Сопротивление материалов - часть 9

37

Из этого выражения следует, что величина  q = const  определяет

угол наклона прямой на эпюре N (см.рис. 3.3,а). Если распределенная
нагрузка  на  участке  отсутствует  (q=0),  то  нормальные  силы  на  этом
участке не меняются, т.е. N = const (рис. 3.3,в). Отметим, что величи-
на скачка на эпюре N равна значению сосредоточенной силы 4P, при-
ложенной в сечении.

В общем случае для эпюры нормальных сил соблюдается прави-

ло скачков: в том сечении, где приложена сосредоточенная сила на
эпюре N имеет место скачок на величину этой силы.

Изменение сечения бруса не влияет на величину N.
3.2. Основные зависимости при растяжении
Для решения любой задачи деформируемого тела (бруса) должны

быть получены три типа зависимостей.

Кинематические  зависимости  связывают  деформации  и  пере-

мещения  при  рассмотрении  деформирования  элемента  бруса.  В  со-
противлении материалов эти зависимости, как правило, получаются с
использованием гипотезы плоских сечений (гипотезы Бернулли).

Физические зависимости связывают напряжения и деформации

(закон Гука).

Статические  зависимости  связывают  напряжения  и  усилия  в

сечении бруса (уравнения равновесия).

Рассмотрим  получение  этих  зависимостей  при  растяжении-

сжатии бруса.

Кинематические зависимости получим при рассмотрении дефор-

мирования выделенного элемента бруса длиной dz (рис. 3.4,а).

Рис. 3.4

В  соответствии  с  гипотезой  Бернулли  левое  сечение,  оставаясь

плоским, переместится на величину w, а правое сечение - на w + dw.
Изменение длины элемента 

∆

 (dz) =(w + dw) – w = dw. Тогда линейная

деформация 

ε

 =

∆

 (dz)/dz в пределах элемента равна:

38

εεεε ====

dw

dz

.

(3.4)

Считаем,  что  напряженно-деформированное  состояние  элемента

однородно (рис. 3.4,б), поэтому закон Гука запишем в виде

σ

 = E

ε

.

(3.5)

Равнодействующая  всех  элементарных  сил 

σ

dF  в  сечении  равна

нормальной силе N  (рис. 3.4,в). В итоге для всего сечения получим:

N =

σσσσ

dF

F

∫∫∫∫

.

(3.6)

Как правило, придерживаются следующей схемы преобразования

полученных  зависимостей.  С  использованием  кинематической  зави-
симости (3.4) закон Гука записывается в виде:

σσσσ ====

E

dw

dz

.

(3.7)

Это выражение используется в статической зависимости (3.6):

N

= ∫

E

dw

dz

dF

F

.

С  учетом  того,  что  для  сечения  Е=const  и 

ε

=

dw

dz

const

=

,  а

dF

F

F

=

∫

, после преобразований получим:

dw

dz

EF

=

N

.

(3.8)

Дифференциальное  уравнение (3.8) используется  для  определе-

ния перемещений сечений бруса.

Подставляя (3.8) в выражение (3.7), получим:

σσσσ

====

N

F

.

(3.9)

Эта формула может быть получена и непосредственно из зависи-

мости (3.6) с  учетом  равномерного  распределения  нормальных  на-
пряжений по сечению (

σ

 = const, см. рис. 3.4,б).

Отметим, что формула (2.6) является частным случаем формулы

(3.9) при N = Р и использовалась только для определения напряжений
при растяжении образца.

3.3. Перемещения сечений стержня
Продольные перемещения сечений стержня определяются интег-

рированием дифференциального уравнения (3.8):

39

w = w

о

+

N    

EF

dz

 

∫

,

(3.10)

где w

o

 - постоянная интегрирования (перемещение сечения при z=0).

Если учесть, что 

ε

 = 

σ

/E = N/EF, то выражение (3.10) может быть

записано в виде:

w = w

o

 +

ε

∫∫∫∫

 dz

.

(3.11)

Это  выражение  может  быть  получено  и  непосредственно  интег-

рированием уравнения (3.4).

Часто необходимо определять перемещение w

к

 концевого (к) се-

чения участка стержня, зная перемещение w

н

 начального (н) сечения.

Например,  необходимо  определить  перемещение  w

к

  концевого  сече-

ния участка, на котором 

ε

 =N /EF = const (рис. 3.5,а). Воспользовав-

шись формулой (3.11) при w

o 

= w

н

, получим:

w = w

н

 + 

ε

z .

(3.12)

Рис. 3.5

При z = l найдем перемещение концевого сечения участка:

w

к

 = w

н

 + 

∆

l;  

∆

l = 

∆

l ,

(3.13)

где 

∆

l - изменение длины участка.

Выражение для 

∆

l может быть получено и из формулы (2.1), так

как деформированное состояние участка бруса такое же, как рабочей
части образца.

40

С учетом того что 

ε

=N/EF, вторая формула (3.13) принимает вид:

∆

l

N l

E F

=

,

(3.14)

где EF – жёсткость при растяжении-сжатии (этот параметр зависит от
свойств материала (Е) стержня и площади его поперечного сечения).

Формула (3.14) может быть получена непосредственно из закона

Гука (3.5) с  учетом  формул (3.9) и (2.1).  Поэтому  выражение (3.14)
определяют  как  закон  Гука  для  участка  бруса  при  постоянной  де-
формации на участке.

Если на участке бруса действует распределенная нагрузка посто-

янной интенсивности q (рис. 3.5,б), то нормальная сила в произволь-
ном сечении при известном значении в начальном сечении (N

н

 ) рав-

на:

N = N

н

 – qz .

(3.15)

При z = l    N

к

 = N

н 

 -  q l.

Подставляя выражение (3.15) в формулу (3.10), после интегриро-

вания при w

o 

= w

н

 получаем:

w = w

н

 + 

N

н

2

 

z

EF

qz

2EF

−

.

(3.16)

Следовательно,  эпюра  w  (см.  рис. 3.5,б)  ограничена  параболой

выпуклостью вверх (d

2

w/dz

2

< 0). Если на участке эпюра N  пересекает

ось, то в этом сечении функция w имеет экстремум (dw/dz = 0). Этот
случай на рис. 3.5,б показан штриховыми линиями. При z = l переме-
щение концевого сечения участка равно:

w

к 

= w

н

 +

N

н 

2

l

EF

q l

2EF

−

.

3.4. Учет факторов, влияющих на изменение длины стержня
Изменение  длины  стержня  может  вызываться  различными  при-

чинами:  силовым  воздействием,  изменением  температуры,  отклоне-
нием от номинальной длины стержня.

Если  на  стержень  действуют  заданные  нагрузки,  то  изменение

длины любого его участка с постоянной деформацией (рис. 3.6,а) оп-
ределяется по формуле (3.14).