Сопротивление материалов - часть 17

69

Под действием осевой нагрузки пружина деформируется, и происходит из-

менение  её  длины 

∆∆∆∆

L  по  оси.  Изменение  длины  пружины  при  действии  сжи-

мающей  силы  называется  осадкой  пружины  (

λλλλ

=

∆∆∆∆

L).  При  определении  осевого

перемещения (

λλλλ

) пружины можно воспользоваться законом сохранения энергии.

Работа  внешних  сил  A=

1

2

P

λλλλ

  (коэффициент  1/2  отражает  статический  характер

нагружения)  идет  на  создание  внутренней  энергии  деформации  U

кр

  упругой

пружины. Рассматривая энергию деформации как работу внутренних сил (M

к

) на

угловых  перемещениях  (

ϕϕϕϕ

)  для  элемента  бруса  получим  (с  учетом  формулы

(4.8)):

d

d

dz

U

G J

ê

ê

ê

p

ð

====

⋅⋅⋅⋅

====

1

2

2

2

M

M

ϕϕϕϕ

.

Для всего бруса (пружины), т.к. 

к

M

 

= const, GJ

p

 = const, получим:

U

U

G J

ê

ê

ê

p

ð

ð

====

====

∫∫∫∫

d

l

l

Ì

2

2

.

Принимая l

≈≈≈≈ππππ

Dn, J

p

=

ππππ

D

4

/32, в итоге определяем перемещение 

λλλλ

 из условия

A=U

кр

:

∆

L

PD

G d

n

= =

λλλλ

8

3

4

.

(4.40)

Нетрудно  получить  расчетные  формулы  для 

ττττ

max

  и 

∆∆∆∆

L=

λλλλ

  для  пружины  из

проволоки некруглого сечения, используя соответствующие выражения для гео-
метрических характеристик J

к

 и W

к

.

Обычно при определении перемещений по формуле (4.40) под n понимается

рабочее  число  витков.  Так,  для  пружины  растяжения  не  учитывается  отогнутая
часть концевых витков, для пружины сжатия исключается по 3/4 витка с каждого
торца, т.е. n

раб 

≈≈≈≈

 n - 1,5 (за счет шлифовки или поджатия концевых витков).

Характеристикой  пружины  растяжения-сжатия  называется  зависимость

P(

λλλλ

) между нагрузкой и перемещением, которая в области упругих деформаций

материала является линейной. Параметр

c

====

====

P

G d

D

n

λλλλ

4

3

8

.

(4.41)

называется жёсткостью пружины.



5. Геометрические характеристики сечений

При определении напряжений и перемещений используются раз-

личные  геометрические  характеристики  поперечных  сечений  бруса.
Например, при растяжении - площадь сечения F, при кручении - мо-
мент инерции J

p

 (J

k

). В настоящем разделе обобщим понятия геомет-

рических характеристик сечений бруса.

Геометрические  характеристики  сечений,  представляющие  инте-

гралы вида 

f(x,y)dF

F

∫∫∫∫

 (рис. 5.1,а), приведены в табл. 5.1.

Геометрические характеристики сечений    Таблица 5.1

f(x,y)

f x y

dF

F

( , )

∫∫∫∫

Название

Размер-

ность

Интер-

вал зна-

чений

1

F

==== ∫∫∫∫

dF

F

Площадь сечения

cм

2

F> 0

y

S

x

==== ∫∫∫∫

y

dF

F

Статический момент

сечения относительно

оси x

cм

3

S

x

≥

0

S

x

≤

0

x

S

y

 

==== ∫∫∫∫

x

dF

F

Статический момент

сечения относительно

оси y

cм

3

S

y

≥

0

S

y

≤

0

y

2

J

x

====

∫∫∫∫

y

dF

F

2

Момент инерции

сечения относительно

оси x

cм

4

J

x

> 0

x

2

J

y

==== ∫∫∫∫

x

dF

F

2

Момент инерции

сечения относительно

оси y

cм

4

J

y

> 0

xy

J

xy

==== ∫∫∫∫

xy

dF

F

Центробежный момент

инерции сечения

cм

4

J

xy

≥

0

J

xy

≤

0

ρρρρ

2

=

=x

2

+y

2

J

p

==== ∫∫∫∫

ρρρρ

2

dF

F

Полярный момент

инерции сечения

cм

4

J

p

> 0

При  определении  геометрических  характеристик  сложного  (со-

ставного)  сечения  используется  свойство  определенного  интеграла:
интеграл по всей площади сечения равен сумме интегралов по частям,
на которые разбито это сечение:

f(x,y)dF

F

∫∫∫∫

=

 

f(x,y)dF

F

i

∫∫∫∫

====

∑

∑

∑

∑

i

n

1

,

где n - число частей сечения.





5.1. Статистические моменты сечения
Статические моменты сечения S

x

 и S

y

 используются главным об-

разом  для  определения  положения  центра  площади  сечения  и  цен-
тральных осей.

Рассмотрим изменение статических моментов  при  параллельном

переносе осей (рис. 5.1,б). Считая известными F, S

x

 и S

y

 в системе ко-

ординат  0XY  определим  статические  моменты  S

x1

,  S

y1

  относительно

новых осей x

1

, y

1

.

Учитывая соотношения x

1

 = x - a,  y

1

 = y - b, получим:

S

y

x1

1

F

dF

= ∫

=

(

)

y b

dF

F

−

∫

;    

S

x

y

dF

1

1

F

= ∫

=

(

)

x a

dF

F

−

∫

    или

S

x1

 = S

x

 - bF ;    S

y1

 = S

y

 - aF.

(5.1)

Оси x

1

, y

1

 можно выбрать таким образом, чтобы выполнялись ус-

ловия:  S

x1

 = 0, S

y1

 = 0.

Оси, относительно которых статические моменты сечения равны

нулю,  называются  центральными.  Точка  пересечения  центральных
осей называется центром площади сечения.

Принимая S

x1

 = 0, S

y1

 = 0, из выражений (5.1) координаты центра

площади сечения относительно вспомогательных осей x, y определя-
ются по формулам (обозначим x

с

 = а, y

c

 =b):

x

c

y

S

F

====

;    

y

c

x

S

F

====

.

(5.2)

Соответственно,  если  площадь  F  и  положение  центра  площади

сечения (координаты x

с

, y

c

) в системе координат 0ху известны, то ста-

тические моменты сечения относительно осей x, y можно определить
из выражений (5.2):

S

x

 = F y

c

 ;    S

y

 = F x

с

.

(5.3)

Можно  показать,  что  статистический  момент  относительно  лю-

бой оси, проходящей через центр площади сечения, равен нулю.

При определении центра площади сложного сечения применяется

следующая процедура:

1)  сечение  разбивается  на  n  частей,  площади  (F

i

)  и  положение

центров (C

i

) площади которых известны;

2) задается вспомогательная система координат, в которой опре-

деляются координаты центров площадей (x

ci

, y

ci

) этих частей;

3) вычисляются координаты составного сечения по формулам:

x

c

i ci

i

n

F x

F

====

∑

∑

∑

∑

====

1

;    

y

c

i ci

i

n

F y

F

====

∑

∑

∑

∑

====

1

;    

F

F

i

i

n

==== ∑

∑

∑

∑

====

1

.

(5.4)