Сопротивление материалов - часть 10

41

Рис 3.6

При изменении температуры стержня на 

∆∆∆∆

T

°°°°

 (температурное воз-

действие) любой его участок изменяет длину (рис. 3.6,б) на величину

∆

l

T 

= 

α

T 

∆

T l ,

(3.17)

где 

α

T

 – температурный  коэффициент  линейного  расширения  мате-

риала. (Например, для стали 

α

T

 =1,25

⋅

10

-5

 1/град.)

Соответственно возникают температурные деформации:

εεεε

ò

T

T

=

=

∆

∆

l

l

T

α

.

(3.18)

Если  силовое  и  температурное  воздействия  осуществляются  од-

новременно,  то  изменение  длины  и  деформация  определяются  с  ис-
пользованием принципа суперпозиции:

∆∆∆∆

αααα

αααα

∆∆∆∆

ΤΤΤΤ

∆∆∆∆

ΤΤΤΤ

l

 l

EF

T l

E

=

+

+

N

T

  ;          =

εεεε σσσσ

.

(3.19)

Использование  принципа  суперпозиции,  при  котором  силовая  и

температурная деформации рассматриваются  как  независимые,  спра-
ведливо в том случае, когда модуль упругости Е и температурный ко-
эффициент 

α

T

 не зависят от температуры. Практически это имеет ме-

сто при умеренном температурном воздействии. Например, для мало-
углеродистой стали при Т < 300

°

C (cм. рис. 2.10).

Кроме  того,  изменение  длины  стержня  или  его  участка  может

быть  связано  и  с  тем,  что  он  изготовлен  длиннее  или  короче  своей
номинальной длины на величину 

∆

o

= l - l

o

 (рис. 3.6,в). Отклонение от

номинального размера положительно (

∆

o

> 0), если стержень длиннее,

и отрицательно (

∆

o

< 0), если - короче.

С учетом всех перечисленных факторов изменение длины участка

стержня определяется выражением

∆∆∆∆    

∆∆∆∆

αααα ΤΤΤΤ

ΤΤΤΤ

l

 l

EF

 l

=

+

+

N

∆∆∆∆

0000

.

(3.20)

Полное  изменение  длины  стержня  равно  сумме  изменений  длин

его участков.

42

3.5. Расчет стержня на прочность
Прочностной  анализ  стержня  заключается  в  определении  напря-

жений для стержня в целом, выявлении максимальных напряжений и
сопоставлении их с допускаемыми или предельными напряжениями.

Сечение  стержня,  в  котором  возникают  максимальные  напряже-

ния, называется опасным. Если максимальные напряжения действуют
на всем участке стержня, то такой участок также называется опасным.

При расчете на прочность стержня из пластичного материала ис-
пользуется условие прочности:

σ

max

 

≤

 [

σ

];    [

σ

] = 

σ

т

 / n

т

   или   [

σ

] = 

σ

0,2

 / n

т 

.

(3.21)

Максимальные  напряжения 

σ

max

  =  (N/F)

max

  в  опасном  сечении

могут  быть  как  растягивающими  (положительными),  так  и  сжимаю-
щими  (отрицательными).  В  последнем  случае  величина  напряжения
берется по модулю. Допускаемые напряжения [

σ

] либо заданы, либо

вычисляются по второй формуле (3.21) при известном  пределе  теку-
чести  

σ

т

 (или 

σ

0,2

) и коэффициенте запаса n

т

.

При расчете на прочность стержня из хрупкого материала исполь-
зуется система условий прочности:

σ

р,max

 

≤

 [

σ

]

р

;   [

σ

]

р

 = 

σ

вр

 / n

в

,

σ

с,max

 

≤

 [

σ

]

с

;   [

σ

]

с

 = 

σ

вс

 / n

в

.

(3.22)

Расчет  ведется  как  для  опасного  сечения,  в  котором  возникают

максимальные растягивающие напряжения 

σ

р,max

, так и для опасного

сечения с максимальными сжимающими напряжениями 

σ

с,max

.

Условия прочности (3.21), (3.22) подробно рассмотрены в разде-

ле 2.5.

При известных допускаемых напряжениях для материала стержня

могут проводиться три варианта расчетов.

1.  Если  заданы  нагрузки  и  размеры  сечений  стержня,  то  прово-

дится поверочный расчет.

2. Если заданы нагрузки, то могут быть определены размеры се-

чений стержня (проектировочный расчет).

3.  Если  заданы  размеры  сечений,  то  могут  быть  определены  до-

пускаемые нагрузки.

Эти  варианты  расчета  на  конкретном  примере  рассмотрены  в

следующем разделе.

43

3.6. Расчёт статически определимого стержня
Для статически определимого стержня (рис. 3.7) реакция в за-

делке (или нормальная сила в любом сечении) может быть определена
с использованием уравнений статики. Если реакция в заделке предва-
рительно не определена, то построение эпюры N  рациональнее начи-
нать со свободного конца стержня. При этом, используя  метод  сече-
ний,  необходимо  отбрасывать  часть  стержня  с  заделкой.  Последова-
тельно применяя метод сечений на каждом участке (i =1, 2, 3, 4), оп-
ределяются нормальные силы на участках. По полученным значениям
строится  эпюра  N.  Скачки  на  эпюре  N    по  величине  равны  силам,
приложенным в соответствующих сечениях. Участок АВ не деформи-
руется, участки ВС и DM растягиваются, а участок СD сжимается.

Рис. 3.7

Для построения эпюры 

σ

 определяются нормальные напряжения на

каждом участке по формуле (3.9)

σσσσ

( i)

Fi

=

N

i

;                i = 1, 2, 3, 4

(3.23)

с учётом того, что F

1

=F

2

=F

3

=F  и F

4

=2F.

Если стержень изготовлен из пластичного материала, то участки

3 и 4 равноопасны. Если стержень изготовлен из хрупкого материала,
то  более  опасным  может  оказаться  участок  4  (как  правило,  хрупкий
материал хуже работает на растяжение).

Линейные деформации на участках определяются из закона Гука

(3.5):

ε

(i)

 = 

σσσσ

( i)

( i)

E

;               i = 1, 2, 3, 4.

(3.24)

44

Если стержень выполнен из одного материала (E

(i)

 = E), то эпюра

ε

 имеет такой же вид, как и эпюра 

σ

.

Эпюра  осевых  перемещений  w  строится,  начиная  с  сечения,  где

известно  перемещение.  Для  рассматриваемого  стержня – от  сечения
М, так как w

М

= 0.

В  соответствии  с  формулами (3.13), (3.14)  и  учитывая,  что  w

н

  =

w

М

= 0, а w

к 

= w

D

, получим перемещение сечения D:

w

D

4

l

4Pl

E 2F

2Pl

EF

=

=

⋅

=

∆

.

Если на i-ом участке стержня определена деформация 

ε

(i)

 = const,

то проще вычислять 

∆

l

i

 по второй формуле (3.13):

∆

l

i 

= 

εεεε

(i) 

l

i

 .

(3.25)

Аналогично  определяем  перемещения  других  сечений  по  участ-

кам:

w

C

 = w

D

 +

∆

l

3 

 = 

2

 l

EF

( 2

EF

) 1,5l

l

EF

P

P

P

++++ −−−−

==== −−−−

;

w

B

 = w

C

 + 

∆

l

2 

 = 

−

+

=

P

P

P

 l

E F

(

E F

) 1 ,5 l

0 ,5

l

E F

;    w

A

 = w

B

.

Участок  АВ  перемещается  как  жесткое  тело,  не  деформируясь.

Поэтому перемещения всех сечений на  этом  участке  одинаковы.  Се-
чение А перемещается вверх. Направления перемещения просто опре-
делить по участку 4. Так как этот участок растягивается (N

4

 > 0), то

при w

D

 > 0 сечение D перемещается вверх. Отсюда следует, что сече-

ния, у которых w > 0, перемещаются вверх, и наоборот.

Полное изменение длины стержня (удлинение или укорочение), а

значит и перемещение его концевого сечения относительно начально-
го сечения,  может  быть  определено  суммированием  изменений  длин
участков:

∆∆∆∆

∆∆∆∆

l

l

i

i

1

m

= ∑

=

,

(3.26)

где m - число участков.

В данном случае 

∆

l = w

A 

 = 

∆

l

1

 +

∆

l

2

 + 

∆

l

3

 + 

∆

l

4

.

Из  построенной  эпюры  w  видно,  что  наибольшее  перемещение

имеет сечение D (w

max 

= w

D

).

Отметим,  что  в  соответствии  с  формулой (3.4) значение  дефор-

мации 

ε

 является производной от функции перемещений w. Двигаясь

в  положительном  направлении  оси  z  (вверх)  от  сечения  М  (см.
рис.3.7), значения на эпюре 

ε

 определяют возрастание или убывание