. При построении эпюр

обычно пользуются условным

правилом знаков: положительный момент

направлен против хо-

да часовой стрелки при взгляде на сечение со стороны внешней нор-
мали

(рис. 4.6,г).

4.2.1. Основные зависимости
В теории кручения бруса круглого сечения используются геомет-

рическая и статическая гипотезы:

1) гипотеза плоских сечений - поперечные сечения, плоские до

деформации, остаются плоскими и после деформации; при этом ра-
диусы сечений поворачиваются на некоторый угол, оставаясь прямо-
линейными;

2) статическая гипотеза - в поперечных сечениях бруса возни-

кают только касательные напряжения.

Для получения расчётных зависимостей рассмотрим элементар-

ный объём длиной dz, выделенный из бруса поперечными сечениями
и цилиндрической поверхностью радиуса

ρρρρ

(рис. 4.7,а). При кручении

бруса поперечные сечения поворачиваются относительно оси - полу-
чают угловые перемещения

ϕϕϕϕ

. Рассматривая геометрическую картину

деформации выделенного объёма бруса, можно представить её как
взаимный поворот правого сечения относительно левого на угол d

ϕϕϕϕ

(рис. 4.7,б). При этом образующие поверхности поворачиваются на
угол

γγγγ

(деформация сдвига). Отрезок BB

можно представить двояко:

из

∆

ABB

→

= AB

⋅

γγγγ

≈

γγγγ⋅⋅⋅⋅

dz; из

∆

ОBB

→

= OB

⋅

ϕϕϕϕ

≈

ρρρρ⋅⋅⋅⋅

ϕϕϕϕ

Приравняв полученные соотношения

γγγγ

dz =

ρρρρ

ϕϕϕϕ

, получим зависимость:

γγγγ

ρρρρ⋅ϕϕϕϕ′′′′

ϕϕϕϕ

====

(4.5)

Рис. 4.7

Параметр

ϕϕϕϕ′′′′

называется относительным углом закручивания и

определяется как отношение взаимного угла поворота двух сечений к
расстоянию между ними.

Крутящий момент

в поперечном сечении бруса является ста-

тическим эквивалентом действующих в этом сечении касательных
напряжений (рис. 4.7,в). На каждой элементарной площадке dF каса-
тельное напряжение

ττττ

перпендикулярно текущему радиусу

ρρρρ

. Поэто-

му возникающий элементарный момент равен d

ττττ⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅ρρρρ

, а для

всего сечения получим:

====

∫∫∫∫ τρ

τρ

(4.6)

Подставляя в закон Гука (4.3) соотношение (4.5)

ττττ

= G

γγγγ

= G

ρρρρϕϕϕϕ′′′′

(4.7)

а полученное выражение - в зависимость (4.6), получим:

G J

====

′′′′

∫∫∫∫

∫∫∫∫ ρρρρ ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ ρρρρ

ϕϕϕϕ

;

====

∫∫∫∫ ρρρρ

где J

- полярный момент инерции сечения; GJ

- жёсткость бруса на

кручение. Отсюда получается расчётная формула для относительного
угла закручивания в сечении бруса:

′′′′

====

ϕϕϕϕ

G J

(4.8)

Напряжения
Подставляя зависимость (4.8) в (4.7), получаем расчетную фор-

мулу для касательных напряжений в произвольной точке сечения:

ττττ

ρρρρ

====

(4.9)

На рис. 4.8 показаны эпюры касательных напряжений

ττττ

(

ρρρρ

) для

сплошного (а) и кольцевого (б) сечений: согласно формуле (4.9) на-
пряжения распределяются вдоль радиуса по линейному закону и дос-
тигают максимального значения в точках при

ρρρρ

max

= D/2, наиболее

удалённых от центра сечения.

Для  вычисления  максимальных  ка-
сательных  напряжений  в  сечении
вводится  характеристика  сечения
W

- полярный момент сопро-

тивления:

====

ρρρρ

m ax

. (4.10)

Тогда максимальные напряжения в
сечении определяются по формуле

ττττ

m ax

====

. (4.11)

Перемещения
Угловое перемещение или угол поворота

ϕϕϕϕ

произвольного се-

чения z определяется интегрированием выражения (4.8):

ϕϕϕϕ

G J

====

++++

====

++++

∫∫∫∫

∆∆∆∆

(4.12)

где

ϕϕϕϕ

- угол поворота сечения, совпадающего с началом координат

(z=0);

∆∆∆∆

ϕϕϕϕ

- угол закручивания участка длиной z.

Если для участка бруса выполняются условия

= const, GJ

= const,

то

ϕϕϕϕ

G J

====

++++

или

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ′′′′

= const .

(4.13)

Формула (4.13) может быть представлена и в другой форме,

удобной для практических расчётов и построения эпюр углов
поворота:

ϕϕϕϕ

∆∆∆∆

G J

i i

;

, (4.14)

где

ϕϕϕϕ

- угол поворота начального сечения участка;

ϕϕϕϕ

- угол поворота

конечного сечения участка;

∆∆∆∆

ϕϕϕϕ

- угол закручивания i-го участка дли-

ной l

Рис. 4.8

содержание .. 11 12 13 14 ..