Сопротивление материалов - часть 15

61

При совместном расчёте вала на прочность и жёсткость для

определения  величины  диаметра  вала  из  расчётных  значений,  полу-
ченных  по  формулам (4.23) и (4.26), выбирается  наибольшее,  чтобы
выполнялись  оба  условия,  т.е.  какое-либо  из  этих  условий  окажется
определяющим.

4.5. Характер разрушения валов
При анализе поведения вала вплоть до разрушения следует при-

нимать во внимание напряжённое состояние вала и свойства материа-
ла.

Материал вала, работающего на кручение, находится в условиях

чистого сдвига. В различных сечениях вала возникают касательные и
нормальные напряжения. При этом в поперечных и продольных сече-
ниях возникают только касательные напряжения, а в сечениях под уг-
лом  45

°°°°

  к  оси - только  нормальные  напряжения,  растягивающие  и

сжимающие  (рис. 4.11).
Следует  учитывать,  что
максимальные  напряжения
возникают в наружных сло-
ях вала, причём максималь-
ные  касательные  и  нор-
мальные  напряжения  оди-
наковы  по  величине: 

ττττ

max

  =

σσσσ

max

.  Поэтому  характер

разрушения валов будет за-
висеть от материала, т.е. от

способности  данного  материала  сопротивляться  действию  касатель-
ных и нормальных напряжений.

Для  большинства  пластичных  материалов 

σσσσ

тр

 

≈≈≈≈

 

σσσσ

тс

, 

ττττ

т

 

≈≈≈≈

  0,6 

σσσσ

т

  ,

поэтому  наиболее  опасными  для  вала  являются  касательные  напря-
жения.  Диаграммы  сдвига  для  пластичного  материала  приведены  на
рис. 4.5,а,б.  Для  анализа  упругопластического  деформирования  вала
можно воспользоваться упрощённой диаграммой сдвига (рис. 4.12,а),
состоящей только из  линейного  участка  и  площадки  текучести  (диа-
грамма Прандтля). До тех пор пока напряжения в материале не пре-
вышают  предела  текучести 

ττττ

т

,  вал  деформируется  упруго.  Величина

крутящего  момента,  при  котором  появляются  первые  пластические
деформации на поверхности вала (при условии 

ττττ

max

=

ττττ

т

), определяется

из формулы (4.11): 

M

т

=

ττττ

т

W

p

 (рис. 4.12,б). При дальнейшем увеличе-

нии нагрузки область пластической деформации материала постепен-

Рис. 4.11

62

но  будет  распространяться  внутрь  сечения.  Согласно  принятой  диа-
грамме сдвига в сечении образуется кольцевая пластическая зона (1),
где 

ττττ

 = 

ττττ

т

, и упругое ядро (2), где 

ττττ

 < 

ττττ

т

, (рис. 4.12,в). Когда область

пластической  деформации  достигнет  центра  сечения,  наступает  пре-
дельное состояние вала (рис. 4.12,г).

Рис. 4.12

Предельное  значение  крутящего  момента  определяется  согласно

выражению (4.6), учитывая, что во всех точках сечения 

ττττ

=

ττττ

т

:

Ì

Ì

ïð

ò

ò

ò

ïð

ò

ï

D

D

=

=

=

⋅

∫

∫

τ ρ

τ ρ ρ

τ

τ

π

π

dF

d

F

2

12

2

0

3

 

 

  

  

=

W  

èëè 

,

(4.27)

где  W

п

=

ππππ

D

3

/12 - пластический  момент  сопротивления  сечения  при

кручении.

Сравнивая выражения для моментов 

M

т

 и 

M

пр

, видим, что их

отношение составляет 

M

пр

 / 

M

т

 = 4/3.  Отсюда  можно  сделать  вы-

вод:  от  начала  возникновения  пластических  деформаций  до  потери
несущей способности вала крутящий момент увеличивается 

∼

 на 33%.

Это - «запас» несущей способности вала при расчёте по предельному
состоянию  по  сравнению  с  расчетом  по  допускаемым  напряжениям
(n

т

=1)  за  счёт  неравномерного  распределения  касательных  напряже-

ний в сечении.

Более полное представление об упругопластическом деформиро-

вании вала даёт использование схематизации диаграммы сдвига в ви-
де двух прямых линий (рис. 4.13,а) - участка упругой деформации (до

ττττ

т

) и участка линейного упрочнения (до 

ττττ

в

). Характерные распределе-

ния напряжений в сечении на различных стадиях деформирования ва-
ла показаны на рис. 4.13,б,в. Предельное значение крутящего момента
будет  больше,  чем  при  использовании  диаграммы  Прандтля  (в  зави-
симости от отношения 

ττττ

в

/

ττττ

т

).

63

Рис. 4.13

Таким  образом,  разрушение  валов  из  пластичного  материала

происходит  по  поперечному  сечению  от  действия  касательных  на-
пряжений;  причем  разрушению  предшествует  появление  и  развитие
значительных пластических деформаций.

Для  хрупких  материалов,  как  правило, 

σσσσ

вр

 < 

ττττ

в

 < 

σσσσ

вс

,  поэтому

наиболее  опасными  являются  нормальные  растягивающие  напряже-
ния.  Например,  вал  из  чугуна  разрушается  по  винтовым  линиям  под
углом  45

°°°°

  к  оси  от  действия  максимальных  растягивающих  напря-

жений (рис. 4.14,a).

Рис. 4.14

Для  анизотропных  материалов  важно  знать  направления  наи-

меньшего  сопротивления  их  действующим  напряжениям.  Так,  при
кручении  деревянного  бруса  трещины  появляются  на  поверхности
вдоль  образующих  (рис. 4.14,б)  от  действия  максимальных  каса-
тельных напряжений в продольном направлении (по закону парности
касательных напряжений, рис. 4.14,в), т.к. древесина плохо сопротив-
ляется скалыванию вдоль волокон.

При  конструировании  валов  из  композитных  материалов,  имею-

щих волокнистую структуру определенной ориентации, также следу-
ет  учитывать  направления  действующих  напряжений.  Например,
рационально применять композитные валы с ориентацией волокон по
винтовым линиям, составляющим угол 45

°°°°

 с осью.

64

4.6. Статически неопределимые задачи на кручение
Статически неопределимые задачи на кручение включают в себя

расчёты  валов,  в  которых  реакции  опор  (реактивные  моменты)  и
внутренние силы (внутренние крутящие моменты) не могут быть оп-
ределены только из уравнений  статики.  Расчёт  таких  валов  произво-
дят, используя условия совместности перемещений дополнительно к
уравнениям  статики.  При  наличии  абсолютно  жёстких  связей  в  от-
дельных сечениях вала углы поворота этих сечений равны нулю. При
наличии  упругих  связей  (или  ограничителей  поворота  отдельных
сечений)  задаются  угловые  перемещения  соответствующих  сечений
вала,  используя  деформационные  соотношения.  Методику  решения
таких задач рассмотрим на примере.

Пример 4.1. Построить эпюру крутящих  моментов  для  гладкого

вала,  жёстко  закреплённого  в  торцевых  сечениях  и  нагруженного
внешним моментом 

M

 (рис. 4.15,а).

В  жёстких  опорах  вала  возникают

реактивные  моменты 

M

А

  и 

M

В

(см. рис. 4.15,а), для нахождения ко-
торых  одного  уравнения  равновесия
недостаточно:

∑

∑

∑

∑

M

z 

= 0;  

M

А 

- 

M

 + 

M

В 

= 0.

Для  составления  дополнитель-

ного  уравнения  условно  перейдём  к
статически  определимой  задаче,  от-
бросив  одну  из  заделок.  Например,
отбросим  левую  опору  и  введём  в
качестве  нагрузки  неизвестный  мо-
мент М

А

 (рис. 4.15,б). Для его опре-

деления запишем условие отсутствия
угла  поворота  левого  сечения,
используя формулу (4.17):

ϕϕϕϕ

А 

= 0;   

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

À

i

o

pi

G J

====

++++

====

∑

∑

∑

∑

M

êi

l

i

1

2

.

За начало отсчёта углов 

ϕϕϕϕ

 примем сечение В (

ϕϕϕϕ

о 

= 

ϕϕϕϕ

В 

= 0). Тогда

дополнительное уравнение примет вид:

Ì

M

ê

p

ê

p

G J

G J

1 1

1

2 2

2

0

l

l

++++

====

.

Рис. 4.15