Сопротивление материалов - часть 11

45

функции  перемещений  w.  И  наоборот,  перемещения  являются  инте-
гральной  функцией  от  деформаций 

ε

  формула (3.11).  Например,  пе-

ремещение  произвольного  сечения  w(z)  на  участке  4  равно  площади
прямоугольника длиной z на эпюре 

ε

 (w(z) = 

ε

4

⋅⋅⋅⋅

 

z).

Рассмотрим различные варианты расчета стержня на прочность.

Вариант 1. Проверить прочность стержня при заданных параметрах:

F = 2 см

2

, Р=10 кН, 

σ

T

 = 320 МПа, n

Т

 = 2.

Определяем максимальные напряжения 

σ

max

 (см. эпюру 

σ

 на рис.

3.7) и допускаемые напряжения (3.21):

σ

max

=

σ

 (2)

 



 =

σ

 (3)

=

2

P

F

, 

σ

max

=

2

10 10

2 10

3

4

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

−−−−

=10

8

 Па = 100 МПа;

[

σ

]=

320

2

160

====

 МПа.

Сравнивая  максимальные  напряжения  с  допускаемыми,  делаем  за-

ключение, что условие прочности (3.21) для стержня удовлетворяется.
Вариант  2.  Определить  параметр  F  при  следующих  исходных  дан-
ных:

Р = 20 кН; [

σ

] = 160 MПа.

Учитывая что 

σ

mах

 = 2P/F, условие прочности (3.21) примет вид:

2

P

F

 

≤≤≤≤

 [

σ

] .

Решая это неравенство относительно параметра F, находим:

F 

≥≥≥≥

 

2

P

[ ]

σσσσ

;    F

min

 =

2

2 20 10

160 10

2 5 10

4

3

6

⋅

⋅

⋅

=

⋅ −

,

м

2

=2,5 см

2

.

Вариант 3. Определить максимально допустимое значение параметра

нагрузки Р для стержня из хрупкого материала, используя такие данные:

F = 2 см

2

;  

σ

вр

 =240 МПа;  

σ

вс

 = 960 МПа;  n

в

 = 4 .

Материал  стержня  хуже  работает  при  растяжении,  поэтому  наи-

более опасным является участок 3 (см. эпюру 

σ

 на рис. 3.7). Подстав-

ляя 

σ

p,max

= 2P/F в первое неравенство (3.22), получим:

2

P
F

 

≤≤≤≤

  [

σ

]

р

;     [

σ

]

р

 = 240/4 = 60 МПа.

Решая это неравенство, находим:

Р 

≤≤≤≤

 [

σ

]

р

 F/ 2;    P

доп

 = 60 10

6

 2 10 

–4

/2 = 6 кН.

Определим изменение длины стержня при значениях параметров:

F = 2 см

2

; P = 20 кН ; l = 1м;  E = 2 10

5

 МПа.

46

Как следует из эпюры w (см. рис. 3.7,б), стержень удлиняется, так

как w

A

 > 0 (сечение А перемещается вверх):

w

A

ìì

=

⋅

⋅

⋅

⋅ ⋅

=

⋅

=

−

−

−

0 5

20 10

1

2 10

2 10

2 5 10

2 5

4

11

4

3

,

,

,

м

 

.

При расчете стержня не учитывался его собственный вес. Счита-

ется, что им можно пренебречь по сравнению с действующими сила-
ми. Но в ряде практических случаев необходимо учитывать напряже-
ния от собственного веса.

Рассмотрим  стержень  постоянного  сечения  (рис. 3.8,а),  нагру-

женный  собственным  весом.  Следует  отметить,  что  расчетная  схема
стержня  с  сосредоточенной  силой,  равной  силе  веса  стержня  и  при-
ложенной в его центре тяжести (рис. 3.8,б), является весьма прибли-
жённой, так как нагруженной является половина стержня (см эпюру N
на  рис. 3.8,б).  Тогда  как  очевидно,  что  в  произвольном  сечении  1-1
нормальная сила равна силе веса отсеченной части.

Рис. 3.8

Для  расчётной  схемы  стержня  (рис. 3.8,в)  объемную  нагрузку,

определяемую  собственным  весом  стержня  P,  заменим  погонной  на-
грузкой интенсивности q = P/l. С учетом соотношения P = 

γ

 Fl, где 

γ

 –

удельный  вес  материала  стержня,  получим  q = 

γ

  F.  Тогда  N  и 

σ

    в

произвольном сечении стержня (рис. 3.8,в) определяются выражения-
ми:

N = q (l - z) = 

γ

F (l - z);  

σ

 = N/F = 

γ

 (l - z).

Соответствующие эпюры N  и 

σ

 представлены на этом же рисунке.

Найдем  предельную  длину  стержня  l

пр

,  при  которой  максималь-

ные напряжения в стержне у заделки достигнут предела прочности и
стержень разрушится:

σ

max

 = 

σ

вр

;  

γ

 l

пр

 = 

σ

вр

;    l

пр

 = 

σ

вр

/

γ

.

47

Как видим, предельная длина стержня постоянного сечения не за-

висит от его площади поперечного сечения. Например, для стального
стержня с 

γ

 = 7,8

⋅

10

4

 Н/м

3 

 и 

σ

вр

= 780 МПа  получим l

пр

= 10

4

м.

Более  эффективно  применять  материал,  у  которого  высокие

прочностные  характеристики  (

σ

вр

)  и/или  наименьший  удельный  вес

(

γ

), т.е. материал, имеющий большее значение l

пр

=

σ

вр

/

γ

. В наибольшей

степени  таким  условиям  удовлетворяют  волокнистые  композитные
материалы (углепластик, органопластик и др.).

Осевые перемещения сечений стержня определяются по формуле

(3.18) при w

н

 = 0 (в заделке):

w

z

q z

EF

z

EF

í

( )

=

−

+

 

2

2

N

====

−−−−

++++

q z

EF

EF

 

2

2

ql z

.

Функция  w(z)  является  квадратичной  параболой.  Перемещение

концевого сечения стержня (при z = l и c учетом ql = P) равно:

w = Pl/2EF.

Отметим,  что  этот  же  результат  получается  и  с  использованием

приближённой  расчетной  схемы  на  рис. 3.8,б.  Следует  также  отме-
тить,  что  при  использовании  этой  схемы  правильно  определяются
максимальные  напряжения  в  стержне  у  заделки,  однако  распределе-
ние N , 

σ

 и w по длине стержня описываются неверно.

3.7. Расчёт статически неопределимого стержня
Статически неопределимым является стержень с двумя заделками

(рис. 3.9). Две реакции не могут быть определены из одного уравне-
ния статики:

Σ

F

z

 = 0;   R

A

 + P – 5P + R

D

 = 0.

 (3.27)

Второе  уравнение  должно  быть  получено  из  рассмотрения  де-

формирования стержня. Для этого условно сделаем стержень статиче-
ски определимым, удалив одну из заделок, например правую. Вместо
удаленной заделки приложим неизвестную реакцию X

1

=R

A

. Получим

стержень,  аналогичный  (статически  эквивалентный)  заданному.  При
этом  нужно  учитывать,  что  из-за  наличия  двух  заделок  изменение
полной длины стержня равно нулю (деформационное условие). В со-
ответствии с формулой (3.26) запишем:

∆

l

1

 +

∆

 l

2

 +

∆

 l

3

 = 0.

(3.28)

Для определения 

∆

l

i

 (3.14) получим нормальные силы N

i

 в сече-

ниях каждого участка:

N

1

 = X

1

;   N

2

 = X

1

 + P ;   N

3

 = X

1

 + P – 5P = X

1

 – 4P .

(3.29)

48

Используя  формулу (3.14),  значения  N

i

  (3.29)  и  физико-геомет-

рические  параметры  участков  (E

i

, F

i

, l

i

),  уравнение (3.28) запишем  в

виде:

X l

EF

( X

) l

E2F

( X

4 ) l

E2F

1

1

1

0

++++

++++

++++

−−−−

====

P

P

.

(3.30)

Это  уравнение  является  дополнительным  к  уравнению  статики

(3.27).

Уравнение (3.30) может быть преобразовано к виду :

2l

EF

X

3

2

l

EF

1

0

−−−−

====

P

.

(3.31)

Первое слагаемое в этом уравнении определяет для эквивалентно-

го стержня перемещение концевого сечения А от неизвестной реакции
Х

1

, а второе слагаемое – перемещение от заданных сил. При этом ко-

эффициент  при  Х

1

  численно  равен  перемещению  сечения  А  от  силы

Х

1

=1.

Решая уравнение (3.31), находим Х

1

 = R

A

 = 3/4P, а затем из (3.29)

- усилия на участках. После чего строятся эпюры N, 

σ

 и  w,  которые

представлены  на  рис. 3.9. Эпюра  w  построена,  начиная  с  сечения  D.
Правильность  решения  контролируется  равенством  нулю  перемеще-
ния сечения А.

Рис.3.9 

Рис.3.10

Для  статически  неопределимого  стержня  практическое  значение

имеет вычисление температурных и монтажных напряжений.